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虚拟变量的回归模型docx
南卄丈修叙修科修修院白陵彙
虚拟变量的性质
■比率尺度变量:
如收入、价格、成本、身高等。
■名义尺度变量:
如性别、种族、肤色、地区、季节等。
■量化这种属性,构造取值为1或0的人为变量,1表示出现(或具备)这种性质,0表示没有那种属性。
虚拟变量的性质
■比如1表示男性,0表示女性;1表示未婚,0表示已婚;1
表示北方地区,0表示南方地区等等。
■这种取值为1或0的变量称为虚拟变量(dummy
variables)也称为指标变量(indicatorvariables)、
定性变量(qualitativevariables)、分类变量
(categoricalvariables)等。
ANOVA模型
■例不同地理区域的公立学校教师的薪水:
我们给出美国
1985年50个州和哥伦比亚特区公立学校教师平均薪水的
数据(单位为美元)・
同?
ANOVA模型
■我们可以计算三个地区教师年薪计算算数平均,得到平均
值分别为24424.14(东北和中北部),22894(南部)和
26158.62(西部)o■这些数字看起来不同,但它们在统计上彼此相异吗?
■可用方差分析(analysisofvariance)的方法来比较两
个或多个平均值,在回归分析的框架下也能做到这点。
■注:
方差分析(ANOVA)又称变异数分析或F检验,其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同,检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
■考虑如下模型
匕=00+0Qli+02°2,+色
■其中
乙二第i个州公立学校教师的平均薪水
A=1若该州位于东北部或中北部,二0其他
D2i=1若该州位于南部,=0其他
■对于上述模型,三个地区公立学校教师薪水的均值是多
少?
■我们给出上面回归模型的样本回归函数:
y,=26158.62-1734.473Db-3264.615D2/
se二(1128.523)(1435.953)(1499.615)
R2=0.0901
/=(23.1759)(-1.2078)(-2.1776)
(0.0000)*(0.2330)*(0.0349)*
■其它地区的公立学校教师薪水均值与西部地区的是否有明显差异?
■这可以从斜率系数的显著性看出来,比如,东北和中北地
区的估计系数在统计上不显著,南部地区却是显著的。
■1、如果定性变量有m个类别,则只需引入(m・1)个虚拟变量。
(考虑一下刚才的例子中定性变量有几个类别?
)
■2、不指定其虚拟变量的那一组被称为基(base)组、基准
(benchmark)组、比较(comparison)组、参照(referenee)
组或控制(control)组等。
(刚才的例子中哪一组为基准
组?
)
■3、截距值代表了基准组的均值。
(上例中截距的意义是
什么?
)
■4、虚拟变量的系数称为级差截距系数(differential
interceptcoefficients)o
■5、基准组的选择取决于研究的需要。
■6、没有截距项时,虚拟变量的个数可与类别数相同。
■7、下面两种引入虚拟变量的方法中哪种更好呢:
(1)为
每个类别都引入一个虚拟变量并省略截距项;
(2)引入
截距项和个虚拟变量。
■前面我们讲了一个多类别定性变量的ANOVA模型,下面我们考虑含有两个定性变量的ANOVA模型,并讨论虚拟变量的其他特点。
■例小时工资与婚姻状况和居住地的关系
Z二0o++/?
2D2z.+ut
■其中Y=小时工资(美元)
■D〔=婚姻状况;已婚,6=0其他
■。
2=居住地;南部,。
2=0其他
■用1985年5月的一个528人的样本进行回归得到如下结
论:
(数据来源:
ArthurS.Goldberger,IntroductoryEconometrics,
HarvardUniversityPress,Cambridge.Mass.,199
=8.8148+1.0997Db-1.6729D2/
se二(0.4015)(0.4642)(0.4854)
/=(21.9528)(2.3688)(-3.4462)
(0.0000)*(0.0182)*(0.0006)*
R2二0.0322
■此例中,有两个定性回归元且每个回归元分为两个类别。
因此,我们为每个定性回归元指定一个虚拟变量。
同时含有定性和定量变量的ANCOVA模型
■同时包含定性和定量变量的回归模型被称为协方差分析(analysisofcovariance,ANCOVA)。
■再考虑一下之前讲过的公立学校教师薪水的例子,除了所属地区对教师薪水有影响外,各地方政府对公立学校的支出也可能对教师的薪水有影响。
■为此,我们提出如下模型:
Z=00+012+卩2%++Ui
■其中X,二对公立学校每个学生的支出
■我们利用表中的数据,对上述模型进行回归,得到:
£=13269.11-1673.514久-1144.15702,+3.2889X,血=(1395.056)(801.1703)(861.1182)(03176)
2(9.5115)*(—2.0889)*(—1.3286)**(10.3539)*
疋=0.7266■我们可以看出,在其他条件不变的情况下公共支出每增加
1美元,公立学校教师的薪水约上升3・29美元。
■控制教育支出后,东北和中北地区的级差截距系数依然显
著,但南方的系数则不显著,这与之前的结论有些差异。
邹至庄检验的虚拟变量方法
■邹至庄检验可以考察一个回归模型的结构稳定性,将样本期间一分为二,可以用邹至庄检验判定两个区间是否存在明显差异。
■当判断出有明显差异时,我们并不知道两个回归的差异是源于截距项、斜率系数还是两者兼而有之。
■对于两个一元线性回归的差异性主要表现为下面四种情形:
重合回归(coincidentregressions);平行回归
(coincidentregressions);同截距回归(coincident
regressions)和非相似回归(coincidentregressions)o
储蓄
收入
(「)同截距回归
收入
储蓄
收
储蓄
i
J
探明差异的根源
■前面提到邹至庄检验只能告诉我们两个回归是否存在差
异,却不知道差异的根源,为了探明这种差异根源,我们做如下多元回归:
Yt—o(Q+oc^E)t+t+02(DfXJ+
其中Y二储蓄
X二收入
t二时间
D=1若观测值是1982-1995年间的二0其他
■像通常一样假定E(wr)=O,我们得JIJ1970—1981年的储蓄均值函数为:
砒⑴二0,XJ二勺+0]X’
■1982—1995的储蓄均值函数为:
E(YtI0=1,XJ=(兔+购)+(A+02丙
■注意几个参数的意义.
■我们以交互或相乘形式(interactiveormultiplicative
form)引入虚拟变量D(D乘以X)来区别两个区间的斜
率系数,
以相加形式(additiveform)引入虚拟变量来
区分两个区间的截距。
■美国1970至1995年间
的储蓄与收入的部分数据。
■资料来源:
EconomicreportofthePresident,Table
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
■根据这组数据我们对前面的方程进行回归得到:
61
727.1
68.6
790.2
63・6
855.3
89.6
965
97.6
1054.2
104.4
1159.2
96.4
1273
92.5
1401
112.6
1580.1
130.1
1769.?
161.8
1973.3
199.1
2200.2
205.5
2347.?
167
2522.-
235.7
2810
206.2
3002
196.5
3187.6
168.4
3363.1
189.1
3640.S
187.8
389
■根据美国储蓄一收入数据得到下面的回归方程:
£=1.0161+152.47860+0.0803X,—0.0655(2XJ弘=(20.1648)(33.0824)(0.0114)(0.0159)
7=(0.0504)**(4.6090)*(5.5413)*(—4.0963)*
疋=0.8819■于是1970—1981年的储蓄收入回归函数为:
g=1.0161+0.0803X(
■1982—1995的储蓄收入回归函数为:
Yt=(1.0161+152.4786)+(0.0803—0.0655)X,
=153.4947+0.0148X(
使用虚拟变量的交互效应
■考虑如下模型:
E二&o++a2D2i+0X,+u.
其中Y二小时工资
X=受教育水平
t=时间
9=1若为女性;=0其他
2=1若既非白人又非西班牙人;=0其他
■此模型中暗含的假定是,性别虚拟变量的差别影响对两个种族类别而言是一样的,而种族虚拟变量的差别影响对两个性别而言是一样的。
此假定是否合理?
■换句话说,两个定性变量Q和2之间可能会相互影响。
因此,他们对Y的均值的影响可能不是相加形式的,还可能像如下模型一样是乘积形式的。
Y-=OCq+OCyDy+^2^2i++0X)+
■从上式可见:
E(£|D]j=1?
Z)2/=XJ=(^Zq+GCy+0C2+^3)+0X)■以上参数的意义是:
二作为女性的级差效应勺二作为非白人/非西班牙人的级差效应勺二作为非白人/非西班牙女性的级差效应
两种模型的回归
■对于模型
Yj—(Xq+(XyDy++0Xi+Uj
■利用获得的数据,我们得到如下结果:
£=-0.2610—2.3606久-1.7327D2/+0.8028X,
r=(-0.2357)**(—5.4873)*(—2.1803)*(9.9094)*
疋=0.2032,卅=528
■其中*表示p值低于5%,**表示p值高于5%。
■级差截距系数都是统计上显著的,并具有预期的符号。
■对于模型
£=+aYD{i+a2D2i+a3DuD2i+pXt+ui
■利用获得的数据,我们得到如下结果:
Yt=-0.2610-2.3606^,-1.7327D2,+2.1289^,^2,+0.8028X,
t=(-0.2357)**(-5.4873)*(-2.1803)*(1.7420)**(9.9095)**
疋二0.2032,h=528
■其中*表示p值低于5%,**表示P值高于5%o
■相加的两个虚拟变量仍是统计上显著的,但交互虚拟变量
在通常的5%显著水平上不是显著的(p=8%)o
■在上述模型中,两个虚拟变量的交互作用并不明显。
■但需要注意的是,虽然模型中假定小时工资相对受教育水
平的增长率对不用性别和不同种族而言并没有什么不同。
但事实并非如此。
■感兴趣的同学可以考虑一下平均时薪随受教育水平的增长
率是否因性别和种族不同而不同?
■提示:
使用多个虚拟变量。
分段线性回归
■某个公司按销售业绩付给销售代表佣金,如下图所示:
■我们可以看到,销售佣金与销售量在X*的两侧存在两种不同的线性关系。
■我们可以用虚拟变量法估计图中所示的分段线性回归的两个线段的斜率。
■大家考虑一下虚拟变量应如何选取?
模型形式是怎样的?
分段线性回归
■我们可将回归模型设为:
Y尸%+0\X广02区厂X*)0+均
其中乙二销售佣金
X广收入
X、销售临界值(分段点)
D=1若X,>X*
=o其他
■由于
E二%+0N+02(£—X)0+均
■且假定E(u)=O,故我们有
E(y.|D.=O,X/,X*)=«o+/?
1Xz
E(Z|9=1,石XJ=s-02对+(A+02)X,
■对于分段回归而言,01就给出了前一段线段回归线的斜率,而(〃计02)就给出了后一段线段回归线的斜率。
■要检验是否在x*处分段,只需检验A是否显著不为o即
可。
■例下表中是一个工厂的总成本和总产出数据,请判断一下
在产出为5500处总成本和总产出之间的线性关系是否发生了改变?
总成本
总产出
总成本
总产出
256
1000
1839
6000
414
2000
2081
7000
634
3000
2423
8000
778
4000
2734
9000
1003
5000
2914
10000
■Y表示总成本,X表示总产出,回归模型为:
*
Ef°+0X+02(X厂X)9+堆
八木
乙•二-145.72+0.279IX,.+0.0945(X,—X;)0
r=(-0.8245)(6.0669)(1.1447)
疋=0.9737,X*=5500
■从上述结果可以看出在产出低于5500时边际成本约为28美分,而当产出高于5500时边际成本约为(28+9)美分,由于虚拟变量在5%的显著性水平上仍不显著,故可认为斜率没有显著变化。
■1>如果你有连续几年的月度数据,为检验如下假设,需
要引入多少个虚拟变量:
■CO—年中12个月份都表现出季节类型;
■
(2)只有2、4、6、8、10、12月表现出季节类型。
■2、考虑下面的回归结果:
Yt=2.7491+1.15070—1.5294X,-0.8511(^^)
2(26.896)(3.6288)(-12.5552)(-1.9819)
疋=0.9128
■Y二失业率;X二岗位空缺率;D=1(1996第4季度后)=0(其他)
■t二时间,以季度记。
Yt=2.7491+1.15070—1.5294X,-0.8511(DzXJ
■
(1)你对失业率和岗位空缺率之间的关系有何先验预期?
■
(2)保持岗位空缺率不变,在从1966年第4季度开始的期间内,平均失业率是多少?
它与1966年第4季度之前的期间有显著不同吗?
■(3)1966年第4季度之前和之后的斜率在统计上不同吗?
■(4)从这项研究能安全地断定慷慨的失业救济金导致更高的失业率吗?
这个结果在经济学上是否可以解释?
■3、考虑如下模型
Yi=0Cq+cXyDi+0X,+ui
■其中丫=一位大学教授的年薪;X=从教年限;D=性别■考虑定义虚拟变量的三种方式:
■
(1)D对男性取值1,对女性取值0;
■
(2)D对男性取值1,对女性取值2;
■(3)D对男性取值1,对女性取值寸;
■对每种虚拟变量定义解释上述回归模型。
是否某个方法比
另外的方法更好?
试说明理由。
■4、假设有一分段回归,在卅处不仅斜率系数发生了变化,而且回归线还发生了跳跃,如下图所示。
你将如何设计计量经济模型,以考虑回归线在X*处的跳跃。
Y
■5、我们给出美H1916-1996年四年一次的总统选举数据。
■
(1)提出一个合适模型来预测民主党在两党总统投票中所占的
份额。
■
(2)你如何用这个模型去预测总统选举的结果?
■(3)查特吉(Chatterjee)等人建议考虑如下尝试模型预测总统
选举
卩=0。
+0]/+02。
+0”+049/)+05戶+06“+%
■估计这个模型,并评论其结果与你所选用模型得到结果之间
的关系。
表9・8
美国总统选举:
1916—1996
年份
D
G
I
N
P
1916
0.5L68
0
1
2・229
1
3
4.252
1920
0.3612
1
0_
11・463
1
5
16.535
1924
0.4176
0
_1
一3.872
_1
10
5.161
1928
0・4118
0
0
4・623
_1
7
0.183
1932
0.5916
0
-1一
14.901
_1
4
7.069
1936
0・6246
0
1
11.921
1
9
2・362
1940
0.5500
0
1
3・708
1
8
0.028
1944
0.5377
1
1
4.119
1
14
5.678
1948
0.5237
1
1
1・849
1
5
8.722
1952
0・4460
0
0
0.627
1
6
2.288
1956
0.4224
0
一1•
一1.527
_1
5
1・936
1960
0・5009
0
0
0.114
-1
5
1・932
1964
0.6134
0
1
5.054
1
10
1・247
1968
0.4960
0
0
4.836
1
7
3.215
1972
0・3821
0
-1
6・278
_1
4
4・766
1976
0.5105
0
0
3・663
_1
4
7.657
1980
0.4470
0
1
一3.789
1
5
8.093
1984
0.4083
0
-1
5・387
_1
7
5.403
1988
0.4610
0
0
2.068
—1
6
3.272
1992
0・5345
0
-1
2・293
_1
1
3.692
1996
0.5474
0
1
2.918
1
3
2.268
■V两党总统投票中民主党所占份额;
■I指标变量,=1选举时在位总统为民主党,选举时在位总统为共和党;
■D指标变量,=1民主党总统在位参加竞选,共和党总统在位参加竞选;=0其他;
■W指标变量,对1920、1944和1948年的选举取值1,其他取值0;
■G选举年份前3个季度真实人均GDP的增长率;
■P现任政府前15个季度GDP缩减指数增长率的绝对值;
|=|
■N现任政府在前15个季度中人均GDP增长率超过3.2%的季
度数;
Thankyou
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