中考前数学知识点.docx
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中考前数学知识点
中考前数学知识点
【篇一:
中考前数学知识点】
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程,其一般形式为ax^2+bx+c=0,当把方程化简到……
【篇二:
中考前数学知识点】
中考数学总复习资料
代数部分
第一章:
实数
基础知识点:
一、实数的分类:
1、有理数:
任何一个有理数总可以写成的形式,其中p、q是互质的整数,这是有理数的重要特征。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感
觉,往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1、相反数:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(1)实数a的相反数是-a;
(2)a和b互为相反数a+b=0
2、倒数:
(1)实数a(a≠0)的倒数是;
(2)a和b互为倒数;(3)注意0没有倒数
3、绝对值:
(1)一个数a的绝对值有以下三种情况:
(2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。
4、n次方根
(1)平方根,算术平方根:
设a≥0,称叫a的平方根,叫a的算术平方根。
(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
(3)立方根:
叫实数a的立方根。
(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴
1、数轴:
规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系:
数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算
1、加法:
(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
2、减法:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法:
(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法:
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。
5、乘方与开方:
乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序:
乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算,都要注意先定符号后运算。
六、有效数字和科学记数法
2、有效数字:
一个近似数,从左边第一个不是0的数,到精确到的数位为止,所有的数字,叫做这个数的有效数字。
精确度的形式有两种:
(1)精确到那一位;
(2)保留几个有效数字。
例题:
例1、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,且。
化简:
分析:
从数轴上a、b两点的位置可以看到:
a<0,b>0且
所以可得:
解:
例2、若,比较a、b、c的大小。
分析:
;;c>0;所以容易得出:
a<b<c。
解:
略
例3、若互为相反数,求a+b的值
分析:
由绝对值非负特性,可知,又由题意可知:
所以只能是:
a-2=0,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=0
解:
略
例4、已知a与b互为相反数,c与d互为倒数,m的绝对值是1,求的值。
解:
原式=
例5、计算:
(1)
(2)
解:
(1)原式=
(2)原式==
代数部分
第二章:
代数式
基础知识点:
一、代数式
1、代数式:
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式。
单独一个数或者一个字母也是代数式。
2、代数式的值:
用数值代替代数里的字母,计算后得到的结果叫做代数式的值。
3、代数式的分类:
二、整式的有关概念及运算
1、概念
(1)单项式:
像x、7、,这种数与字母的积叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单项式的次数。
单项式的系数:
单项式中的数字因数叫单项式的系数。
(2)多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项:
多项式中每一个单项式都叫多项式的项。
一个多项式含有几项,就叫几项式。
多项式的次数:
多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫常数项。
升(降)幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。
(3)同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
2、运算
(1)整式的加减:
合并同类项:
把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变。
去括号法则:
括号前面是+号,把括号和它前面的+号去掉,括号里各项都不变;括号前面是-号,把括号和它前面的-号去掉,括号里的各项都变号。
添括号法则:
括号前面是+号,括到括号里的各项都不变;括号前面是-号,括到括号里的各项都变号。
整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括号,先去括号,再合并同类项。
(2)整式的乘除:
幂的运算法则:
其中m、n都是正整数
同底数幂相乘:
;同底数幂相除:
;幂的乘方:
积的乘方:
。
单项式乘以单项式:
用它们系数的积作为积的系数,对于相同的字母,用它们的指数的和作为这个字母的指数;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式:
就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
多项式乘以多项式:
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项除单项式:
把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式:
把这个多项式的每一项除以这个单项,再把所得的商相加。
乘法公式:
平方差公式:
;
完全平方公式:
,
三、因式分解
1、因式分解概念:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解。
2、常用的因式分解方法:
(1)提取公因式法:
(2)运用公式法:
平方差公式:
;完全平方公式:
(3)十字相乘法:
(4)分组分解法:
将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
(5)运用求根公式法:
若的两个根是、,则有:
3、因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;
(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法。
(4)最后考虑用分组分解法。
四、分式
1、分式定义:
形如的式子叫分式,其中a、b是整式,且b中含有字母。
(1)分式无意义:
b=0时,分式无意义;b≠0时,分式有意义。
(2)分式的值为0:
a=0,b≠0时,分式的值等于0。
(3)分式的约分:
把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解,再约去公因式。
(4)最简分式:
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式,一定要化为最简分式。
(5)通分:
把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程,叫做分式的通分。
(6)最简公分母:
各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
(7)有理式:
整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质:
(1);
(2)
(3)分式的变号法则:
分式的分子,分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。
3、分式的运算:
(1)加、减:
同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母的分式相加减,先把它们通分成同分母的分式再相加减。
(2)乘:
先对各分式的分子、分母因式分解,约分后再分子乘以分子,分母乘以分母。
(3)除:
除以一个分式等于乘上它的倒数式。
(4)乘方:
分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
五、二次根式
1、二次根式的概念:
式子叫做二次根式。
(1)最简二次根式:
被开方数的因数是整数,因式是整式,被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
(2)同类二次根式:
化为最简二次根式之后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式。
(3)分母有理化:
把分母中的根号化去叫做分母有理化。
(4)有理化因式:
把两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式(常用的有理化因式有:
与;与)
2、二次根式的性质:
(1);
(2);(3)(a≥0,b≥0);(4)
3、运算:
(1)二次根式的加减:
将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类二次根式。
(2)二次根式的乘法:
(a≥0,b≥0)。
(3)二次根式的除法:
二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次根式。
例题:
一、因式分解:
1、提公因式法:
例1、
分析:
先提公因式,后用平方差公式
解:
略
[规律总结]因式分解本着先提取,后公式等,但应把第一个因式都分解到不能再分解为止,往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查,如果还能分解,应继续分解。
2、十字相乘法:
例2、
(1);
(2)
分析:
可看成是和(x+y)的二次三项式,先用十字相乘法,初步分解。
解:
略
[规律总结]应用十字相乘法时,注意某一项可是单项的一字母,也可是某个多项式或整式,有时还需要连续用十字相乘法。
3、分组分解法:
例3、
分析:
先分组,第一项和第二项一组,第三、第四项一组,后提取,再公式。
解:
略
[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组,分组的目的是为了用提公因式,十字相乘法或公式法解题。
4、求根公式法:
例4、
解:
略
二、式的运算
巧用公式
例5、计算:
分析:
运用平方差公式因式分解,使分式运算简单化。
解:
略
[规律总结]抓住三个乘法公式的特征,灵活运用,特别要掌握公式的几种变形,公式的逆用,掌握运用公式的技巧,使运算简便准确。
2、化简求值:
例6、先化简,再求值:
,其中x=-1y=
解:
略
[规律总结]一定要先化到最简再代入求值,注意去括号的法则。
3、分式的计算:
例7、化简
分析:
-可看成
解:
略
[规律总结]分式计算过程中:
(1)除法转化为乘法时,要倒转分子、分母;
(2)注意负号
4、根式计算
例8、已知最简二次根式和是同类二次根式,求b的值。
分析:
根据同类二次根式定义可得:
2b+1=7-b。
解:
略
[规律总结]二次根式的性质和运算是中考必考内容,特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。
代数部分
第三章:
方程和方程组
基础知识点:
一、方程有关概念
1、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解:
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程:
求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根:
在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
(1)一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0)
(2)一玩一次方程的最简形式:
ax=b(其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0)
(3)解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
(4)一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程
(1)一元二次方程的一般形式:
(其中x是未知数,a、b、c是已知数,a≠0)
(2)一元二次方程的解法:
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
(3)一元二次方程解法的选择顺序是:
先特殊后一般,如果没有要求,一般不用配方法。
(4)一元二次方程的根的判别式:
分析:
设乙连的速度为v千米/小时,追上甲连的时间为t小时,则甲连的速度为(v-28)千米/小时,这时乙连行了小时,其等量关系为:
甲走的路程=乙走的路程=30
解:
略
例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪,由于改进了操作技术;每天生产的台数比原计划多50%,结果提前2天完成任务,求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台?
分析:
设原计划每天生产通讯设备x台,则改进操作技术后每天生产x(1+0.5)台,等量关系为:
原计划所用时间-改进技术后所用时间=2天
解:
略
例4、某商厦今年一月份销售额为60万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降10%,以后经加强管理,又使月销售额上升,到四月份销售额增加到96万元,求三、四月份平均每月增长的百分率是多少?
分析:
设三、四月份平均每月增长率为x%,二月份的销售额为60(1-10%)万元,三月份的销售额为二月份的(1+x)倍,四月份的销售额又是三月份的(1+x)倍,所以四月份的销售额为二月份的(1+x)2倍,等量关系为:
四月份销售额为=96万元。
解:
略
例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳20%的利息税,例如存入一年期100元,到期储户纳税后所得到利息的计算公式为:
税后利息=
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元,问该储户存入了多少本金?
分析:
设存入x元本金,则一年期定期储蓄到期纳税后利息为2.25%(1-20%)x元,方程容易得出。
例6、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降低成本措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
分析:
设每件衬衫应该降价x元,则每件衬衫的利润为(40-x)元,平均每天的销售量为(20+2x)件,由关系式:
解:
略
代数部分
第五章:
不等式及不等式组
知识点:
一、不等式与不等式的性质
1、不等式:
表示不等关系的式子。
(表示不等关系的常用符号:
≠,<,>)。
2、不等式的性质:
(l)不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号方向不改变,如a>b,c为实数a+c>b+c
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变,如a>b,c>0ac>bc。
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变,如a>b,c<0ac<bc.
注:
在不等式的两边都乘以(或除以)一个实数时,一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性(正数,零,负数)再确定不等号方向是否改变,不能像应用等式的性质那样随便,以防出错。
3、任意两个实数a,b的大小关系(三种):
(1)a-b>0a>b
(2)a-b=0a=b
(3)a-b<0a<b
4、
(1)a>b>0
(2)a>b>0
二、不等式(组)的解、解集、解不等式
1、能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解。
不等式的所有解的集合,叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2.求不等式(组)的解集的过程叫做解不等式(组)。
三、不等式(组)的类型及解法
1、一元一次不等式:
(l)概念:
含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式。
(2)解法:
与解一元一次方程类似,但要特别注意当不等式的两边同乘以(或除以)一个负数时,不等号方向要改变。
2、一元一次不等式组:
(l)概念:
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。
(2)解法:
先求出各不等式的解集,再确定解集的公共部分。
注:
求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
例题:
方法1:
利用不等式的基本性质
1、判断正误:
(1)若a>b,c为实数,则>;
(2)若>,则a>b
分析:
在(l)中,若c=0,则=;在
(2)中,因为>,所以。
c≠0,否则应有=故a>b
解:
略
〔规律总结〕将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质,不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时,要对字母进行讨论。
方法2:
特殊值法
例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是()
a、b、ab<0c、d、
分析:
使用直接解法解答常常费时间,又因为答案在一般情况下成立,当然特殊情况也成立,因此采用特殊值法。
解:
根据a<b<0的条件,可取a=-2,b=-l,代入检验,易知,所以选d
[规律总结〕此种方法常用于解选择题,学生知识有限,不能直接解答时使用特殊值法,既快,又能找到符合条件的答案。
方法3:
类比法
例3、解下列一元一次不等式,并把解集在数轴上表示出来。
(1)8-2(x+2)<4x-2;
(2)
分析:
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似,主要步骤有去分母,去括号、移项、合并同类项,把系数化成1,需要注意的是,不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号要改变方向。
解:
略
[规律总结〕解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似,但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时,不等号的方向必须改变,类比法解题,使学生容易理解新知识和掌握新知识。
方法4:
数形结合法
例4、求不等式组:
的非负整数解
分析:
要求一个不等式组的非负整数解,就应先求出不等式组的解集,再从解集中找出其中的非负整数解。
解:
略
方法5:
逆向思考法
例5、已知关于x的不等式的解集是x>3,求a的值。
分析:
因为关于x的不等式的解集为x>3,与原不等式的不等号同向,所以有a-2>0,即原不等式的解集为,解此方程求出a的值。
解:
略
[规律总结]此题先解字母不等式,后着眼已知的解集,探求成立的条件,此种类型题都采用逆向思考法来解。
代数部分
第六章:
函数及其图像
知识点:
一、平面直角坐标系
1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了-一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征:
(1)各象限内点的坐标有如下特征:
点p(x,y)在第一象限x>0,y>0;
点p(x,y)在第二象限x<0,y>0;
点p(x,y)在第三象限x<0,y<0;
点p(x,y)在第四象限x>0,y<0。
(2)坐标轴上的点有如下特征:
点p(x,y)在x轴上y为0,x为任意实数。
点p(x,y)在y轴上x为0,y为任意实数。
3.点p(x,y)坐标的几何意义:
(1)点p(x,y)到x轴的距离是|y|;
(2)点p(x,y)到y袖的距离是|x|;
(3)点p(x,y)到原点的距离是
4.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征:
(1)点p(a,b)关于x轴的对称点是;
(2)点p(a,b)关于x轴的对称点是;
(3)点p(a,b)关于原点的对称点是;
二、函数的概念
1、常量和变量:
在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量。
2、函数:
一般地,设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
(1)自变量取值范围的确是:
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数,自变量取值范围是全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数,自变量取值范围是使分母不为0的实数。
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数,自变量取值范围是使被开方数非负的实数。
注意:
在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,还必须使实际问题有意义。
(2)函数值:
给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。
(3)函数的表示方法:
①解析法;②列表法;③图像法
(4)由函数的解析式作函数的图像,一般步骤是:
①列表;②描点;③连线
三、几种特殊的函数
1、一次函数
直线位置与k,b的关系:
(1)k>0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角;
(2)k<0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角;
(3)b>0直线与y轴交点在x轴的上方;
(4)b=0直线过原点;
(5)b<0直线与y轴交点在x轴的下方;
2、二次函数
抛物线位置与a,b,c的关系:
(1)a决定抛物线的开口方向
(2)c决定抛物线与y轴交点的位置:
c>0图像与y轴交点在x轴上方;c=0图像过原点;c前项,比的后项:
两条线段的比a:
b中。
a叫做比的前项,b叫做比的后项。
说明:
求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例:
两个比相等的式子叫做比例,如
4、比例外项:
在比例(或a:
b=c:
d)中a、d叫做比例外项。
5、比例内项:
在比例(或a:
b=c:
d)中b、c叫做比例内项。
6、第四比例项:
在比例(或a:
b=c:
d)中,d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项:
如果比例中两个比例内项相等,即比例为(或a:
b=b:
c时,我们把b叫做a和d的比例中项。
8、比例线段:
在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
9、比例的基本性质:
如果a:
b=c:
d那么ad=bc逆命题也成立,即如果ad=bc,那么a:
b=c:
d
10、比例的基本性质推论:
如果a:
b=b:
d那么b2=ad,逆定理是如果b2=ad那么a:
b=b:
c。
说明:
两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质:
如果,那么
12.等比性质:
如果,(),那么
说明:
应用等比性质解题时常采用设已知条件为k,这种方法思路单一,方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段,使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项,叫做把这条线段黄金分割。
说明:
把一条线段黄金分割的点,叫做这条线段的黄金分割点,在线段ab上截取这条线段的倍得到点c,则点c就是ab的黄金分割点。
二、平行线分线段成比例
1、平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
格式:
如果直线l1‖l2‖l3,ab=bc,
那么:
a1b1=b1c1,如图4-l
说明:
由此定理可知推论1和推论2
推论1:
经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式:
如果梯形abcd,ad‖bc,ae=eb,ef‖ad,那么df=fc
推论2:
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
格式,如果△abc中,d是ab的中点,de‖bc,那么ae=ec,如图4-3
2、平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
说明:
平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。
3.平行线分线段成比例定理的推论:
平行于三角形一边的直线截其它两边,所得的对应线段成比例。
说明1:
平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。
如图4-4
说明2:
图4-4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。
4、三角形一边的平行线的判定定理。
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
5、三角形一边的平行线的判定定理:
平行于三角形的一边,并且和其
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