山东淄博中考数学解析.docx
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山东淄博中考数学解析
2019年山东省淄博市初中毕业、升学考试
数学
(满分120分,考试时间120分钟)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题4分,共48分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号内.1.(2019山东淄博,题号1,分值4)比-2小1的实数是()
A.-3B.3C.-1D.1
【答案】A.
【解析】由题意可列出:
-2-1=-(2+1)=-3.
即比-2小1的数为-3.
故选:
A.
【知识点】实数的运算,有理数的减法
2.(2019山东淄博,题号2,分值4)国产科幻电影《流浪地球》上映17日,票房收入突破40亿人民币,将40亿用科学记数法表示为()
A.40108B.4109C.401010D.0.41011
【答案】B.
【解析】本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n
的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1
时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.因此40亿可用科学记数法表示为4×109,故选:
B.
【知识点】科学记数法-表示较大的数
3.(2019山东淄博,题号3,分值4)下列几何体中,其主视图、左视图和俯视图完全相同的是()
A.B.C.D.
【答案】D.
【解析】:
A、圆柱的主视图和左视图是长方形、俯视图是圆形,故本选项不符合题意;
B、三棱柱的主视图和左视图是相同的长方形,但是俯视图是一个三角形,故本选项不符合题意;
C、长方体的主视图和左视图是不一样的长方形,俯视图也是一个长方形,故本选项不符合题意;
D、球体的主视图、左视图和俯视图是相同的圆,故本选项符合题意.
故选:
D.
【知识点】简单几何体的三视图
4.(2019山东淄博,题号4,分值4)如图,小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处,又从点B处沿东
偏南20°方向行走至C处,则∠ABC等于()
答案】C.
解析】如图,由题意,得∠DAB=40°,∠EBC=20°,
∵南北方向上的两条直线是平行的,
∴AD∥BF,∴∠ABF=∠DAB=40°.又∵∠EBF=90°,
∴∠CBF=90°﹣20°=70°,
∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=40°+70°=110°.故选:
C.
【知识点】方向角,平行线的性质
1x15.(2019山东淄博,题号5,分值4)解分式方程2时,去分母变形正确的是()
x22x
A.1x12(x2)B.1x12(x2)
C.1x12(2x)D.1x12(x2)
【答案】D.
【解析】方程两边同乘以x-2,得1x12(x2),故选:
D.
【知识点】解分式方程的步骤
6.(2019山东淄博,题号6,分值4)与下面科学计数器的按键顺序:
对应的任务是()
0·6×5ab/c6+12yx4
A.0.66124B.0.65124C.0.656412D.0.65412
566
【答案】B
5
【解析】由计算器中输入顺序,对应的任务是0.6124,故选B.
6
【知识点】用科学计算器计算
7.(2019山东淄博,题号7,分值4)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影
部分的面积为()
A.2B.2C.22D.6
【答案】B
【解析】由小正方形的面积为2,则其边长为2,大正方形的面积为8,则其边长为8=22,所以阴影部分的面积为2×(22-2)=2.
故选:
B.
【知识点】算术平方根,二次根式的计算,面积的计算
B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为(
7
D.a
2
5
A.2aB.aC.3a
2
【答案】C.
【思路分析】在△BAC和△ADC中,∠C是公共角,∠CAD=∠B.,则△BAC∽△ADC,根据相似三角形的性质求出△ABC的面积,进而求出△ABD的面积.
BC
【解题过程】在△BAC和△ADC中,∵∠C是公共角,∠CAD=∠B.,∴△BAC∽△ADC,∴2,
AC
SVABCBC2
∴VABC=()24,又∵△ADC的面积为a,∴△ABC的面积为4a,∴△ABD的面积为3a.
SVDACAC
【知识点】相似三角形的判定和性质
22
9.(2019山东淄博,题号9,分值4)若x1x23,x12x225,则以x1,x2为根的一元二次方程是()
A.x23x
20
B.x2
3x2
0C.x23x2
0
D.x2
3x20
【答案】A.
【思路分析】
已知
x1x23,再求出
x1gx2的值,进而求出以
x1,x2为根的一
元二次方程
【解题过程】
(x1
x2)2x12
2x2
2x1x2,
又∵x1x2
22
3,x1x25,
∴2x1x2
(x1
x2)2(x12
x22)
954,
∴x1,x22,
2
∴以x1,x2为根的一元二次方程是x23x20.
故选:
A.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
h随时间t的变化情
10.(2019山东淄博,题号10,分值4)从某容器口以均匀地速度注入酒精,若液面高度况如图所示,则对应容器的形状为()
答案】C思路分析】由函数图象,结合容器的形状,根据单位时间内液面高度的变化解答.解题过程】从函数图象上观察得,注入容器酒精时,随着时间t的增加,液面高度也在不断增加,但是,增加的高度是由慢快慢快,在速度一定的情况下,容器的形状应该相应的变大变小变大变小,故选:
C.
【知识点】函数图象
2
11.(2019山东淄博,题号11,分值4)将二次函数yx24xa的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是()
A.a>3B.a<3C.a>5D.a<5
【答案】D.【思路分析】先把二次函数解析式化为顶点式,再利用二次函数的平移规律表示出平移后的二次函数解析式,与y=2联立成一元二次方程,根据两函数有两个交点,则△>0,列出不等式求出a的范围.
【解题过程】∵yx24xa(x2)2(a4),向左平移一个单位,再向上平移一个单位后的解析式为
2
y(x1)2(a3),
令2(x1)2(a3),即x22xa40,
由⊿44(a4)>0,得a<5.
【知识点】二次函数图象的平移规律,抛物线与直线的交点问题,一元二次方程根的判别式
12.(2019山东淄博,题号12,分值4)如图,OA1B1,A1A2B2,A2A3B3,⋯是分别以A1,A2,A3,⋯为直角顶点,
一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点C1(x1,y1),C2(x2,y2),C3(x3,y3),⋯均在反比
4
例函数y(x>0)的图象上,则y1y2Ly100的值为()
x
A.210B.6C.42D.27
【答案】20
【思路分析】根据△OC1A1是等腰直角三角形,过点C1作C1M⊥x轴,则C1M=OM=MA1,所以可设C1的坐标是(a,a),把(a,a)代入解析式得到a=2,从而求出A1的坐标是(4,0),再根据△C2A1A2是等腰直角三角形,设C2的纵坐标是b,则C2的横坐标是4+b,把(4+b,b)代入函数解析式得到b的值,故可得出C2的纵坐标y2,同理可以得到C3的纵坐标,⋯C100的纵坐标,根据规律可以求出y1+y2+⋯+y100.
【解题过程】如图,过点C1作C1M⊥x轴,
∵△OC1A1是等腰直角三角形,∴C1M=OM=MA1,
4
设C1的坐标是(a,a)(a>0),,把(a,a)代入解析式y(a>0)中,得a=2,
x
∴y1=2,
∴A1的坐标是(4,0),
又∵△C2A1A2是等腰直角三角形,
∴设C2的纵坐标是b(b>0),则C2的横坐标是4+b,
把(4+b,b)代入函数解析式得b=4,解得b=22﹣2,
4b
∴y2=22﹣2,
∴A2的坐标是(42,0),
设C3的纵坐标是c(c>0),则C3横坐标为42+c,把(42+c,c)代入函数解析式得c=4
42
解得c=23﹣22,
∴y3=23﹣22.
∵y1=21﹣20,y2=22﹣21,y3=23﹣22,⋯
∴y100=2100﹣299,
∴y1+y2+y3+⋯+y100=2+22﹣2+2﹣22+⋯+2100﹣299=2100=20.
【知识点】规律探究问题,反比例函数图象和性质,等腰直角三角形的性质,一元二次方程的解法,二次根式的计算
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题中横线上.
132
13.(2019山东淄博,题号13,分值4)单项式a3b2的次数是
2
【答案】5
【解析】单项式的次数是所有字母指数的和,即2+3=5.
【知识点】单项式的概念及单项式的次数
32
14.(2019山东淄博,题号14,分值4)分解因式:
x35x26x=
【答案】x(x3)(x2)
【解析】x35x26x=x(x25x6)x(x3)(x2).
【知识点】因式分解,提取公因式法,十字相乘法
α<180°)
15.(2019山东淄博,题号15,分值4)如图,在正方形网格中,格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<
得到格点△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α=度
【答案】90°
【解析】∵旋转图形的对称中心到对应点的距离相等,∴分别作边AC和A1C1的垂直平分线,两直线相交于点D,则点D即为旋转中心,连接AD,A1D,∴∠ADA1=α=90°
【知识点】旋转对称图形的性质,旋转角
16.(2019山东淄博,题号16,分值4)某校欲从初三级部3名女生,2名男生中任取两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦?
青春梦”演讲比赛,则恰好选中一男一女的概率是
3
【答案】3
5
解析】解法1:
列表如下
女
女
女
男
男
女
女,女
女,女
女,男
女,男
女
女,女
女,女
女,男
女,男
女
女,女
女,女
女,男
女,男
男
女,男
女,男
女,男
男,男
男
女,男
女,男
女,男
男,男
所有可能的结果数为20,选中一男一
女的结果数为12,
所以,选中一男一女的概率
P=12
3.
20
5.
解法2:
画树状图如下
所有可能的结果数为20,
选中一男一
女的结果数为12,
所以,选中一男一女的概率
12P=
3
20
5.
【知识点】用列表法或树状图法求事件的概率
17.(2019山东淄博,题号17,分值4)如图,以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,
使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF.
13
如图1,当CD=AC时,tan1;
214
15
如图2,当CD=AC时,tan2;
3212
1
如图3,当CD=41AC时,tan3
7
24
1
tan
依次类推,当CD=AC(n为正整数)时,
n1
∴tann
2n12n1n(2n2)2n(n1)
知识点】几何变换,规律探究题
三、解答题:
本大题共7个小题,共52分。
解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
x5
18.(2019山东省淄博市,18,5分)解不等式:
+1>x-3.
2【思路分析】解不等式的步骤:
解不等式,去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.【解题过程】x-5+2>2x-6,
x-2x>-6+5-2,
-x>-3,
x<3.
【知识点】解不等式,不等式性质.
19.(2019山东省淄博市,19,5分)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:
∠E=∠C.
思路分析】证明△ABC和△ADE全等.
解题过程】∵∠BAE=∠DAC,∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,
AB=AD
BACDAE,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠E=∠C.
AC=AE
知识点】全等三角形的判定,SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
20.(2019山东省淄博市,20,8分)文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年3
月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办,引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段
市民对本次大会的关注程度,随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查,并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图,如下所示:
组别
年龄段
频数(人数)
第1组
10≤x<20
5
第2组
20≤x<30
a
第3组
30≤x<40
35
第4组
40≤x<50
20
第5组
50≤x<60
15
20
(3)×300万=60万.
100
A、B两种产
【知识点】频数,直方图,扇形统计图,
21.(2019山东省淄博市,21,8分)“一带一路”促进了中欧贸易的发展,我市某机电公司生产的
品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元,总利润为1020万元(利润=售价-成本),其每件产品的成本和售价信息如下表:
A
B
成本(单位:
万元/件)
2
4
售价(单位:
万元/件)
5
7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少?
【思路分析】根据销售总额为2060万元,总利润为1020万元列关于二元一次方程组,从而求得两种产品的销售件数
【解题过程】设A种产品销售件数为x件,B种产品销售件数为y件,由题意列方程得
5x7y2060x160
解得,
3x3y1020y180
答:
A种产品销售件数为160件,B种产品销售件数为180件.【知识点】二元一次方程组的应用
22.(2019山东省淄博市,22,8分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,交BC于点D,点E在AC上,以AE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证:
①BC是⊙O的切线;②CD2=CECA;
(2)
若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积。
思路分析】
(1)①BC是⊙O的切线,需连接DO,再证DO⊥BC;
CDCE
②由CD2=CECA,需证CD=CE,从而证△CDE∽△CAD;
CACD
(2)由F为弧AD的中点可得△DFO、△AOF是等边三角形,由此求出⊙O的半径.
【解题过程】
(1)①连接DO,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD,∵DO=AO,∴∠EAD=∠ADO,∴∠BAD=∠ADO,∴BA∥DO,∴∠CDO=∠B,∵∠B=90°,∴∠CDO=90°,∴BC是⊙O的切线;
②连DE,∵AE是直径,∴∠ADE=90°,∴∠CDE+∠ADB=90°,又∵∠ADB+∠BAD=90°,∠BAD=∠DAE,
(2)连接OD、FO、DF,∵点F是劣弧AD的中点,
∴D?
F=?
AF,∴∠AOF=∠DOF,∠BAD=∠ADF,∵∠BAD=∠EAD,∴∠EAD=∠ADF,∴DF∥AC,∴∠AOF=∠DFO,又∵∠DFO=∠FDO,∴∠DFO=∠FDO=∠DOF
=60°,又∴DF∥AC,∴S△DFA=S△DFO,
连DE,∴△DEO是等边三角形,∴∠CDE=30°=∠C,∴CE=DE=DO=3,
123
∴S阴影=S扇形DFO=×π×32=
2
知识点】切线判定方法,相似三角形的判定,等边三角形判定,等底等高的三角形面积相等,扇形面积计算
23.(2019山东省淄博市,23,10分)如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且AB=2BC,取EF的中点M.连接MD,MG,MB.
(1)试证明DM⊥MG,并求MB的值;
MG
(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形,设∠EAB=2α(0°<α<90°).其它条件不变,问
(1)中MB的值有变化吗?
MG若有变化,求出该值(用含α的式子表示);若无变化,说明理由.
【思路分析】
(1)由M是EF的中点,构造全等三角形,
(2)根据菱形+∠EAB=2α可以设连接特殊线段,根据特殊垂直证明四边形TBFD为矩形,再设边长为2和1
在直角三角形用α和边长2和1表示出MB和MG最后求出比值MB412
MGtan2
【解题过程】
(1)延长GM交DE于H,∵EF的中点M,∴EM=FM,∵正方形ABDE、正方形BCFG,∴AB∥DE∥
∠AMH=∠FMG
GF,∴∠HEM=∠GFM,在△EHM和△FGM中,EMFM,∴△EHM≌△FGM(ASA),∴HM=MG,GF
∠HEM=∠GMF
=EH,∵AB=2BC,∴GF=EH=DH=DG,∴DM是△HDG底边上的中线,∴DM⊥MG;
设AB=4,BC=2,易求MB=1EF=122425,MG=2BC=2,∴MB=2=10
222MG55
由题知AD⊥EB、EF⊥GC,DF⊥BF,∠EAT=∠BAT=∠GBQ=∠CBQ=α∴四边形TBFD为矩形∴DF=TB∵G为BD的中点
1∴MG=DF
2
由题设AB=2,
在RT△EBF中由勾股定理得
全等三角形判定,等腰三角形三线合一,倍长中线构造全等
24.(2019山东省淄博市,24,12分)如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)问在y轴上是否存在点P,使得△PAM为直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求
CI的最小值.
思路分析】
(1)将A、B两点坐标代入抛物线表达式;
(2)△PAM是直角三角形,分类讨论:
当点P、A、M分别是直角顶点时的情况,构造相似三角形;
(3)(方法1)由
(1)得DA=OA=3,设D(x,y),△ADG的内切圆半径为r,表示内心I(x+r,r),DG=y,AG=3-x
333
由两点距离公式可得DA,r,CI,联立方程组解得当CI2在x5,y=51最小,此时CI也最小,
2105
方法2)如图,由内心易知:
∠DIA=135°,∠DAI=∠OAI,△DAI≌△OAI(SAS),∴∠DIA=∠OIA=135°,则
33
在△CIA中,CI≥CT-IT=10-2,当C、I、T三点一线时,CImin=10-2
2min2
∴y=-x2+2x+3.
(2)假设存在点P,使△PAM是直角三角形.
当点M为直角顶点,过M作CD⊥y轴,过A作AD⊥x轴,交CD于D,CD交y轴于C,∵∠AMP=90°,∴∠CMP
17
∴PC=,∴P1(0,);
2
2
当点
A为直角顶点,过
A作CD⊥x轴,过
M作MD⊥y轴交AD于D,
过P作PC⊥y轴交CD于C,
同上△CPA∽
△DAM,∴PC=
AC3AC
,∴=,
3
∴AC=,∴P2(0,-
3);
AD
MD42
2
2
当点
P为直角顶点,过
M作CM⊥y轴于C,
∴△CPM∽△OAP,∴
PC
=CM,∴
=,∴
PC=1,∴
=,∴
PC=1或3,
AO
PO
34-PC
∴P3(0,3),P4(0,1).
综上所述,使△PAM是直角三角形的点P的是
P1(0,7),P2(0,-3),P3(0,3),P4(0,1).
22
(3)(方法1)由
(1)得DA=OA=3,∴DG=y,AG=3-x
设D(x,y),
△ADG的内切圆半径为r,则△ADG的内心I为(x+r,r),
由两点距离公式可得DA2
x3
2
y2
329①
由等面积法得
r=
DG+AG
DA
x3=y2x②
∴CI2
2
2③
由①②③得
CI
35
10
35
5
91225
2
CI2在x
方法2)
3
2
简解:
如图,由内心易知:
∠
1305,
y=5351最小,
此时
CI也最小,
CImin
91225=
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