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二次函数典型真题讲解
备战2018中考——二次函数典型真题讲解
二次函数作为初中学习的基本初等函数,每年是各地中考的重要内容,并且分值占比比较大,如何彻底掌握它,也是中学生面临的一大难点,而且问答上目前有很多关于二次函数的问题,鉴于此,本次专门来探讨一下二次函数部分,同时结合中考真题来揭示二次函数部分的命题方向。
一、知识点梳理
1、二次函数定义:
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
例:
如果函数y=(a-1)x2是二次函数,那么a的取值范围是a≠1.
2、解析式;
(1)三种解析式:
①一般式:
y=ax2+bx+c;②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k);③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
(2)待定系数法:
巧设二次函数的解析式;根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);解方程(组),求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.
3、二次函数的图象和性质
比较二次函数函数值大小的方法:
①直接代入求值法;②性质法:
当自变量在对称轴同侧时,根据函数的性质判断;当自变量在对称轴异侧时,可先利用函数的对称性转化到同侧,再利用性质比较;④图象法:
画出草图,描点后比较函数值大小.
4、系数之间的关系
5、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ>0,两个不相等的实数根;
当Δ=0,两个相等的实数根;
当Δ<0,无实根
6.二次函数与不等式
抛物线y=ax2+bx+c=0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0的解集;在x轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集.
二、真题讲练
1、二次函数概念、性质和图像
【逐步提示】本题考查的知识点较多,主要有动态问题、等腰三角形的性质,分段函数和分类讨论的数学思想,解题的关键把整个运动过程分为两段,针对每一种情况求出函数表达式,值得注意的是点P是在一条折线上运动,当点P分别在边AB和边AC上时,情况是不一样的,所以应该分类讨论;其次,解决动态问题一个很重要的能力是把相关线段用含有x的代数式表示出来,然后构建方程或函数关系式;
【解后反思】在探讨动态问题时,首先要对运动过程做一个全面、全程的分析,弄清楚运动过程中的变量和常量,其次,要分清运动过程中不同的位置关系,找到相邻两种状态的分界点,例如这道题的分界点是x=2,根据不同的情况分类讨论,画出图形,然后把图中的线段用含有运动时间t或者自变量x的代数式表示出来,然后考虑构建方程、不等式或函数关系式;
【逐步提示】通过配方或直接套用顶点公式计算出二次函数的对称轴,根据抛物线的开口方向与增减性可判断选项A是否正确;求出抛物线的顶点坐标,同时结合开口方向即可知选项B与C的正误;根据二次函数与一元二次方程的关系,通过计算判别式的大小,即可判断抛物线与x轴的交点情况,进而可判断选项D正确与否.
【逐步提示】本题考查了一次函数和二次函数的图象,解题的关键是弄清二次函数和一次函数的图像与解析式之间的关系.先根据特殊点的位置及各直线所过的象限确定a的正负,再由抛物线的开口方向判断a的正负,若两者所得a的符号一致,则图象正确.
【详细解答】解:
当x=0时,都有y=c,所以直线和抛物线都过点(0,c),排除A;对于B,由直线知a<0,由二次函数知a>0,矛盾;对于C,由直线知a>0,由二次函数图象知a<0,矛盾,只有D符合,故选择D.
【解后反思】本题易错点是容易忽视特殊点的位置而误选A.多种函数图像的识别,一般可以先确定其中一种函数的图像(如一次函数,反比例函数),再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点,最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察,得出结论.
2、二次函数与代数结合
大利润是512元.
【解后反思】此题第
(1)问不难,难在解答第
(2)问,需要分情况讨论.根据已知条件中的0≤x≤5,5<x≤19,及由函数图像分析得出的0≤x≤9,9≤x≤19这四个自变量的取值范围,再结合利润求解公式就可得出0≤x≤5,5<x≤9,9<x≤19这三种利润计算情况.
【逐步提示】
(1)根据二次函数的定义及二次函数与一元二次方程的关系,可直接求得m的取值范围;
(2)抛物线过定点,也就是说把该定点坐标代入解析式时不受m取值的影响,所以只要含m的项其和为0即可,这样先求得所过定点的横坐标x的值,然后再代入解析式计算纵坐标y的值,不在坐标轴上的点即为所求的点P;(3)△ABP的AB边上的高即为点P的纵坐标4,故在1/4<m≤8的范围内,求得线段AB的值,再利用三角形面积公式易于得到其最值,线段AB的值可通过解一元二次方程直接得到.
【解后反思】
(1)二次函数的y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:
没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:
没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.
(2)以形定数,抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实根;以数定形,求出方程ax2+bx+c=0的两实根,便得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.特别地,一元二次方程ax2+bx+c=m的解,即为二次函数y=ax2+bx+c当y=h时的两点的横坐标.
(3)函数图象过定点问题,一般解决方法是函数解析式中所含参数的项的和为0时,则函数值不受字母参数的影响,据此可求定点的坐标.
(3)抛物线中三角形的最值问题,一般先设出动点的坐标,然后用其表示相关线段的长度,再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式确定最值.
本题是二次函数综合题目,考查了二次函数与一元二次方程的关系,根的判别式以及最值问题等知识;本题难度较大,根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键
3、二次函数与几何结合
二次函数与几何结合的考题比较多,由于绘图比较麻烦,而且在手机上看起来也不舒服,我这边就只举一个典型例子。
【逐步提示】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质、利用待定系数法求二次函数解析式、点平移的坐标规律等,灵活运用各方面的知识是解题的关键.
【解后反思】本题中需要注意的三种意识:
第一个是参数意识,就本题而言,点在抛物线上,设它的横坐标为m,则它的纵坐标就要把m代入解析式,用含有m的代数式来表示它的纵坐标;第二个意识就是求面积时,特别是不规则图形或是难求的图形的面积,我们要用能求出面积的图形的代数和来表示;第三个意识就是由于有平行四边形,就应该有平移的意识,用平移的知识来解决有关平行四边形的问题.
4、二次函数与实际生活
1.(2016广东茂名,23,8分)某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划,以下是活动计划书的部分信息.
(1)陈经理查看计划书发现:
A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买图书,能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本.请求出A、B两类图书的标价.
(2)经市场调查后,陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响,便调整了销售方案:
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