中考数学专题复习易错疑难解析第六章几何图形初步.docx
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中考数学专题复习易错疑难解析第六章几何图形初步
2018年中考数学专题复习易错疑难解析
第六章几何图形初步
【易错点拨】
1.当一条直线上有n个点时,在这条直线上存在
条
线段.
2.平面内有n个点,过两点确定一条直线,在这个平面内最多
存在
条直线.
3.如果平面内有n条直线,最多存在
个交点.
4.如果平面内有n条直线,最多可以将平面分成
部分.
5.邻补角互补,但互补的角不一定是邻补角.
6.两条线互相垂直,则相交成90°,反之亦成立.
7.“垂线段最短”“两点之间线段最短”的意义是不同的,不要混淆.
8.在平行线定义中,注意“在同一平面内”这个条件.
9.平行线判定与性质极易混淆,应注意题设与结论的辨别,搞清因果关系.
10.利用平行线的性质时要注意“两直线平行”这一条件,平行线的性质常常用来证明角相等或互补.
【易错警示】
易错点一:
防止漏解的秘密
【例题1】已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC使BC=3cm,则线段AC=________.
【错解1】点C在线段AB上,则AC=AB-BC=8-3=5(cm),故AC为5cm.
【错解2】点C在AB的延长线上,则AC=AB+BC=8+3=11(cm),故AC为11cm.
【错因】点C可能在线段AB上,也可能在AB的延长线上,容易掉解,因此需分类讨论计算.
【正解】5cm或者11cm.
【案例跟踪】
(2013年犍为县五校联考)某同学在纸上画了四个点,如果把这四个点彼此连接,连成一个图形,则这个图形中会有个三角形出现。
答案:
0或3或4或8
易错点二:
对平行线的认识模糊
【例题2】如图,直线a,b被直线c所截,下列说法正确的是( )
A.当∠1=∠2时,一定有a∥b
B.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°
D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b
【错解】A或B或C
【错因】平行线的判定定理模糊不清或平行线的判定与性质混
淆.
【正解】D
【案例跟踪】
(2016·山东省菏泽市·3分)如图,将一副三角板和一张对边平行的
纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是 15° .
【考点】平行线的性质.
【专题】计算题.
【分析】过A点作AB∥a,利用平行
线的性质得AB∥b,所以∠1=∠2,∠3=∠4=30°,加上∠2+∠3=45°,易得∠1=15°.
【解答】解:
如图,过A点作AB∥a,
∴∠1=∠2,
∵a∥b,
∴AB∥b,
∴∠3=∠4=30°,
而∠2+∠3=45°,
∴∠2=15°,
∴∠1=15°.
故答案为15°.
【点评】本题考查了平行线的性质:
两直线平行,内错角相等.
【疑难解析】
疑难类型之一:
直线、线段和射线
【例题】[2014·长沙]如图19-2,C,D是线段
AB上的两点,且D是线段AC的中点,若
AB=10cm,BC=4cm,则AD的长为()
A.2cmB.3cm
C.4cmD.6cm
【解析】 ∵AB=10cm,BC=4cm,
∴AC=AB-BC=6cm,
又∵点D是AC的中点,∴AD=DC=3cm.
【点悟】 对于线段的和、差关系以及涉及线段的中点问题,需要结合图形,认真观察.若已知线段上给出的点未明确其位置,还需要分类讨论,千万不要漏解.
【真题链接】
链接1:
(2016•台湾)如图
(一),
为一条拉直的细线,A、B两点在
上,且
:
=1:
3,
:
=3:
5.若先固定B点,将
折向
,使得
重迭在
上,如图
(二),再从图
(二)的A点及与A点重迭处一起剪开,使得细线分成三段,则此三段细线由小到大的长度比为何?
( )
A.1:
1:
1B.1:
1:
2C.1:
2:
2D.1:
2:
5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度,从而根据比值可以得到图一中各线段的长,根据题意可以求出折叠后,再剪开各线段的长度,从而可以求得三段细线由小到大的长度比,本题得以解决.
【解答】解:
设OP的长度为8a,
∵OA:
AP=1:
3,OB:
BP=3:
5,
∴OA=2a,AP=6a,OB=3a,BP=5a,
又∵先固定B点,将OB折向BP,使得OB重迭在BP上,如图
(二),再从图
(二)的A点及与A点重迭处一起剪开,使得细线分成三段,
∴这三段从小到大的长度分别是:
2a、2a、4a,
∴此三段细线由小到大的长度比为:
2a:
2a:
4a=1:
1:
2,
故选B.
【点评】本题考查比较线段的长短,解题的关键是理解题意,求出各线段的长度.
疑难类型之二:
角的概念与计算
【例题】[2014·滨州]如图19-4,OB是∠AOC的角平分线,OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°,∠COE=60°,则∠BOD的度数为()
A.50°B.60°
C.65°D.70°
【解析】 ∵OB是∠AOC的角平分线,OD是∠COE的角平分线,∠AOB=40°,∠COE=60°,
∴∠BOC=∠AOB=40°,∠COD=
∠COE=
×60°=30°,
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
【真题链接】
链接2:
(2016•宜昌)已知M、N、P、Q四点的位置如图所示,下列结论中,正确的是( )
A.∠NOQ=42°B.∠NOP=132°
C.∠PON比∠MOQ大D.∠MOQ与∠MOP互补
【分析】根据已知量角器上各点的位置,得出各角的度数,进而得出答案.
【解答】解:
如图所示:
∠NOQ=138°,故选项A错误;
∠NOP=48°,故选项B错误;
如图可得:
∠PON=48°,∠MOQ=42°,故∠PON比∠MOQ大,故选项C正确;
由以上可得,∠MOQ与∠MOP不互补,故选项D错误.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了余角和补角,正确得出各角的度数是解题关键.
疑难类型之三:
平行线的判定与性质的综合运用
【例题】(2016·山东省滨州市·3分)如图,AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点M,N,过点N的直线GH与AB交于点P,则下列结论错误的是( )
A.∠EMB=∠ENDB.∠BMN=∠MNCC.∠CNH=∠BPGD.∠DNG=∠AME
【考点】平行线的性质.
【分析】根据平行线的性质,找出各相等的角,再去对照四个选项即可得出结论.
【解答】解:
A、∵AB∥CD,
∴∠EMB=∠END(两直线平行,同位角相等);
B、∵AB∥CD,
∴∠BMN=∠MNC(两直线平行,内错角相等);
C、∵AB∥CD,
∴∠CNH
=∠MPN(两直线平行,同位角相等),
∵∠MPN=∠BPG(对顶角),
∴∠CNH=∠BPG(等量代换);
D、∠DNG与∠AME没有关系,
无法判定其相等.
故选D.
【点评】本题考查了平行线的性质,解题的关键是结合平行线的性质来对照四个选择.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据平行线的性质
找出相等(或互补)的角是关键.
【真题链接】
链接3:
(2016·山东省济宁市·
3分)如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=55°,那么∠2的度数是( )
A.20°B.30°C.35°D.50°
【考点】平行线的性质.
【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数,再由平行线的性质即可得出∠2的度
数.
【解答】解:
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°,
∵a∥b,
∴∠2=∠3=35°.
故选:
C.
疑难类型之四:
平行线的开放探究型问题
【例题】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图20-11①,若AB∥CD,点P在AB,CD外部,则有∠B=∠BOD,又因为∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D.将点P移到AB,CD内部,如图20-11②,以上结论是否成立?
若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD,∠B,∠D之间有何数量关系?
请证明你的结论;
(2)在图20-11②中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图20-11③,则∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间有何数量关系?
(不需证明)
(3)根据
(2)的结论求图20-11④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
【解析】
(1)过P作AB(或CD)的平行线或延长BP交CD于点E,利用平行线性质证明;
(2)由三角形外角性质推导;(3)利用
(2)的结论把所有角转化到一个四边形中.
解:
(1)不成立,结论是∠BPD=∠B+∠D.
证明:
如答图,延长BP交CD于点E,
∵AB∥CD,∴∠B=∠BED.
又∵∠BPD=∠BED+∠D,
∴∠BPD=∠B+∠D;
(2)结论:
∠BPD=∠BQD+∠B+∠D;
(3)设AC与BF相交于点G,由
(2)的结论,得∠AGB=∠A+∠B+∠E.
又∵∠AGB=∠CGF,∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
【点悟】 本题属探索型题目,解题的关键是由图形提供的信息,探索,猜想,归纳出在不同位置上有关角之间的变化规律.这是近几年中考中的创新型试题.
【真题链接】
链接4:
[2016·中考预测]如图20-13,已知AB∥EF,∠BAC=p,∠ACD=x,∠CDE=y,∠DEF=q,则用p,q,y来表示x.得()
A.x=p+y-q+180°B.x=p+q-y+180°
C.x=p+q+yD.x=2p+2q-y+90
【解析】 如答图,分别过点C,D作
CM,DN平行
AB,EF,
则∠BAC=∠ACM=p,
∠MCD+∠NDC=180°,
∠MCD=∠ACD-∠ACM=x-p,
∠NDE=∠DEF=q,
∴∠NDC=∠CDE-∠NDE=y-q,
∴x-p+y-q=180°,
即x=p+q-y+180°.
【难点突破】
1.(2016•长沙)下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(2016•宜昌)如图,田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是( )
A.垂线段最短
B.经过一点有无数条直线
C.经过两点,有且仅有一条直线
D.两点之间,线段最短
3.(2016•烟台)如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是( )
A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140°
4.(2016·云南省昆明市·3分)如图,AB∥CE,B
F交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 .
5.(2016·浙江省湖州市·4分)如图1是我们常用的折叠式小刀,图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是 90 度.
6.(2015•内蒙古赤峰4,3分)如图,直线AB∥CD,一个含60°角的直角三角板EFG(∠E=60°)的直角顶点F在直线AB上,斜边EG与AB相交于点H,CD与FG相交于点M.若∠AHG=50°,则∠FMD等于( )
A.10°B.20°C.30°D.50°
7.(2015•辽宁抚顺)(第14题,3分)如图,分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a,b,使a∥b.若∠1=40°,则∠2的度数为 .
8.(2016·浙江省湖州市·3分)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠A
BC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC
的距离是( )
A.8B.6C.4D.2
【难点突破参考答案】
1.(2016•长沙)下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.依此定义结合图形即可求解.
【解答】解:
∵三角形的内角和为180°,
∴选项B中,∠1+∠2=90°,即∠1与∠2互为余角,
故选B.
【点评】本题考查了余角的定义,掌握定义并且准确识图是解题的关键.
2.(2016•宜昌)如图,田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是( )
A.垂线段最短
B.经过一点有无数条直线
C.经过两点,有且仅有一条直线
D.两点之间,线段最短
【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度,从而确定答案.
【解答】解:
∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度,
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间,线段最短,
故选D.
【点评】本题考查了线段的性质,能够正确的理解题意是解答本题的关键,属于基础知识,比较简单.
3.(2016•烟台)如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是( )
A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140°
【分析】如图,点O是AB中点,连接DO,易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD,只要求出∠BCD的度数即可解决问题.
【解答】解:
如图,点O是AB中点,连接DO.
∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD,
∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时,
∠BCD=40°或70°,
∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°,
故选D.
【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系,量角器、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解∠BOD=2∠BCD,学会分类讨论的思想,属于中考常考题型.
4.(2016·云南省昆明市·3分)如图,AB∥CE,B
F交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为 40° .
【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.
【分析】由等腰三角形的性质证得E=∠F=20°,由三角形的外角定理证得∠CDF=∠E+∠F=40°,再由平行线的性质即可求得结论.
【解答】解:
∵DE=DF,∠F=20°,
∴∠E=∠F=20°,
∴∠CDF=∠E+∠F=40°,
∵AB∥CE,
∴∠B=∠CDF=40°,
故答案为:
40°.
5.(2016·浙江省湖州市·4分)如图1是我们常用的折叠式小刀,图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是 90 度.
【考点】平行线的性质.
【分析】如图2,AB∥CD,∠AEC=90°,作EF∥AB,根据平行线的传递性得到EF∥CD,则根据平行线的性质得∠1=∠AEF,∠2=∠CEF,所以∠1+∠2=∠AEC=90°
【解答】解:
如图2,AB∥CD,∠AEC=90°,
作EF∥AB,则EF∥CD,
所以∠1=∠AEF,∠2=∠CEF,
所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°.
故答案为90.
6.(2015•内蒙古赤峰4,3分)如图,直线AB∥CD,一个含60°角的直角三角板EFG(∠E=60°)的直角顶点F在直线AB上,斜边EG与AB相交于点H,CD与FG相交于点M.若∠AHG=50°,则∠FMD等于( )
A.10°B.20°C.30°D.50°
【解析】平行线的性质.先根据平行线的性质求出∠CKG的度数,再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数,根据对顶角相等即可得出结论.
【解答】解:
∵直线AB∥CD,∠AHG=50°,
∴∠AKG=∠XKG=50°.
∵∠CKG是△KMG的外角,
∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°.
∵∠KMG与∠FMD是对顶角,
∴∠FMD=∠KMG=20°.
故选B.
【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:
两直线平行,同位角相等.
7.(2015•辽宁抚顺)(第14题,3分)如图,分别过等边△ABC的顶点A、B作直线a,b,使a∥b.若∠1=40°,则∠2的度数为 80° .
【解析】平行线的性质;等边三角形的性质.先根据△ABC是等边三角形得出∠BAC=60°,故可得出∠BAC+∠1的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵∠1=40°,
∴∠BAC+∠1=100°.
∵a∥b,
∴∠2=180°﹣(∠BAC+∠1)=180°﹣100°=80°.
故答案为:
80°.
【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:
两直线平行,同旁内角互补.
8.(2016·浙江省湖州市·3分)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠A
BC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC
的距离是( )
A.8B.6C.4D.2
【考点】角平分线的性质.
【分析】过点P作PE⊥BC于E,根据角平分线上的点到角的两边
的距离相等可得PA=PE,PD=PE,那么PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE=4.
【解答】解:
过点P作PE⊥BC于E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,
∴PD⊥CD,
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,
∴PE=4.
故选C.
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