《用尺规作三角形》教案 公开课.docx

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《用尺规作三角形》教案公开课

3.4用尺规作三角形

●教学目标

〔一〕教学知识点

在给出三角形的一些要素后能利用尺规准确地作出三角形.

〔二〕能力训练要求

1.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形.

2.能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性.

〔三〕情感与价值观要求

在学生利用尺规作图的过程中，培养学生的动手能力和探索精神.

●教学重点

利用尺规作三角形.

●教学难点

如何利用尺规作三角形.

●教学方法

讲练结合法.

●教具准备

投影片四张

第一张：

做一做〔记作投影片§3.4A〕

第二张：

作图过程〔记作投影片§3.4B〕

第三张：

做一做〔记作投影片§3.4C〕

第四张：

做一做〔记作投影片§3.4D〕

学生用具：

直尺、圆规

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情景，引入新课

［师］在第二章里我们已研究了用尺规作图.会用尺规作一条线段等于线段，作一个角等于角.现在来回忆一下：

用尺规作图的步骤：

［生］用尺规作图的步骤有：

、求作、分析、作法.

［师］很好.下面大家来画一条线段等于线段.

［生］：

线段a,求作：

一条线段，使它等于a.

图

作法：

1.画射线AC.

2.在射线AC上截取AB=a.

那么线段AB就是所求作的线段.

图

［师］好，那如何作一个角等于角呢？

［生］：

∠AOB.求作：

一个角，使它等于∠AOB.

图

作法：

1.画射线O′B′.

2.以O为圆心，以任意长为半径画弧.交OA于D点，交OB于C点；

3.以O′为圆心，以OC的长为半径画弧.交O′B′于点C′.

4.以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′.

5.过D′作射线O′A′.

那么∠A′O′B′就是所求作的角.

图

［师］很好，从答复以下问题中知道大家根本掌握了用尺规作线段和角.边和角是三角形的根本元素.如果给了一些三角形的根本元素，你能用尺规作出一个三角形，使它满足条件吗？

这节课我们就来利用尺规作一个三角形与三角形全等.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们来做一做〔出示投影片§3.4A〕

三角形的两边及其夹角.

求作这个三角形.

［师］如何求作这个图形呢？

［师生共析］需要先写出、求作，然后进行分析，最后画图形，写作法.

：

线段a、c，∠α.

图

求作：

△ABC，使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.

图

分析：

假设这个三角形已作出，如图.从图中可知，是两边夹角，所以可先作一条线段等于线段中的任一条，然后以所作的线段为角的一边，它的一端点为角的顶点，作角.使这个角等于角，再在角的另一边截取线段的另一条，最后连结，组成三角形.

［师］下面大家按老师的表达步骤来作图.

〔教师表达作法，师生共画，完成之后，出示投影片§3.4B〕

作法

示范

1.作一条线段BC=a

2.以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α

3.在射线BD上截取线段BA=c

4.连接AC.△ABC就是所求作的三角形.

［师］很好，将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？

为什么？

［生齐声］全等.因为两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

［师］同学们真棒.大家想一想：

这个题还有没有其他的作法呢？

［生］有，先作出一个角等于角，然后再在角的两条边上分别截取线段等于线段.从而作出三角形.

［师］很好.哪位同学口述作法呢？

［生］1.作∠DBF=∠α

2.在射线BD上截取BA=c

在射线BF上截取BC=a

3.连接AC.

那么：

△ABC就是所求作的三角形.

图

［师］这位同学表达得真好.下面大家来根据作法画出相应的图形〔出示投影片§3.4C〕

三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.

：

∠α、∠β，线段c

图

求作：

△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β，BA=c.

请按照给出的作法作出相应的图形.

作法

图形

1.作∠DAF=∠α

2.在射线AF上截取线段AB=c

3.以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β.BE交AD于点C

△ABC就是所求作的三角形

［师］在画图时，要准确运用直尺和图规，并要注意保存作图痕迹.

［生］我们根据给出的作法，画出相应的图形:

如图5－149：

图

［师］同学们画得很准确，将你作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？

为什么？

［生］我所作的三角形与同伴作出的三角形进行了比较，它们全等.因为两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

［师］很好.下面同学们来独立作一个图形以稳固尺规作图的技能.

Ⅲ.课堂练习

课本“做一做〞3.〔出示投影片§3.4D〕

三角形的三条边，求作这个三角形.

：

线段a、b、c

图

求作：

△ABC,使AB=c，AC=b,BC=a.

〔1〕请写出作法并作出相应的图形.

〔2〕将你作出的三角形与同伴作的进行比较，它们全等吗？

为什么？

答案：

〔1〕作法及图形如下表.

〔2〕根据条件所作的三角形都是全等的.因为三边对应相等的两个三角形全等.

作法

图形

1.作一条线段BC=a

2.分别以B、C为圆心，以c,b为半径画弧，两弧交于A点

3.连接AB、AC，那么△ABC就是所求作的三角形

Ⅳ.课时小结

本节课我们利用尺规作出一些三角形.

在几何作图中，通常先画出所要求作的图形的草图，然后根据草图把事项具体化；在求作中，通常先写出要作出什么图形，再写出这个图形符合什么条件.写作法时，一般不重复根本作法过程.如：

作一条线段等于线段和作一个角等于角等.

几何作图的每一步作图都必须有根有据.

Ⅴ.课后作业

〔一〕课本习题3.91、2、3

〔二〕1.预习内容：

2.预习提纲

〔1〕复习三角形全等的条件.

〔2〕如何利用三角形全等解决实际问题.

Ⅵ.活动与探究

我们经常能见到国徽、国旗以及军人帽徽上的五角星.图〔1〕中也有一个漂亮的五角星.你想画出它吗？

要想画一个很漂亮的五角星，需要先画出一个正五边形.如何画正五边形呢？

可按下面的方法来画〔如图〔2〕〕

1.作⊙O

2.作直径AC垂直于直径BD.

3.以OC的中点E为圆心，EB为半径画弧交OA于点F；

4.以BF为半径，从圆周上B点起依次截取就可得到正五边形的五个顶点.

连结正五边形所有的对角线，再稍加修饰就构成一个漂亮的五角星了.

图

过程：

让学生在画图的过程中，进一步掌握尺规作图的技能.

结果：

〔学生画出较好的五角星〕

●板书设计

§3.4作三角形

一、用尺规作图：

：

线段a、c，∠α

图

求作：

△ABC，使BC=a,AB=c，∠ABC=∠α.

作法：

1.作一条线段BC=a

2.以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α

3.在射线BD上截取线段BA=c.

4.连接AC.

那么△ABC就是所求作的三角形

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

1.7平方差公式

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.了解平方差公式的几何背景.

2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

3.体会符号运算对证明猜想的作用.

（二）能力训练要求

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.

2.培养学生观察、归纳、概括等能力.

（三）情感与价值观要求

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.

2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.

●教学重点

平方差公式的几何解释和广泛的应用.

●教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养根本的运算技能.

●教学方法

启发——探究相结合

●教具准备

一块大正方形纸板，剪刀.

投影片四张

第一张：

想一想，记作（§1.7.2A）

第二张：

例3，记作（§1.7.2B）

第三张：

例4，记作（§1.7.2C）

第四张：

补充练习，记作（§1.7.2D）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.

这个正方形的面积是多少？

［生］a2.

［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1－23）.现在我们就有了一个新的图形（如上图阴影局部），你能表示出阴影局部的面积吗？

图1－23

［生］剪去一个边长为b的小正方形，余以以下列图形的面积，即阴影局部的面积为（a2－b2）.

［师］你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗？

同学们可在小组内交流讨论.

（教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法）

［生］老师，我们拼出来啦.

［师］讲给大伙听一听.

［生］我是把剩下的图形（即上图阴影局部）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a－b）,长是a;下面的小长方形长是（a－b）,宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a－b）,我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形（阴影局部），它的长和宽分别为（a+b）,（a－b）,面积为（a+b）（a－b）.

图1－24

［师］比较上面两个图形中阴影局部的面积，你发现了什么？

［生］这两局部面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）=a2－b2.

［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.

［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.

［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.

［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇〞的作用.

Ⅱ.讲授新课

［师］出示投影片（§1.7.2A）

想一想：

（1）计算以下各组算式，并观察它们的特点

（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？

（3）请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］

（1）中算式算出来的结果如下

［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.

［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

［生］我猜想是.我又找了几个例子如：

［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,那么有（a+1）（a－1）=a2－1.

［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.

［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？

（同学们惊讶，然后讨论）

［生］a可以代表任意一个数.

［师］很好！

同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.

［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

（陷入沉思）

［生］例如：

计算29×31很麻烦，我们就可以转化为（30－1）（30+1）=302－1=900－1=899.

［师］确实如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法，太好了.

我们不妨再做几个类似的练习.

出示投影片（§1.7.2B）

［例3］用平方差公式计算：

（1）103×97

（2）118×122

［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.

［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=（100+3）（100－3）=10000－9=9991.太简便了！

［生］我观察也发现了第

（2）题的“微妙〞.

118=120－2,122=120+2

118×122=（120－2）（120+2）=1202－4=14400－4=14396.

［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.

［师］我们再来看一个例题（出示投影片§1.7.2C）.

［例4］计算：

（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2;

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）.

分析：

上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.

解：

（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2

=a2（a2－b2）+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）

=（2x）2－52－（4x2－6x）

=4x2－25－4x2+6x

=6x－25

注意：

在

（2）小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.

［例5］公式的逆用

（1）（x+y）2－（x－y）2

（2）252－242

分析：

逆用平方差公式可以使运算简便.

解：

（1）（x+y）2－（x－y）2

=［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］

=2x·2y

=4xy

（2）252－242

=（25+24）（25－24）

=49

Ⅲ.随堂练习

1.（课本P32）计算

（1）704×696

（2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（x－1）

（3）x（x－1）－（x－

）（x+

）

（可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠）

解：

（1）704×696=（700+4）（700－4）

=490000－16=489984

（2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（x－1）

=（x2－4y2）+（x2－1）

=x2－4y2+x2－1

=2x2－4y2－1

（3）x（x－1）－（x－

）（x+

）

=（x2－x）－［x2－（

）2］

=x2－x－x2+

=

－x

2.（补充练习）

出示投影片（§1.7.2D）

解方程：

（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）=（7x+1）（x－1）

（先由学生试着完成）

解：

（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）

=（7x+1）（x－1）

（2x）2－1+3（x2－4）=7x2－6x－1

4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1

6x=12x=2

Ⅳ.课时小结

［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.

［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.

［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.

［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a（a+1）－（a+b）（a－b）一定要先算乘法，同时减号后面的积（a+b）（a－b）,算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.

……

Ⅴ.课后作业

课本习题1.12.

Ⅵ.活动与探究

计算：

19902－19892+19882－19872+…+22－1.

［过程］先做乘方运算，再做减法，那么计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.

［结果］原式=（19902－19892）+（19882－19872）+…+（22－1）

=（1990+1989）（1990－1989）+（1988+1987）（1988－1987）+…+（2+1）（2－1）

=1990+1989+1988+1987+…+2+1

=

=1981045

●板书设计

§1.7.2平方差公式

（二）

一、平方差公式的几何解释：

二、想一想

特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明

即（a+1）（a－1）=a2－1

三、例题讲解：

例3例4

四、练习

●备课资料

参考练习

1.选择题

（1）在以下多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（）

A.（－a－b）（a－b）B.（c2－d2）（d2+c2）

C.（x3－y3）（x3+y3）D.（m－n）（－m+n）

（2）用平方差公式计算（x－1）（x+1）（x2+1）结果正确的选项是（）

A.x4－1B.x4+1

C.（x－1）4D.（x+1）4

（3）以下各式中，结果是a2－36b2的是（）

A.（－6b+a）（－6b－a）B.（－6b+a）（6b－a）

C.（a+4b）（a－4b）D.（－6b－a）（6b－a）

2.填空题

（4）（5x+3y）·（）=25x2－9y2

（5）（－0.2x－0.4y）（）=0.16y2－0.04x2

（6）（－

x－11y）（）=－

x2+121y2

（7）假设（－7m+A）（4n+B）=16n2－49m2,那么A=，B=.

3.计算

（8）（2x2+3y）（3y－2x2）.

（9）（p－5）（p－2）（p+2）（p+5）.

（10）（x2y+4）（x2y－4）－（x2y+2）·（x2y－3）.

4.求值

（11）（上海市中考题）x2－2x=2,将下式先化简，再求值

（x－1）2+（x+3）（x－3）+（x－3）（x－1）

5.探索规律

（12）（北京市中考）观察以下顺序排列的等式：

9×0+1=1

9×1+2=11

9×2+3=21

9×3+4=31

9×4+5=41

……

猜想：

第n个等式（n为正整数）应为.

答案：

1.

（1）D

（2）A（3）D

2.（4）（5x－3y）（5）（0.2x－0.4y）

（6）（

x－11y）（7）A=4n,B=7m

3.（8）9y2－4x4（9）p4－29p2+100

（10）x2y－10

4.（11）原式=3（x2－2x）－5=3×2－5=1

5.（12）9×（n－1）+n=（n－1）×10+1（n为正整数）.