对弧长的曲线积分.docx
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对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
一、概念的引进
假设xoy面内有一段曲线弧L具有质量,在L上任一点(X,y)处的线密度
为P(x,y),且P(x,y)在L上连续,A与B分别是弧L的端点,现计算弧L的
质量m。
在L上任意地插入n+1个分点
A=Mo,Mi,…,MiT,Mi,…,MnT,Mn=B将L分划成n个小弧段。
对于第i个小弧段弧Mi-iMi,由于线密度函数
P(x,y)在L上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于
PCi)°S灯(\1)弧Mi^Mi,網表示弧Mi^Mj的长度于是,整个曲线弧L的质量近似值为
n
m-2p^iJi)仏s
i=1
紅=max{也s}
用入表示这n个小弧段长度的最大者,即1兰兰n
为了得到质量m的精确值,只需对上述和式取极限,令)•T0,
n
m=lim送PCjjj)仏Sj
即:
TOi=1
撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L为xoy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界,在L内
任意地插入n中1点,
/f(x,y)ds
L。
其中:
f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
注记:
Jf(x,y)ds
1、L中的被积函数f(x,y)的定义域为L上的一切点。
2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形,
设「是空间的一条光滑曲线,函数f(x,y,z)在r上有界,则
n
Jf(x,y,z)ds=limSf(勺,^,匚“也寄p20i=1
3、若L为一条封闭曲线,一般将Lf(x,y)ds记为?
f(x,y)ds
二、对弧长的曲线积分的性质
利用对弧长的曲线积分定义,我们可以证明下述性质
J[f(x,y)±g(x,y)]ds=【f(x,y)ds±Jg(x,y)ds
1、
2、
LLL
若k为常数,/k'f(x'y)d^kLf(x,y)ds
3、
Jds=L的长度
L
5、若L"L1L2,则
Jf(x,y)ds=Jf(x,y)ds+/f(x,y)ds
LL1L2
上述性质均不加以证明,有兴趣的同学可以查阅有关书籍。
三、对弧长曲线积分的计算法
假设曲线L由参数方程
X=
给出,且函数®(t),*(t)在W'P]上具有一阶连续导数;函数f(x,y)在L
IIIIIII
aK<-1习
在L上取一系列的点
A=Mo,Mi,…,Mj_i,Mi,Mn—i,Mn=B
设它们对应于一列单调增加的参数值
<■-
-二to 依定义 n Jf(x,y)ds=lim送f® L人T0i=1 这里的Ci「i)亡弧M^1Mi,并设点CiJi)对应于参数值Ti 则J"Ci)「i"”i)tiT"i兰ti 由弧长计算公式与定积分中值定理有 △Sj=jJ[®Yt)F+WYt)]2dt ti_i 从而 Jf(x,y)ds=lirnZf[®(Ti),*e)]Jfn时)]2 2 +[A(时)]2.Atj ⑵ L人T°i=1 J®'(时)]2+WOiJ]2与\/[®Oi)]2+【帖(Ti)]2 只相差一个人ti的高阶无穷小,因此,我们可以把⑵式右端的T'换成"i,有 nt22 Jf(x,y)ds=lirn2f[珥h),*(5)]V〔"(5)】+〔『(5)]山tj LA°i=1 而右端和式的极限,就是函数f【°(t),°(t)]([°'(t)]+卧’(t)】在区间 [°,3]上的定积分。 由于函数是连续的,故此定积分存在,因此,上式左端的曲线 积分亦存在,且有 P/2T Jf(x,y)ds=Jf[®(t)*(t)]V釘(t)]+釦(t)]dt L 强调指出, (3)式中的定积分下限a—定要小于上限3,理由是 △Sj='(叫)]2+w。 : )]2dtj 给出,因小弧段的长度心s>°,从而 U>0=ti-ti_i>°二ti>tiT(i=1,2,…,n) 因此a=toVtiV" 利用(3)式,可导出如下几种对弧长的曲线积分计算公式1、曲线L由方程 y=*(x)(a兰X兰b) 给出时, bj Jf(x,y)ds=Jf[x*(x)]Jll【A(x)】2dx La2、曲线L由方程 x=w(y)(c兰y兰d) 给出时, dI Jf(x,y)ds=Jf严(y),y]Jl+〔A(y)]2dy Lc 3、空间曲线「由参数方程 xN(t) 彳y"(t)W 给出时, H(x,y,z)ds= z"(t) Jf[半(t),*(t)^(t)]'(t)r+ft'(t)r+b'(t)】2dt a qjx2+y2ds22 【例1】计算L,其中L为圆周x+y=aX(a》°) 【解法一】L可化为参数方程 (x-2)2+y2= (2)2 az,\ X=-(1+cose) (0<日<2兀) 2 a. y=—sin日y2 J[x']2+【y]2=j[-眄+[2论] 6 cos— 2 Jx2+y2=j〒(1+cos)=a 0 2 0 cos d^=Ja cos- 2 0 2 匹 2 0 d (2) qjx2十y2ds=2 L02 =Ja2costdt=2a2Jcostdt=2a2 【解法二】曲线L关于x轴对称,设.是在x轴上方的一支,则方程应为 而被积函数 Li y=vax—X2(0兰X兰a) =2jvaXds Li ava/ 0va-X 2a2 【例2】计算半径为R,中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量1(设线密度为p二1)。 解: 建立如图所示的坐标系 I-ry2ds L 而于是 Tx=Rcos日: [y=Rsin日 (—a<0 JR2 sin2日 -Rsin9)2+(Rcos日)2d£ -a JR3sin2&d日=2R3Jsin2日d日 -a 2R3J 「一cos2日 d8 「11 2%5 Jo R3(a 1 -2sin)
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- 关 键 词:
- 曲线 积分