四年级下册数学奥数试题培优拓展训练第14讲幻方学生版.docx
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四年级下册数学奥数试题培优拓展训练第14讲幻方学生版
第十四讲幻方
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【知识点解析】
一、幻方的概念:
所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数,使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等;而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种,一种是限制了所填入的数字,或者给出了需要填入的各个数字,或者已经填入一个或几个数字;另一种是对填入的数字没有任何限制,填对即可。
幻方又称为魔方,方阵等,它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上苍,于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,作为礼物献给他,这就是“河图”了,是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到1至9这九个数,恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法
1、累加法
利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起,再计算每一个位置上的重数,从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后,结合枚举法完成数阵图的填写,在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
3、比较法
利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系,注意它们之间共同的部分,去比较不同的部分。
4、掌握好3阶幻方中的规律。
三阶幻方的性质:
1.中心位置上的数等于幻和除以3;
2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数;
3.中心数两头的数等于中心数的2倍。
例1:
我们先来一起解决三道难度相差很大的题目,目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。
如下图,将1—9填入3×3的方格表中,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等,你一共可以得到多少种填法?
例2:
下图是一个三阶幻方,请说明幻和等于3倍的E且D+F=2×E。
B
A
C
第3题
例3:
上图是一个三阶幻方,请说明A+B=2×C。
例4:
那么究竟我们总结出来的3条性质有什么用呢,
请完成下面的三阶幻方:
例5:
下图是一个三阶幻方,请说明幻和等于3倍的E且D+F=2×E。
B
A
C
第3题
例6:
下图是一个三阶幻方,请说明A+B=2×C。
A档
1、请完成下面的三阶幻方:
2、求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。
3、将1—12填入图中的12个区域内,使得每个圆圈内的4个数字之和都相等。
4、将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图中的9个圆圈内,使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等,那么这个相等的和为_______;(图中有7条直线,请填出)
5、如下图,将1—9填入3×3的方格表中,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等,你一共可以得到多少种填法?
6、请完成下面的三阶幻方:
B档
1、将1—12填入图中的12个区域内,使得每个圆圈内的4个数字之和都相等。
2.将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图中的9个圆圈内,使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等,那么这个相等的和为_______;(图中有7条直线,请填出)
3.用1~9这九个数编排一个三阶幻方。
4.请编出一个三阶幻方,使其幻和为24。
5.在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数,使其成为一个三阶幻方。
6.在下面各图形的○里填上适当的数,使每条线上三个数的和都等于21。
C档
1.用1~9这九个数补全图1中的幻方,并求幻和。
2.用3~11这九个数补全图2中的幻方,并求幻和。
3.在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
4、用1~16这十六个数编排一个四阶幻方(四行四列)。
5、用1~64这六十四个数编排一个八阶幻方(八行八列)。
1、下图是一个三阶幻方,请说明幻和等于3倍的E且D+F=2×E。
2、请完成下面的三阶幻方:
3、从1至13这十三个数中挑出十二个数,填到图3的小方格中,使每一横行四个数之和相等,使每一竖列三个数之和又相等。
4、把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。
5、把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中,使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
6、下图中,每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等,若
。
求
与
为多少?
7、下图中,
7个字母,各代表7个数字,要使三阶幻方成立,“
”所代表的数字是多少?
18
12
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1.将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条
2.把1~9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
3.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。
4.求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。
5.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。
6.求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。
7.在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
8.在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
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