积分中值定理的推广及应用.docx
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积分中值定理的推广及应用
海南大学
毕业论文(设计)
题目:
积分中值定理的推广及应用学号:
姓名:
年级:
学院:
信息科学技术学院
系另壯数学系
专业:
信息与计算科学
指导教师:
完成日期:
年月日
本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用,我们将它主要分为以下儿个方面:
积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点纟的渐进性,积分中值定理的应用。
我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理,而且还给出了这些定理的详细证明过程。
在此基础上,我们还讨论了在儿何形体。
上的黎曼积分第一中值定理,它使得积分中值定理更加一般化,此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。
在积分中值定理的推广方面,我们III最初的在闭区间讨论函数/(劝的积分中值定理情形转换为在开区间(ab)上讨论函数/(X)±的积分中值定理,这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。
不仅如此,我们还将儿何形体。
上的黎曼积分笫一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。
有关§点的渐进性,我们对第一积分中值定理的g点的做了详细的讨论,给出详细清楚的证明过程。
而笫二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形,其它证明过程只做简要说明。
对于应用,我们给出了一些较简单的情形如佔讣积分值,求含有定积分的极限,确定积分号,比较积分大小,证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
关键词:
积分中值定理;推广;应用;渐进性
Abstract
Themaincontentofthispaperarethemean-valuetheoremanditsapplication,itwillbemainlydividedintothefollowingrespects:
integralmean-valuetheorem,thegeneralationofintegralmean-valuetheorem,theasymptoticpropertyofthe^'intermediatepoint”ofintegralmedianpoint,theapplicationofintegralmean-valuetheorem.
Wehavediscussedthedefiniteintegralmean-valuetheorem,thefirstmeanvaluetheorem,thesecondintegralmean-valuetheorem,andhavegivenadetailedproofofthesetheoremsprocess・Onthisbasis,wealsohavediscussedtheRiemannfirstintegralmean-valuetheoremonthegeometryQ・Itmakestheintegralmean-valuetheoremismoregeneral,thecasehasasignificantroleinthediscussionofpracticalissuesingeneral.
Inthepromotionofintegralmeanvaluetheorem,wehavediscussedtheintegralmean-valuetheoremoffunctionf(x)intheinitialclosedinterval[a.b]inthecaseofdiscussingitintheopeninterval(a.b).thechangehasmoreconvenienceinsolvingsomepracticalmathematicalproblem・Inaddition,wewillpromotetheRiemannfirstintegralmean-valuetheoremonthegeometryQtothesituationofthefirstandsecondtypecurveinintegraltheoremandThesecondtypesurfaceintegralmean-valuetheorem.
AbouttheProgressiveof>point,wehavediscussedthe Accordingtoapplication,wepresentedasimplesituation,forexample,estimateintegralvalue,solvethelimitsofdefiniteintegral,defineintegralsign,comparethemagnitudeofintegralvalue,provethemonotonicoffunctionandAbeltestandDirichlettest Keywords: integralmean-value;theorempromotion;apply: progressive 1引言1 2积分中值定理的证明2 2.1定积分中值定理2 2.2积分第一中值定理3 2.3积分第二中值定理3 2.4儿何形体上黎曼积分第_中值定理6 3积分中值定理的推广9 3.1定积分中值定理的推广9 3.2定积分第一中值定理的推广9 3.3定积分第二中值定理的推广11 3.4第一曲线积分中值定理12 3.5第二曲线积分中值定理12 3.6第一曲面积分中值定理13 3.7第二曲面积分中值定理14 4第一积分中值定理中值点的渐进性16 5第二积分中值定理中值点的渐进性20 6积分中值定理的应用23 6.1估计积分值23 6.2求含定积分的极限24 6.3确定积分号24 6.4比较积分大小25 6.5证明函数的单调性25 6.6证明定理25 7结论29 谢辞30 参考文献31 1引言 随着时代的发展,数学也跟着时代步伐大迈步前进。 其中,微积分的创立,也极大地推动了数学的发展。 积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的,它在数学分析的学习过程占有很重要的地位,并且对于后续课程的学习也起着较大作用,在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。 通常情况下,积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。 而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理,即在一个区间上的情形。 还讨论了在儿何形体上•二重、三重积分的悄形的积分中值定理。 并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛,比如物理学和数学。 我们将积分中值定理加以应用,把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式: 数学中一些定理的证明,数学定理、命题,儿何应用,含定积分的极限应用,确定积分符号,比较积分大小,证明函数单调性,估计积分值。 虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐,但是我们任然可以把它当作一个基础定理,解决一些现实问题。 此外,在20世纪,国内外定在有关积分中值定理的“中间点”渐进性质研究就已经有很显著的成就。 数学家们不但将较为简单的情况下(一个区间上)的情形论述第一、笫•二积分中值定理的渐进性质论述透彻,而且还加以推广,包括有定积分中值定理的逆问题及其逆问题的渐近性,第一曲线型积分渐近性,其至还将积分线山有限改为无穷的情形,他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化。 本课题的研究过程为: 讨论和分析积分中值定理,然后将其加以推广,讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质,最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。 课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性,将各方面的应用如: 估计积分值,求含有定积分的极限,确定积分号,比较积分大小,证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。 2积分中值定理的证明 2.1定积分中值定理 定理1(定积分中值定理): 如果函数/W在闭区间[""]上连续,则在区间S,b]上至少存在一个点使下式 成立。 证明: 因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即in 有积分性质可知m(b-a)<£f(x)dx 由于b-ci>0,对不等式同时除以”可得 m<~—Jf(x)dx 此式表明—CfMdx介于函数f(x)的最大值M和最小值加之间。 b-aJa 山闭区间上连续函数的介值定理,在闭区间⑺”]上至少存在一点,使得函数/(X)在点纟处的值与这个数相等,即应该有 1fb -—\fzn b-aJa 成立,将上式两端乘以即可得到 \=/(§)("-°),(a<^ 命题得证。 备注1: 很显然,积分中值定理中公式 [/3心=/(§)(/? —“)(纟在a与b之间) 不论dvb或。 >b都是成立的。 2.2积分第一中值定理 定理2(第一积分中值定理): 如果函数/(x)在闭区间[“"]上连续,g(x)在(a,b)上不变号,并且g(x)在[°上]上是可积的,则在[匕甸上至少存在一点使得 J: f(x)g(x)dx=/(§)£g(x)〃x,(a<^ 成立。 证明: 由于g(x)在[a,b]_h不变号,我们不妨假设g(x)>0,并且记/(X)在[a,b]上的最大值和最小值为M和m,即m(a) 〃? g(x)(x)g(x) 成立。 对上式在也上]上进行积分,可得 〃寸: g(x)dx<£f(x)g(x)dx 此时在九M之间必存在数值“,使得必即有 J: gMdx 成立。 由于/(x)在区间S,b]上是连续的,则在⑷刃上必定存在一点歹,使蚀=“成立。 此时即可得到 [/■(x)gC%=/(机'g(x)dx, 命题得证。 2.3积分第二中值定理 定理3(积分第二中值定理): 如果函数/(x)在闭区间[“上]上可积,而g(x)在区间 (a,b)上单调,则在[«,/? ]±至少存在一点使下式成立 £f(x)g(x)dx=g(a)^f(x)dx+g(Z? )Jf(x)dx(2-2) 特别地,如果g(x)在区间(“/)上单调上升且g(“),那么存在使下式成立 J: fWg(x)dx=g(b)「f{x)dx(2-3) 如果g(x)在区间(“上)上单调下降且ggO,那么存在釘使下式成立 J: /(x)g(x)〃x=g(a)[f(x)dx(2-4) 证明: 由题设条件知/(x),g(x)在区间[a,切上都是可积的,曲积分性质可知/(a-)-^(a)也是可积的。 我们先证明(2-3)式,即在g(x)非负、且在区间(ab)上单调上升的情形下加以证明。 对于(2-4)式证明是类似的,最后我们再将其推导到一般情形,即可证明(2-2) 式。 在区间[o,b]上取一系列分点使a= 其中©为g(x)在Ax;上的幅度,即e=sup{g(x)}-inf{g(x)},再将所讨论的积分作如下l・fjUfJ 改变: 将积分限等分为如下〃等份,并且记 XfX,fM[gM-g(xi)]dx=p,fg(xj『f(x)dx=a. r-1/-I曰 =£g(Xi)「/3力+乞「/(x)[g(x)-g(兀)皿三b+Q' /-IJx>~'i-\Jx,- 因为/Xx)在[a9b]±可积,且区间⑷切是有限的,所以/3在s,b]上有界,此时我们 不妨假设|/(a-)| 估计岡如下: \p\=怛J: f(x)[g(x)-g(x.)}dx 川g(x)-g3)|次 s£|/a)|\gM-g(a-)|ja- ®dx=厶工①山; /-1 山于g(x)可积,所以当2=maxzkv,->0时,有Yty-Axr0,从而有lim/? =O,从而 可知 ff(x)2(x)(lx=hm(<7+p)=limb+limp Ja/ItO久tO龙tO J—1 我们记FM=jhf(x)dx,由于函数/(x)在闭区间[a,b]上可积,那么函数F(x)是[匕切上的连续函数,并且有最大值和最小值M和加,记为nt ffMdx=F(x^)-F(xi),F(xo)=F(Z? )=O, 从而 b=fg3)J: fWdx r-1 J-l =£g3)F(x-)-乞g(易)F(xJ r-1J-l nn-1 =gg)Fg)+工g(兀)F(®i)-工gd)F(xJ /-2r-i n-1 =g(xJF(x())+Y[g(®J-ga;)]F(xJ r-1 因为g(x)是非负的,并且在区间(a,b)上单调上升,即有g3)ng(Xo)=g(“)AO、g(%i)-g(兀)》0成立,所以有下式成立 71-1H-1 加{g3)+》(g(%j-ga))}SbSM{g(xj+Y(g(%i)-g(Xf))}o /-I/-I 即有
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