高斯克吕格直角坐标系解剖.docx
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高斯克吕格直角坐标系解剖
高斯-克吕格投影
大地坐标系是大地测量的基本坐标系。
常用于大地问题的细算,研究地球形状和大小,编制地图,火箭和卫星发射及军事方面的定位及运算,若将其直接用于工程建设规划、设计、施工等很不方便。
所以要将球面上的大地坐标按一定数学法则归算到平面上,即采用地图投影的理论绘制地形图,才能用于规划建设。
高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种,根据我国的地理情况,为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制,早在1952年决定,采用高斯克吕格平面直角坐标系。
重点:
1高斯投影概念、投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系
2高斯平面直角坐标系的建立
3坐标方位角的定义、性质与反算
难点:
l投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系
2坐标方位角的定义、性质与反算
1高斯—克吕格投影的形成
1.1为什么要投影
⏹参考椭球面是不可展曲面
⏹不便于地图的制作、使用和保管
⏹不便于地图应用中的计算
1.2什么是投影
⏹按一定的数学法则将参考椭球面上的点、线、图形化算到平面上的过程。
1.3投影变形
⏹长度变形、角度变形、面积变形
1.4地图投影的种类
⏹按投影面:
方位投影,圆锥投影,圆柱投影
⏹按投影变形:
等角投影等积投影任意投影(等距投影)
⏹按投影面与参考椭球的位置关系:
⏹切、割横、纵、斜
1.5地图投影的选择
⏹依国土的位置、形状和地图的用途选择投影方式。
⏹我国基本比例尺地形图投影选择标准:
⏹投影后保持角度不变
⏹长度变形不能超过一定限度
⏹小范围内图形保持相似
2高斯投影(等角横切椭圆柱投影)
2.1高斯投影的基本概念
地球是椭球面,是不可展曲面,无论如何选择投影函数,椭球面上的元素,投影到平面上,都会产生变形(角度、长度、面积)。
高斯是德国杰出的数学家、测量学家。
他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。
它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上,如下图所示:
椭球体中心O在椭圆柱中心轴上,椭球体南北极与椭圆柱相切,并使某一子午线与椭圆柱相切。
此子午线称中央子午线。
然后将椭球体面上的点、线按正形投影条件投影到椭圆柱上,再沿椭圆柱N、S点母线割开,并展成平面,即成为高斯投影平面。
在此平面上:
2.2高斯投影变形规律
①中央子午线是直线,其长度不变形,离开中央子午线的其他子午线是弧形,凹向中央子午线。
离开中央子午线越远,变形越大。
②投影后赤道是一条直线,赤道与中央子午线保持正交。
③离开赤道的纬线是弧线,凸向赤道。
投影前后的角度保持不变,且小范围内的图形保持相似。
具有对称性。
面积有变形。
2.3坐标系的定义:
在投影面上,中央经线和赤道的投影都是直线,并且以中央经线和赤道的交点作为坐标原点,以中央经线的投影为纵坐标,以赤道的投影为横坐标,这就形成了高斯平面直角坐标系。
2.4分带投影:
高斯投影可以将椭球面变成平面,但是离开中央子午线越远变形越大,这种变形将会影响测图和施工精度。
为了对长度变形加以控制,测量中采用了限制投影宽度的方法,即将投影区域限制在靠近中央子午线的两侧狭长地带。
这种方法称为分带投影。
投影带宽度是以相邻两个子午线的经差来划分。
有6°带、3°带等不同投影方法。
分带投影示意图
通常按经线每隔6°进行分带投影。
由0°经线起每隔经差6°自西向东分带,依次编号1、2、3……。
6°带的带号N和中央经线L的关系为:
L=6N-3。
已知某点大地经度L,可按下式计算该点所属的带号:
有余数时,为n的整数商+1。
为了进一步限制变形,可以采用3°投影分带。
3°带和6°带的中央经线重合,6°带的中央经线和分带经线均是3°带的中央经线。
3°带的带号n和中央经线L的关系为:
L=3n。
中国用3°带划分的范围是24~45,用6°带划分的范围是13~23。
2.5坐标系中的XY取值
2.6高斯—克吕格平面直角坐标系的形成
X轴—中央子午线的投影
Y'轴—赤道投影
X⊥Y';A(X、Y')Y'称为横坐标的自然值
x值无论在哪一带都是由赤道起算的自然值。
为了使Y'不出现负值,Y轴西移500公里,形成XOY坐标系。
B(X,Y)∴Y=带号+Y'+500000米Y称为横坐标的通用值
例1:
已知:
yB=18267135m(通用坐标)
求:
B点的自然坐标值Y'(6带划分)
解:
Y'=Y-500000=267135-500000=-232865m
例2:
6°带第20带中,y=-200.25m,应写为20499799.75m。
例3:
AB点自然坐标如下:
A:
X=50000.00mY=-10000.00m
B:
X=50000.00mY=10000.00m
转换成通用坐标
A:
X=50000.00mY=19490000.00m
B:
X=50000.00mY=19510000.00m
2.7换带计算
1目的
使带边沿附近控制点化算到同一坐标系统中,以便相互利用;使3°、6°或任意带坐标之间实现共享。
2计算过程
由已知X、Y、L0应用高斯投影反算公式求得L、B;
由L、B、L’0应用高斯投影正算公式求得X’、Y’。
2.8投影带的重叠
1、为什么要重叠
采用分带投影,虽限制了长度变形,但相邻带坐标系相互独立,带边沿地形图无法拼接使用,控制点不能相互利用。
为此,需用投影带重叠的方法解决。
2、重叠规定
西带向东带延伸30′,东带向西带延伸7.5′或15′重叠范围内的地形图有两套坐标网格,控制点有两套坐标。
3方位角及其相互关系
3.1方位角的定义:
在高斯平面内,由基准方向(北方向)顺时针量至某直线的夹角,称为该直线的方位角。
依据基准方向(北方向)的不同选择,方位角有真方位角、坐标方位角和磁方位角三种。
3.2真方位角
基准方向:
子午线北方向
来源:
天文观测、陀螺经纬仪测定和计算求得。
特点:
同一直线上各点的真方位角不等。
3.3坐标方位角
基准方向:
坐标纵轴方向
特点:
1、正反方位角相差180º
2、同一直线上各点坐标方位角相等
来源:
由坐标反算或角度传递得到。
用途:
控制网起算数据和坐标推算。
坐标方位角反算步骤:
已知XA、YA、XB、YB 求αAB(用计算机)
<1>计算坐标增量 △X=XB-XA,△Y=YB-YA
<2>计算α=TAN-1(△Y/△X)
<3>判断△X<0?
是α=α+180º
<4>判断α<0?
是α=α+360º
特殊情况:
1、△X=0,△Y>0,α=90º
2、△X=0,△Y<0,α=270º
3、△X=0,△Y=0,α不存在
3.4磁方位角
基准方向:
磁子午线北方向
来源:
带磁针装置的经纬仪测定。
特点:
1、同一直线上各点的磁方位角不等。
2、易受磁性物质干扰,精度不高。
用途:
用于概略指示方位。
3.5方位角的相互关系-偏角
三北方向之间的夹角称为偏角。
偏角有子午线收敛角γ、磁偏角δ、磁坐偏角ε三种。
子午线收敛角γ:
真北与坐标北方向之间的夹角。
东偏为正,西偏为负。
磁偏角δ:
真北与磁北方向之间的夹角。
东偏为正,西偏为负。
磁坐偏角ε:
坐标北方向与磁北方向之间的夹角。
东偏为正,西偏为负。
3.6方位角、偏角的关系
A=α+γ
δ=A-M=α+γ-M
ε=α-M
3.7三北方向图
地图中央一点上的三个基准方向的关系图。
其中:
γ为四个图廓点平均值,δ为图内实测点平均值,ε为计算得到。
4.理解地理坐标系(Geographiccoordinatesystem)
地理坐标系统,是以经纬度为地图的存储单位的。
很明显,Geographiccoordinatesystem是球面坐标系统。
我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上,如何进行操作呢?
地球是一个不规则的椭球,如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上?
这必然要求我们找到这样的一个椭球体。
这样的椭球体具有特点:
可以量化计算的。
具有长半轴,短半轴,偏心率。
以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。
Spheroid:
Krasovsky_1940
SemimajorAxis:
6378245.000000000000000000
SemiminorAxis:
6356863.018773047300000000
InverseFlattening(扁率):
298.300000000000010000
然而有了这个椭球体以后还不够,还需要一个大地基准面将这个椭球定位。
在坐标系统描述中,可以看到有这么一行:
Datum:
D_Beijing_1954
表示,大地基准面是D_Beijing_1954。
有了Spheroid和Datum两个基本条件,地理坐标系统便可以使用。
完整参数:
Alias:
Abbreviation:
Remarks:
AngularUnit:
Degree(0.017453292519943299)
PrimeMeridian(起始经度):
Greenwich(0.000000000000000000)
Datum(大地基准面):
D_Beijing_1954
Spheroid(参考椭球体):
Krasovsky_1940
SemimajorAxis:
6378245.000000000000000000
SemiminorAxis:
6356863.018773047300000000
InverseFlattening:
298.300000000000010000
2、接下来便是Projectioncoordinatesystem(投影坐标系统),首先看看投影坐
标系统中的一些参数。
Projection:
Gauss_Kruger
Parameters:
False_Easting:
500000.000000
False_Northing:
0.000000
Central_Meridian:
117.000000
Scale_Factor:
1.000000
Latitude_Of_Origin:
0.000000
LinearUnit:
Meter(1.000000)
GeographicCoordinateSystem:
Name:
GCS_Beijing_1954
Alias:
Abbreviation:
Remarks:
AngularUnit:
Degree(0.017453292519943299)
PrimeMeridian:
Greenwich(0.000000000000000000)
Datum:
D_Beijing_1954
Spheroid:
Krasovsky_1940
SemimajorAxis:
6378245.000000000000000000
SemiminorAxis:
6356863.018773047300000000
InverseFlattening:
298.300000000000010000
从参数中可以看出,每一个投影坐标系统都必定会有GeographicCoordinateSystem。
投影坐标系统,实质上便是平面坐标系统,其地图单位通常为米。
那么为什么投影坐标系统中要存在坐标系统的参数呢?
这时候,又要说明一下投影的意义:
将球面坐标转化为平面坐标的过程便称为投影。
好了,投影的条件就出来了:
a、球面坐标
b、转化过程(也就是算法)
也就是说,要得到投影坐标就必须得有一个“拿来”投影的球面坐标,然后才能使用算法去投影!
即每一个投影坐标系统都必须要求有GeographicCoordinateSystem参数。
3、关于北京54和西安80是我们使用最多的坐标系
先简单介绍高斯-克吕格投影的基本知识,了解就直接跳过,我国大中比例尺地图均采用高斯-克吕格投影,其通常是按6度和3度分带投影,1:
2.5万-1:
50万比例尺地形图采用经差6度分带,1:
1万比例尺的地形图采用经差3度分带。
具体分带法是:
6度分带从本初子午线开始,按经差6度为一个投影带自西向东划分,全球共分60个投影带,带号分别为1-60;3度投影带是从东经1度30秒经线开始,按经差3度为一个投影带自西向东划分,全球共分120个投影带。
为了便于地形图的测量作业,在高斯-克吕格投影带内布置了平面直角坐标系统,具体方法是,规定中央经线为X轴,赤道为Y轴,中央经线与赤道交点为坐标原点,x值在北半球为正,南半球为负,y值在中央经线以东为正,中央经线以西为负。
由于我国疆域均在北半球,x值均为正值,为了避免y值出现负值,规定各投影带的坐标纵轴均西移500km,中央经线上原横坐标值由0变为500km。
为了方便带间点位的区分,可以在每个点位横坐标y值的百千米位数前加上所在带号,如20带内A点的坐标可以表示为YA=20745921.8m。
在CoordinateSystemsProjectedCoordinateSystemsGaussKrugerBeijing1954目录中,我们可以看到四种不同的命名方式:
Beijing19543DegreeGKCM75E.prj
Beijing19543DegreeGKZone25.prj
Beijing1954GKZone13.prj
Beijing1954GKZone13N.prj
对它们的说明分别如下:
三度分带法的北京54坐标系,中央经线在东75度的分带坐标,横坐标前不加带号
三度分带法的北京54坐标系,中央经线在东75度的分带坐标,横坐标前加带号
六度分带法的北京54坐标系,分带号为13,横坐标前加带号
六度分带法的北京54坐标系,分带号为13,横坐标前不加带号 在CoordinateSystemsProjectedCoordinateSystemsGaussKrugerXian1980目录中,文件命名方式又有所变化:
Xian19803DegreeGKCM75E.prj
Xian19803DegreeGKZone25.prj
Xian1980GKCM75E.prj
Xian1980GKZone13.prj
西安80坐标文件的命名方式、含义和北京54前两个坐标相同,但没有出现“带号+N”这种形式,为什么没有采用统一的命名方式?
让人看了有些费解。
高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影(UniversalTransverseMercator,通用横轴墨卡托投影)都是横轴墨卡托投影的变种,目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影,但支持UTM投影,因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。
从投影几何方式看,高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”,投影后中央经线保持长度不变,即比例系数为1;UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”,圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈,投影后两条割线上没有变形,中央经线上长度比0.9996。
从计算结果看,两者主要差别在比例因子上,高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1,UTM投影为0.9996,高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用X[UTM]=0.9996*X[高斯],Y[UTM]=0.9996*Y[高斯],进行坐标转换(注意:
如坐标纵轴西移了500000米,转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000)。
从分带方式看,两者的分带起点不同,高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带,第1带的中央经度为3°;UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带,第1带的中央经度为-177°,因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
此外,两投影的东伪偏移都是500公里,高斯-克吕格投影北伪偏移为零,UTM北半球投影北伪偏移为零,南半球则为10000公里。
高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系
高斯-克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影,故各带坐标成独立系统。
以中央经线(L0)投影为纵轴X,赤道投影为横轴Y,两轴交点即为各带的坐标原点。
为了避免横坐标出现负值,高斯-克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴,而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外,横轴南移10000公里。
由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值,所以各带的坐标完全相同,为了区别某一坐标系统属于哪一带,通常在横轴坐标前加上带号,如(4231898m,21655933m),其中21即为带号。
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