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实数知识点题型归纳
第六章实数
知识讲解+题型归纳
知识讲解
一、实数的组成
1、实数又可分为正实数,零,负实数
2.数轴:
数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应
二、相反数、绝对值、倒数
1.相反数:
只有符号不同的两个数互为相反数。
数a的相反数是-a。
正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零.性质:
互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值:
表示点到原点的距离,数a的绝对值为
3.倒数:
乘积为1的两个数互为倒数。
非0实数a的倒数为
.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数(0和正数);倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根:
如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。
数a的平方根记作(a>=0)
特性:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是零。
开平方:
求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
2.立方根:
如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根。
数a的立方根用
表示。
任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零。
开立方:
求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。
四、实数的运算
有理数的加法法则:
a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则:
a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零.
b)几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正
c)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0
4.有理数除法法则:
a)两个有理数相除(除数不为0)同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何非0实数都得0。
b)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在an中,a叫底数,n叫指数
a)正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数;0的任何次幂都是0
b)a0=1(a不等于0)
6.有理数的运算顺序:
a)同级运算,先左后右
b)混合运算,先算括号内的,再乘方、开方,接着算乘除,最后是加减。
五·实数大小比较的方法
1)数轴法:
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数
2)比差法:
若a-b>0则a>b;若a-b<0则a
3)比商法:
A.两个数均为正数时,a/b>1则a>b;a/b<1则a
B.两个数均为负数时,a/b>1则ab
C.一正一负时,正数>负数
4)平方法:
a、b均为正数时,若a2>b2,则有a>b;均为负数时相反
5)倒数法:
两个实数,倒数大的反而小(不论正负)
题型归纳
经典例题
类型一.有关概念的识别
1.下面几个数:
0.
23
…,
,3π,
,
,其中,无理数的个数有()
A、1 B、2 C、3 D、4
…,3π,
是无理数
故选C
举一反三:
【变式1】下列说法中正确的是()
A、
的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、
=±1 D、
是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,
∵
=9,9的平方根是±3,∴A正确.
∵1的立方根是1,
=1,
是5的平方根,∴B、C、D都不正确.
【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()
A、1
B、1.4 C、
D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为
,由圆的定义知|AO|=
,∴A表示数为
,故选C.
【变式3】
【答案】∵π=3.1415…,∴9<3π<10
因此3π-9>0,3π-10<0
∴
类型二.计算类型题
2.设
,则下列结论正确的是()
A.
B.
C.
D.
解析:
(估算)因为
,所以选B
举一反三:
【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2)-27立方根是__________.3)
___________,
___________,
___________.
【答案】1)
;
.2)-3.3)
,
,
【变式2】求下列各式中的
(1)
(2)
(3)
【答案】
(1)
(2)x=4或x=-2(3)x=-4
类型三.数形结合
3.点A在数轴上表示的数为
,点B在数轴上表示的数为
,则A,B两点的距离为______
解析:
在数轴上找到A、B两点,
举一反三:
【变式1】如图,数轴上表示1,
的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是().
A.
-1B.1-
C.2-
D.
-2
【答案】选C
[变式2]已知实数
、
、
在数轴上的位置如图所示:
化简
【答案】:
类型四.实数绝对值的应用
4.化简下列各式:
(1)|
-1.4
|
(2)|π-3.142|
(3)|
-
| (4)|x-|x-3||(x≤3)
(5)|x2+6x+10|
分析:
要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解:
(1)∵
=1.414…<1.4
∴|
-1.4
|=1.4
-
(2)∵π=3.14159…<3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3)∵
<
∴|
-
|=
-
(4)∵x≤3,∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3|=
说明:
这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法,我们对
这个绝对值的基本概念要有清楚的认识,并能灵活运用。
(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2+1>0
∴|x2+6x+10|=x2+6x+10
举一反三:
【变式1】化简:
【答案】
=
+
-
=
类型五.实数非负性的应用
5.已知:
=0,求实数a,b的值。
分析:
已知等式左边分母
不能为0,只能有
>0,则要求a+7>0,分子
+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知:
3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组
从而求出a,b的值。
解:
由题意得
由
(2)得a2=49∴a=±7
由(3)得a>-7,∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入
(1)得b=3a=21
∴a=7,b=21为所求。
举一反三:
【变式1】已知(x-6)2+
+|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
解:
∵(x-6)2+
+|y+2z|=0
且(x-6)2≥0,
≥0,|y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。
∴
解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知
那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数:
,
a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2
类型六.实数应用题
6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm。
解:
设新正方形边长为xcm,
根据题意得x2=112+13×8
∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正,∴x=-15不合题意舍去,
∴只取x=15(cm)
答:
新的正方形边长应取15cm。
举一反三:
【变式1】拼一拼,画一画:
请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。
(4个长方形拼图时不重叠)
(1)计算中间的小正方形的面积,聪明的你能发现什么?
(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时,大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2,求中间小正方形的边长.
解析:
(1)如图,中间小正方形的边长是:
,所以面积为=
大正方形的面积=
,
一个长方形的面积=
。
所以,
答:
中间的小正方形的面积
,
发现的规律是:
(或
)
(2)
大正方形的边长:
,
小正方形的边长:
,即
,
又
大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2
所以有,
化简得:
将
代入,得:
cm
答:
中间小正方形的边长2.5cm。
类型七.易错题
7.判断下列说法是否正确
(1)
的算术平方根是-3;
(2)
的平方根是±15.
(3)当x=0或2时,
(4)
是分数
解析:
(1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故
(2)
表示225的算术平方根,即
=15.实际上,本题是求15的平方根,
故
的平方根是
.
(3)注意到,当x=0时,
=
,显然此式无意义,
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0,所以当x=2时,x
=0.
(4)错在对实数的概念理解不清.
形如分数,但不是分数,它是无理数.
类型八.引申提高
8.
(1)已知
的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.
(2)把下列无限循环小数化成分数:
①
②
③
(1)分析:
确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分.
解:
由
得
的整数部分a=5,
的小数部分
,
∴
(2)解:
(1)设x=
①
则
②
②-①得
9x=6
∴
.
(2)设
①
则
②
②-①,得
99x=23
∴
.
(3)设
①
则
②
②-①,得
999x=107,
∴
.
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