基本不等式教学案例.docx

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基本不等式教学案例

基本不等式教学案例

（经典版）

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序言

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基本不等式教学案例

　　这是基本不等式教学案例，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　基本不等式教学案例第1篇

　　【学习目标】

　　1．知识与技能：

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：

当且仅当这两个数相等；

　　2．过程与方法：

通过实例探究抽象基本不等式；

　　3．情态与价值：

通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

　　【能力培养】

　　培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。

　　【教学重点】

　　应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；及其在求最值时初步应用

　　【教学难点】

　　基本不等式等号成立条件

　　【教学过程】

　　一、课题导入

　　基本不等式的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。

　　二、讲授新课

　　1．问题探究——探究图形中的不等关系。

　　将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：

。

　　当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有。

　　2.总结结论：

一般的，如果

　　（结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导）

　　3．思考证明：

（让学生尝试给出它的'证明）

　　4．特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得，

　　通常我们把上式写作：

　　①从不等式的性质推导基本不等式

　　用分析法证明：

（略）

　　②理解基本不等式的几何意义

　　探究：

对课本第98页的“探究”（几何证明）

　　注:

在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

　　5、例：

当时，取什么值，的值最小？

最小值是多少？

　　6、课时小结

　　本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将进一步学习它们的应用）.

　　7、作业：

　　课本第100页习题[a]组的第1、2题

　　板书设计

　　课题:

3.4基本不等式

　　一、两个不等式

　　二、例题及练习

　　基本不等式教学案例第2篇

　　学习目标分析

　　1.知识与技能使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。

2.过程与方法通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

3.情感态度与价值观在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。

逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。

　　学情分析

　　前需知识掌握情况：

学生已经学习了不等关系，不等式的性质，一元二次不等式的解法，并能够用作差比较法比较两个量的大小。

所以在探索基本不等式时，寻找不等关系不会有困难，在对得到的不等式进行证明时，多数学生可以顺利完成。

　　对微课的认识：

随着科技的发展，在这个信息共享的时代，学生平时对于微课已有一定的接触，很多学生都能在网络上找到各科学科的微课视频，因此，学生对于微课的接受程度是较高的。

因此，如何从学生的角度出发，制作高质量的微课视频，供学生学习，提高课堂效率，这将是对我们教师教学能力的一种挑战。

　　学生特征分析

　　学习态度：

在平时教学中，学生对待学习较为认真，但学习的自觉性不高，需要教师加强监督。

同时，比起教师的满堂灌，学生普遍更加喜欢具有丰富活动的课堂。

因此，将微课应用于课堂教学，学生应该具有较大的兴趣。

　　学习风格：

通过对本班学生的观察，我认为他们有一定的自主学习能力，所以我认为微课的应用，会挺适合我班学生的学习风格，既有一定的时间去接受核心知识，又给予学生一定的时间思考交流。

　　微课用于学生学习的教学策略分析

　　微课用于学生学习的目的：

在这个学习主题中，我使用微课用于学生新课的学习，计划达到突破本节课难点的作用。

　　微课用于学生学习的时机：

我将在课前组织学生观看微课，自主学习。

　　微课用于学生学习的方式：

我将采用翻转课堂的模式用于学生学习

　　微课用于学生学习的教学片段设计

　　教学环节教师活动学生活动对应的教学目标

　　课前制定调查问卷，收集统计数据，做好学情分析，录制微视频，发布微课让学生在家进行课前自主学习认真填写调查问卷，在家观看微视频学习通过学生自主学习，掌握基本不等式的证明过程

　　课中与学生互动，了解学生的学习困难，答疑解惑，及组织学生对所学知识的加以运用学生与教师互动，讨论其自主学习过程中遇到的问题，解决问题通过在课堂中学生对新课内容的“吸收内化“，达到掌握用基本不等式求最值的问题

　　课后布置课后练习作业，教师批改作业，检查学生掌握的情况做好课后练习，按时完成作业通过作业的批改，做好课堂评价

　　基本不等式教学案例第3篇

　　教学准备

　　教学目标

　　1、知识与能力目标：

理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：

按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：

通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重难点

　　1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）;

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教学过程

　　一、创设情景，提出问题;

　　设计意图：

数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式

　　在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　4、探究基本不等式证明方法：

　　[问]如何证明基本不等式?

　　（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

）

　　方法一：

作差比较或由

　　展开证明。

　　方法二：

分析法（完成课本填空）

　　设计依据：

课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、

　　动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

　　点评：

证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

　　5、探究基本不等式的几何意义：

　　借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生

　　几何解释实质可认为是：

在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）;或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

　　四、探究归纳

　　下列命题中正确的是

　　结论：

　　若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值;

　　若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

　　简记为：

“一正、二定、三相等”。

　　五、领悟练习：

　　公式应用之二：

（最优化问题）

　　设计意图：

新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：

数学就在我们身边的生活中

（1）在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少?

（2）现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。

最大面积是多少?

　　六、反思总结，整合新知：

　　通过本节课的学习你有什么收获?

取得了哪些经验教训?

还有哪些问题需要

　　请教?

　　设计意图：

通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.

　　老师根据情况完善如下：

　　两种思想：

数形结合思想、归纳类比思想。

　　三个注意：

基本不等式求函数的最大（小）值是注意：

“一正二定三相等”

　　基本不等式教学案例第4篇

　　一、教学内容分析

　　本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必要的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以基本不等式应重点研究。

　　从教学设计理念上来看，教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用，不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习，更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，引导学生主体参与、探究本质、经历过程。

　　从知识应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求周长一定，面积最大；面积一定，周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。

　　从学生能力的培养来看，基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

　　二、学情分析

　　学生在初中阶段，学习了平方、开方、勾股定理、圆等概念，高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解，学生对不等式有了初步的了解和应用。

但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生数形结合、类比转化等数学思想；对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛。

因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。

　　另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并在第二课时重点学习与掌握。

　　三、教学目标设计

　　1.理解并掌握两个基本不等式，并能运用它们解决一些简单问题，如本节课导入环节中的实际问题；

　　2.思考生活中实际问题的解决方案，感受基本不等式的知识产生过程，并在练习中逐步体会基本不等式应用的特点及优势；

　　3.经历观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养分析问题、解决问题的能力，体会数形结合、类比代换等学习思想；

　　4.学会用数学的眼光看世界，用数学思维认知世界，养成善于思考的良好习惯；

　　四、教学重点及难点

　　1.教学重点：

两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用；

　　2.教学难点：

基本不等式的应用，包括解决实际问题，求最值；

　　3.几点说明：

整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程，从问题出发，应用数形结合理解不等式，并掌握不等式应用的前提条件和等号成立的条件，尤其是对等号成立时充要条件的理解；在基本不等式的应用时，通过例1可逐步引导学生从基本不等式出发进行求证，然后针对等号成立时的条件能够取到进行思考，接下来再通过具有基本不等式结构特点的例题进行练习，逐步引导学生运用基本不等式解决实际问题及求最值。

　　五、教学方法与手段

　　本节课采用“问题——思考——剖析——归纳——应用”的教学设计思路：

　　1.提出问题、启发诱导，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学

　　生探究思索；

　　2.讲练结合，同时采用变式教学，巩固应用，加深理解；

　　3.以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，直观演示，不仅启发思考，也

　　加深学生对基本不等式的理解。

　　六、教学过程设计

　　1.问题提出

　　问题：

班级要用班费为秋游做准备，其中有一项要准备塑料绳子，把树干围成矩形作为活动的场所，由于班费有限，如何用最短的绳子围成最大的面积呢？

　　设计意图：

引导学生在已学知识的基础上，针对该问题进行思考与讨论，不仅提高对于基本不等式学习的兴趣，更培养它们分析问题的能力；

　　2.基本不等式1的引入

　　问题：

在客观世界中，有些不等关系是永远成立的，引发学生试举一些恒成立的不等关系.

　　根据学生回答，针对（）进行提问，既然，那么可以用代替不等式中的吗？

　　得到：

　　进一步变形可得：

　　思考：

　　l不等式恒成立，和应该满足什么条件；

　　l不等式的等号成立时，和应该满足什么条件；

　　设计意图：

　　l基于学生所熟知的“平方数为非负数”恒成立的不等关系，引出；

　　l引发学生思考和所满足的条件，帮助学生对于基本不等式1中关键条件的理解；

　　3.基本不等式1

　　对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立.

（1）基本不等式1的辨析

　　l；

　　l当且仅当时等号成立；

　　思考：

“当且仅当”的含义是？

　　l当a=b时，取等号，即；

　　l仅当a=b时，取等号，即。

　　设计意图：

对应问题引入中的两个思考，再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。

（2）基本不等式1的几何解释

　　a

　　b

　　l已知：

四个全等的直角三角形构成正方形，直角边分别为a、b，当a≠b时，构成的正方形如左图所示，当a＝b时，构成的正方形如右图所示.

　　l那么：

大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的

　　大小关系是？

　　设计意图：

给出基本不等式1的几何解释，帮助学生加深对基本不等式1的理解，尤其是对“当且仅当”的理解。

　　4.基本不等式2的引入

　　问题：

当a>0,b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？

　　得到：

　　设计意图：

类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，有助于今后的学习。

　　5.基本不等式2

　　对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.

　　把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（1）基本不等式2的辨析

　　l；

　　l当且仅当时等号成立；

　　思考：

“当且仅当”的含义是？

　　l当a=b时，取等号，即；

　　l仅当a=b时，取等号，即。

（2）基本不等式2的证明

　　证明：

法1.因为、为正数，所以、均存在.

　　由基本不等式1，得，当且仅当时等号成立.

　　即，当且仅当时等号成立.

　　法2.因为，所以.

　　当时，.当时，.

　　所以，当且仅当时，的等号成立.

　　（3）基本不等式2的扩充

　　思考：

当、为零时，基本不等式2是否成立？

　　基本不等式2的扩充：

对于任意非负数、，有，当且仅当时等号成立.

　　（4）基本不等式2的几何解释

　　l已知：

AB是半圆O的直径，过圆周上任意一点D做AB的垂线，令AC=a、CB=b，

　　那么DO=_____________，DC=_______________；

　　l得到：

__________________；

　　设计意图：

给出基本不等式2的几何解释，帮助学生加深对基本不等式2的理解，尤其是对“当且仅当”的理解.

　　6.基本不等式的应用

　　例1：

已知，求证：

，并指出等号成立的条件.

　　证明：

方法多种，可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手，进行求证，同时也可以运用基本不等式求最值的方法；

　　其中一种方法示范板书为：

　　因为，所以、同号，并有，.

　　所以，.当且仅当，即时等号成立.

　　思考：

若，则代数式的取值范围是什么？

　　设计意图：

考察学生运用基本不等式时，要特别注意等号取到时的条件是否满足。

　　例2：

若的最小

　　值为________,此时

　　练习2：

的最小

　　值为________,此时

　　设计意图：

帮助学生辨识基本不等式的结构特点，以及求最值的简单运用。

　　例3.在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？

　　猜想：

由几何画板演示得出.

　　解：

设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样周长的正方形的边长为.

　　矩形面积，正方形面积

　　由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.

　　由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的面积最大.

　　思考：

例3中的，为什么要为定值呢？

如果不是定值，面积有最大值吗？

　　设计意图：

　　l通过例2和例3，先让学生通过基本不等式的运用，体验并思考“当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值；当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值”，这样在第二课时给出该结论效果会更好；

　　l例3也解决了情境创设环节提出的实际问题，让学生切实感受到学以致用的乐趣；

　　7.课堂小结

　　l

　　l

　　l初步应用两个基本不等式求最值.

　　8.作业练习

（1）2.4.1卷1（详见附录）

（2）思考题

　　l通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.

　　l在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？

　　l整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.

　　七、教学设计说明及反思

　　本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用。

基本不等式是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.

　　本堂课借助多媒体及教学软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果。

整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程，让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论，然后再证明两个基本不等式，最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。

　　在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。

在教学过程中，尽管借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用，但是学生依然会忽视限制条件，尤其是忘记检验等号取到时应满足的充要条件，因此，基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）将在第二课时重点学习与掌握。

　　在教学过程中始终“关注学生的思维发展”，通过对相应例题的变式思考，培养学生自行探索、解决问题的能力。

但是，由于学生刚刚接触基本不等式，对于其结构特点比较陌生，当遇到符