362圆的切线的判定及内切圆.docx

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362圆的切线的判定及内切圆

第3课时　圆的切线的判定及内切圆

　　关键问答

①切线的判定方法有哪些？

②什么是三角形的内心？

它有什么性质？

1.①下列直线中一定是圆的切线的是（　　）

A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线

C．垂直于圆的半径的直线D．过圆的直径的端点的直线

2．若直线l是⊙O的切线，要判定AB⊥l，还需要添加的条件是（　　）

A．AB经过圆心OB．AB是直径

C．AB是直径，B是切点D．AB是直线，B是切点

3．②如图3－6－23，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝________°.

图3－6－23

命题点1　证明圆的切线　[热度：

99%]

4．如图3－6－24，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥BC于点F，则EF________⊙O的切线．（填“是”或“不是”）

图3－6－24

5.③2019·白银如图3－6－25，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.

（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点B的坐标；

（2）若D为线段NB的中点，求证：

直线CD是⊙M的切线．

图3－6－25

方法点拨

③要证明已知直线是圆的切线，若已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于该半径；若未指明直线与圆有公共点，则可过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.

6．2019·黄石如图3－6－26，已知A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，⊙O的直径BE＝2

，∠BCD＝120°，A为

的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE.

（1）求线段BD的长；

（2）求证：

直线PE是⊙O的切线．

图3－6－26

命题点2　与三角形的内切圆有关的计算　[热度：

92%]

7．④已知直角三角形的两条直角边长分别为12cm和16cm，则这个直角三角形的内切圆的半径是（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

解题突破

④

（1）三角形的内心与各顶点的连线将三角形分成3个小三角形，而每个小三角形的高均为其内切圆的半径，底为三角形的三边，所以S△ABC＝

（AB＋AC＋BC）·r（r为其内切圆的半径）；

（2）直角三角形内切圆半径的计算公式：

r＝

（a，b为直角边长，c为斜边长）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8．如图3－6－27，圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为（　　）

图3－6－27

A．68°B．52°C．76°D．38°

9．2019·荆门如图3－6－28，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为（　　）

图3－6－28

A．（－2，3）B．（－3，2）C．（3，－2）D．（2，－3）

10.如图3－6－29，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D，E，F，则下列等式：

①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF；④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，其中等式成立的有（　　）

图3－6－29

A．1个B．2个C．3个D．4个

11.⑤如图3－6－30，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连接BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.

（1）求∠A的度数；

（2）求⊙O的半径．

图3－6－30

方法点拨

⑤对于三角形的内切圆中的计算问题，要注意切线性质的应用，一般情况下，看到切点连半径是常用辅助线的作法.

命题点3　切线的判定与性质的综合应用　[热度：

99%]

12．如图3－6－31，在△ABO中，OA＝OB，C是AB边的中点，以点O为圆心的圆过点C.

（1）求证：

AB与⊙O相切；

（2）若∠AOB＝120°，AB＝4

，求⊙O的面积．

图3－6－31

13.⑥如图3－6－32，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若BC＝3，CD＝4，求▱OABC的面积．

　图3－6－32

方法点拨

⑥解决有关切线问题的关键是正确添加辅助线，添加辅助线的原则与方法是“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”.

14．如图3－6－33①，Rt△ABC的两条直角边长分别为6和8，作Rt△ABC的内切圆，则内切圆的半径为2；作Rt△ABC斜边上的高，则Rt△ABC被分成两个小直角三角形，分别作其内切圆，得到图②，这两个内切圆的半径的和为________；在图②中继续作小直角三角形斜边上的高，再分别作被分成的小直角三角形的内切圆，得到图③，…，依此类推，若在Rt△ABC中作出了16个这样的小直角三角形，它们的内切圆面积分别记为S1，S2，…，S16，则S1＋S2＋…＋S16＝________．

图3－6－33

15.⑦联想三角形内心的概念，我们可引出如下概念．

定义：

到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．

举例：

如图3－6－34①，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心．

应用：

如图3－6－34②，BF为等边三角形ABC的角平分线，准内心P在BF上，PD⊥AB，PE⊥BC，且PF＝

BP，求证：

点P是△ABC的内心．

图3－6－34

方法点拨

⑦理解新情境下的定义，并在新问题中，把新定义或新法则转化成已经学过的基本事实、定理、定义．新定义问题往往涉及分类讨论的数学思想.

详解详析

1．B　[解析]A项，割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确．B项，符合切线的判定，故正确．C项，应为垂直于圆的半径且过半径外端点的直线，故不正确．D项，应为过圆的直径的端点并与该直径垂直的直线，故不正确．故选B.

2．C　[解析]根据圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”进行分析，则这里的AB是直径，且一端是切点．故选C.

3．130　[解析]∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝

（∠ABC＋∠ACB）＝

×（180°－80°）＝50°，∴∠BOC＝180°－50°＝130°.

4．是　[解析]如图，连接OE.

∵∠BAC＝90°，D为BC边的中点，∴AD＝

BC＝CD，

∴∠C＝∠DAC.

∵OA＝OE，

∴∠DAC＝∠AEO，

∴∠C＝∠AEO，∴OE∥BC.

∵EF⊥BC，∴EF⊥OE，∴EF是⊙O的切线．

5．解：

（1）∵A（0，6），N（0，2），

∴AN＝4.

∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，

∴NB＝

＝4

，

∴B（4

，2）．

（2）证明：

连接MC，NC.

∵AN是⊙M的直径，

∴∠ACN＝90°，

∴∠NCB＝90°.

在Rt△NCB中，D为NB的中点，

∴CD＝

NB＝ND，

∴∠CND＝∠NCD.

∵MC＝MN，

∴∠MCN＝∠MNC.

∵∠MNC＋∠CND＝90°，

∴∠MCN＋∠NCD＝90°，

即MC⊥CD，

∴直线CD是⊙M的切线．

6．解：

（1）如图，连接DE，

∵∠BCD＋∠DEB＝180°，

∴∠DEB＝180°－120°＝60°.

∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°.

在Rt△BDE中，sin60°＝

，

∴BD＝BE·sin60°＝2

×

＝3.

（2）证明：

如图，连接EA，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BAE＝90°，∴∠PAE＝90°.

∵A为

的中点，

∴AB＝AE，

∴∠ABE＝45°.

在△ABE和△APE中，

∵AB＝AP，∠BAE＝∠PAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△APE，

∴∠P＝∠ABE＝45°，

∴∠PEB＝90°，

∴PE⊥BE，

∴直线PE是⊙O的切线．

7．C　[解析]∵直角三角形的两条直角边长分别为12cm，16cm，

∴直角三角形的斜边长是20cm，

∴内切圆的半径为（12＋16－20）÷2＝4（cm）．

故选C.

8．C　[解析]∵圆I是三角形ABC的内切圆，D，F为切点，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA＝∠IFA＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°.∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，∴∠A＝180°－104°＝76°.故选C.

9．A　[解析]过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E.

∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），

∴BC＝4，AC＝3，则AB＝5.

∵I是△ABC的内心，

∴I到△ABC各边的距离相等，等于其内切圆的半径，

∴IF＝1，故I到BC的距离也为1，

则AE＝1，故IE＝3－1＝2，OE＝4－1＝3，

∴I（3，2）．

∵△ABC绕原点O逆时针旋转90°，

∴I的对应点I′的坐标为（－2，3）．

故选A.

10．B

11．解：

（1）连接OD，OF，

∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴OD⊥AB，OF⊥AC.

又∵∠DOF＝2∠DEF＝2×45°＝90°，

∴∠A＝360°－∠ODA－∠DOF－∠OFA＝360°－90°－90°－90°＝90°.

（2）设⊙O的半径为r，

由

（1）知四边形ADOF是矩形，又OD＝OF，

∴OD∥AC，OD＝OF＝AD＝AF＝r，

∴△BOD∽△BGA，

∴

＝

，

即

＝

，解得r＝

，

∴⊙O的半径为

.

12．解：

（1）证明：

连接OC.

∵在△ABO中，OA＝OB，C是AB边的中点，

∴OC⊥AB.

∵以点O为圆心的圆过点C，

∴AB与⊙O相切．

（2）∵OA＝OB，∠AOB＝120°，

∴∠A＝∠B＝30°.

∵AB＝4

，C是AB边的中点，

∴AC＝

AB＝2

，

∴OC＝AC·tanA＝2

×

＝2，

∴⊙O的面积为π×22＝4π.

13．[解析]

（1）连接OD，要证CD是⊙O的切线，需证∠ODC＝90°，可转化为证∠CEO＝∠CDO，故证△ODC≌△OEC即可；

（2）▱OABC的面积是△OCD面积的2倍，求出△OCD的面积即可．

解：

（1）证明：

连接OD.

∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD.

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC∥AB，

∴∠COE＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，

∴∠COD＝∠COE.

又∵OD＝OE，OC＝OC，

∴△ODC≌△OEC（SAS），

∴∠ODC＝∠OEC.

∵CE是⊙O的切线，

∴∠OEC＝90°，

∴∠ODC＝90°.

又∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）S△OCD＝

CD·OD＝

×4×3＝6，

而▱OABC的面积是△OCD面积的2倍，

故▱OABC的面积为6×2＝12.

14.

　4π　[解析]

（1）如图①，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，则∠OEC＝∠OFC＝90°.

∵∠C＝90°，∴四边形OECF为矩形．

∵OE＝OF，∴矩形OECF为正方形．

设圆O的半径为r，则r＝

＝2.

∴S1＝π×22＝4π.

（2）如图②，由S△ABC＝

×6×8＝

×10×CD，

得CD＝

.

由勾股定理，得AD＝

＝

，BD＝10－

＝

.

同理可得：

⊙O的半径＝

＝

，⊙E的半径＝

＝

，

∴这两个内切圆的半径的和＝

＋

＝

，

∴S1＋S2＝π×（

）2＋π×（

）2＝4π.

（3）如图③，由S△CDB＝

×

×

＝

×8×MD，得MD＝

，

由勾股定理得CM＝

＝

，MB＝8－

＝

，

由

（2）得⊙O的半径＝

，同理得⊙E的半径＝

＝

，

⊙F的半径＝

＝

，

∴S1＋S2＋S3＝π×（

）2＋π×（

）2＋π×（

）2＝4π.

观察规律可知S1＋S2＋S3＋…＋S16＝4π.

15．证明：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.

∵BF为△ABC的角平分线，

∴∠PBE＝30°，∴PE＝

BP.

∵BF是等边三角形ABC的角平分线，

∴BF⊥AC.

∵点P是△ABC的准内心，PD⊥AB，PE⊥BC，PF＝

BP，

∴PE＝PD＝PF，∴点P是△ABC的内心．

[关键问答]

①

（1）根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）切线的判定定理：

过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

②三角形的内心是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．