三角函数图形及公式.docx

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三角函数图形及公式

三角函数图形及公式

三角函数

（1）幂函数；

幂函数的一般形式为

。

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取非零的无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果

，q和p都是整数，则

，而如果

，则

，因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，p不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据p的奇偶性来确定，即如果同时p为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时p为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时p为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

（6）显然幂函数无界。

（2）指数函数；

指数函数的一般形式为

，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。

（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数无界。

（3）对数函数；

对数函数的一般形式为

，它实际上就是指数函数

的反函数。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

下图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

（4）三角函数；

三角函数分成6种形式，都是典型的周期函数：

正弦函数：

y=sinx;

余弦函数：

y=cosx;

正切函数：

y=tgx;

余切函数：

y=ctgx;

正割函数：

y=secx;

余割函数：

y=cscx.

下面分别结合函数的图形来讨论它们的性质。

正弦函数：

y=sinx与余弦函数：

y=cosx：

下面是正弦函数和余弦函数的图形：

可以看到：

（1）这两种函数的周期都是

。

（2）余弦函数y=cosx沿着X轴的正方向平移

，就与正弦函数y=sinx完全重合。

（3）它们的定义域都是实数。

（4）它们的值域都是大于等于-1，小于等于1。

（5）它们都是有界的。

（6）正弦函数为奇函数。

（7）余弦函数为偶函数。

正切函数：

y=tgx，余切函数：

y=ctgx：

下图中，粗线是正切函数的图形，细线是余切函数的图形，从图形可以看到：

（1）它们都是周期函数，周期都是

。

（2）正切函数的定义域是实数轴上，除了

这些点以外的所有点的集合。

（3）余切函数的定义域是实数轴上，除了

这些点以外的所有点的集合。

（4）它们的值域都是实数集合。

（5）在两个间断点之间，正切函数是单调递增函数，而余弦函数是单调递减函数。

（6）正切函数无限趋向于直线x=

。

（7）余切函数无限趋向于直线x=

。

（8）它们都是无界函数。

正割函数：

y=secx，余割函数：

y=cscx：

下面的图中，粗线是正割函数的图形，细线是余割函数的图形。

从图可以看到：

（1）它们都是周期函数，周期都是

。

（2）正割函数的定义域是实数轴上，除了

这些点以外的所有点的集合。

（3）余割函数的定义域是实数轴上，除了

这些点以外的所有点的集合。

（4）它们的值域都是实数集合里大于1和小于-1的实数集合。

（5）正割函数无限趋向于直线x=

。

（6）余割函数无限趋向于直线x=

。

（7）它们都是无界函数。

（8）正割函数为偶函数。

（9）余割函数为奇函数。

（5）反三角函数；

6种三角函数都有相应的反函数，称为反三角函数，它们是：

反正弦函数：

y=arcsinx;

反余弦函数：

y=arccosx;

反正切函数：

y=arctgx;

反余切函数：

y=arcctgx;

反正割函数：

y=arcsecx;

反余割函数：

y=arccscx.

由于6种三角函数都是周期函数，因此从严格的意义上来讲，它们不存在反函数，而只有把它们的定义域进行适当的限制以后，才可以说是存在反函数。

反过来，也可以说是对反三角函数的值域进行适当的限制。

对于正弦函数，正切函数，余割函数，要构造相应的反函数，值域一般取为

。

对于余弦函数，余切函数，正割函数，要构造相应的反函数，值域一般取为

。

这样我们就得到了满足函数定义的反三角函数，下面我们分别结合函数的图形进行讨论。

反正弦函数：

y=arcsinx，反余弦函数：

y=arccosx。

在下图中，粗线为y=arcsinx，细线为y=arccosx。

可以看到：

（1）反正弦函数的定义域为[-1，1]，值域为

。

（2）反余弦函数的定义域为[-1，1]，值域为

。

（3）反正弦函数为单调递增的；反余弦函数为单调递减的。

（4）它们都是有界的。

（5）反正弦函数为奇函数。

反正切函数：

y=arctgx，反余切函数：

y=arcctgx：

在下图中，粗线为y=arctgx，细线为y=arcctgx。

可以看到：

（1）正切函数的定义域为实数集合，值域为

。

（2）反余切函数的定义域为实数集合，值域为

。

（3）反正切函数为单调递增的；反余切函数为单调递减的。

（4）反正切函数无限趋向于

这两条直线。

反余切函数无限地趋向于

这两条直线。

（5）它们都是有界的。

（6）反正切函数为奇函数。

反正割函数：

y=arcsecx，反余割函数：

y=arccscx：

在下图中，粗线为y=arcsinx，细线为y=arccosx。

可以看到：

（1）正割函数的定义域为

，值域为

。

（2）反余割函数的定义域为

，值域为

。

（3）反正割函数的两支分别都是为单调递增的；反割弦函数的两支分别都是为单调递减的。

（4）反正割函数无限趋向于

这条直线。

反余割函数无限地趋向于

这条直线。

（5）它们都是有界的。

（6）反余割函数为奇函数。

函数的运算；

我们已经讨论了初等函数的基本类型，对它们进行有限四则算术运算，就可以得到结构更复杂的初等函数，对于这么构成的复杂初等函数，我们仍然有可能根据组成它的基本初等函数的性质来估计它的某些性质，例如在相同的定义域里，两个偶函数的代数和仍然是偶函数，两个有界函数的代数和仍然是有界函数等等，这些都可以根据具体的情况来分析，特别有助于我们在考试时，形成简洁的的解题思路。

函数的复合。

所谓函数的复合，就是进行变量代换。

任何一个初等函数z=f（y）的自变量y，如果同时作为另一个函数y=g（x）的因变量，那么把g（x）代入f（y），就得到了一个新的以x为自变量的z的函数z=f（g（x））。

这个过程就是函数的复合过程。

在函数的复合过程中，有一个细节需要注意：

g（x）的值域必须是f（x）的定义域的子集；

只有这样才能保证函数复合的合法性。

反过来，我们也可以把一个形式复杂的函数，理解为复合函数，这样就可以按照复合的结构，把它分解为一些形式相对比较简单的形式的函数，从而使得我们能够应用微积分的适当方法对复杂函数进行分析。

另外分析函数的复合结构，也是在分析函数的定义域以及值域时，必须进行的一个步骤，实际上按照函数的复合结构，一步一步地解不等式，正是我们分析复杂函数的定义域以及值域的步骤。

初等函数。

至此为止，我们可以说初等函数的构成，就是把基本初等函数，通过有限次数的四则运算与函数复合而得到的。

这里的关键是有限次数，所谓初等性，其实主要是来自于这个有限性，在后面我们学习无穷级数时，会体会到无穷次数的初等运算不一定可以通过有限的初等函数表示出来。

至于更为确切的初等函数的定义是很难下的，因为在我们的课程里，这个概念本来是一个限制性的概念，并没有非常精确的定义，所以我们也就无须过分地纠缠。

双曲函数和反双曲函数。

由于常见的缘故，我们常常需要讨论一些特定的复合函数，例如我们在工程领域常常遇到的一类自然指数通过特定的一些组合而得到函数，就是所谓双曲函数及其反函数,下面给出这些函数的定义以及图形，建议同学们仔细揣摩它们的性质，尽量从直观方面来熟悉它们：

双曲正弦函数：

；

反双曲正弦函数：

；

双曲余弦函数：

；

反双曲余弦函数：

双曲正切函数：

；

反双曲正切函数：

双曲余切函数：

反双曲余切函数：

分段函数。

我们在实际问题中会经常遇到一种特殊形式的函数，它不属于初等函数，而是由一些在不同的定义域区间定义的初等函数组合起来的，这种形式的函数也许数学方面的意义并不是很大，但是实际意义还是很大的，特别是这种函数在分段点处，往往需要进行个别的研究，这常常是我们在后面的学习当中需要作为特殊情况加以处理的地方。