奥数整除问题.docx

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奥数整除问题

奥数整除问题

奥数整除问题

整除

求1~1000能被2，3，5中至少一个整除的数的个数。

解答：

1~1000中能被2整除的数有[1000÷2]=500个;能被3整除的数有[1000÷3]=333个;能被5整除的数有[1000÷5]=200个。

若得500+333+200=1033>1000，原因是计算有重复，比如12在被2整除与被3整除的数中都计算了，也就是被2×3=6整除的数计重复了，同理2×5=10，3×5=15也被重复计数了，应当减去。

但是被2×3×5=30整除的数又被减重复了，需要找回。

可用容斥原理求得

[1000÷2]+[1000÷3]+[1000÷5]-（[1000÷6]+[1000÷10]+[1000÷15]）+[1000÷30]

=500+333+200-（166+100+66）+33=734（个）

我们知道，2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算：

2+4=6，4+6=10，6+8=14，

2+6=8，4+8=12，6+10=16，

2+8=10，4+10=14，…………

2+10=12，…………

…………

2+4+6=12，

2+4+6+8=20，

2+4+6+8+10=30，

…………

4-2=2，6-4=2，8-6=2，

6-2=4，8-4=4，10-6=4，

8-2=6，10-4=6，…………

10-2=8，

…………

我们发现，它们之间的和或差也都能被2整除.因此，我们有理由猜想：

能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.

我们还知道，3、6、9、12、15、……都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算：

3+6=9，6+9=15，9+12=21，

3+9=12，6+12=18，9+15=24，

3+12=15，6+15=21，………

3+15=18，…………

………

3+6+9=18，

3+6+9+12=30，

3+6+9+12+18=48，

………

6-3=3，9-6=3，12-9=3，

9-3=6，12-6=6，15-9=6，

12-3=9，15-6=9，………

15-3=12，………

………

这些运算的结果也都能被3整除.因此，我们又有理由猜想：

能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.

有了前面的两点猜想，我们似乎可以作更大胆的猜想：

如果有一些数能被某个数整除，那么，这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.

【规律】

如果有整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，就有A±B±C±……

的结果也能被m整除.

事实上，整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，这些整数就可以分别写成m的倍数形式：

A=a?

m，B=b?

m，C=c?

m，……

（其中a、b、c仍为整数）.这样

A±B±C±……

=a?

m±b?

m±c?

m±……

=（a±b±c±……）?

m.

显然，后面的结果是m的倍数，能被m整除.这就说明了原式

A±B±C±……

也能被m整除.猜想是正确的.

【练习】

运用上面的规律你能判断出下面哪些算式的得数能被2、3或5整除.

（1）123456789×1991+987654321；

（2）987654321×1992-123456789；

（3）2+4+6+……+1998+20xx；

（4）5000-4998+4996-4994+……+4-2；

（5）1×2+3×4+5×6+……+99×100；

（6）1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99；

（7）1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100；

（8）19921+19922+19923+……+19922000.

数的整除性规律

【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除

【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。

例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24

3|24，则3|1248621。

又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27

9|27，则9|372681。

【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。

例如，

173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。

43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。

【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。

例如，

32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。

3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。

214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。

【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的`数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。

又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。

再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。

此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：

一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。

例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。

从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是（）号。

考点：

整除问题．

分析：

第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数；这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号．

解：

第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数；

第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数；

第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数；

所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331；

答：

从左边数第一个人的最初编号是1331号．

点评：

根据他们的报数11，得出每次留下的学生的最初编号都是11的倍数，是解决这个问题的关键．

常见的几种数的整除特征

（1）能被2整除的数的特征：

若一个数的未位数字是偶数，则这个数能被2整除.

（2）能被3整除的数的特征：

若一个数的各位数字之和是3的倍数，则这个数能被3整除.

（3）能被4（或25）整除的数的特征：

若一个数的未两位数是4的倍数，则这个数能被4整除.

（4）能被5整除的数的特征：

若一个数的未位数是0或5，则这个数能被5整除.

（5）能被6整除的数的特征：

若一个数既是2的倍数，又是3的倍数，则这个数能被6整除.

（6）能被7整除的数的特征：

若一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7整除，则这个数能被7整除

（7）能被8（或125）整除的数的特征：

若一个数的未三位数是8的倍数，则这个数能被8整除数.

（8）能被9整除的数的特征：

若一个数的各位数字之和是9的倍数，则这个数能被9整除.

（9）能被11整除的数的特征：

其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

（10）能被13（或7或11）整除的数的特征：

若一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被13（或7或11）整除，则这个数能被13（或7或11）整除。

如：

六位数是7、11、13的倍数。

课后检测：

1.从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

2.在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被4，8，9整除?

3.05能被45整除，自然数n最小是多少?

4.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?

5.三个连续自然数，它们从小到大依次是12、13、14的倍数，这三个连续自然数中（除13外），是13的倍数的最小数是多少?

求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除.

答案与解析：

根据此数的末两位数是56，设所求的数写成100a+56

由于100a+56能被56整除，所以100a是56的倍数

100是4的倍数，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数

此数的数字和等于56，后两位为5+6=11

所以a的数字和等于56-11=45

具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除

数字和为45的偶数还可以是289998和298998

但前者不能被7除尽，后者能被7整除

所以本题的答数就是29899856.

一、基本概念和知识

1.整除——约数和倍数

例如：

15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b|a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：

在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数;63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质

性质1：

如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：

如果c|a，c|b，那么c|（a±b）。

例如：

如果2|10，2|6，那么2|（10+6），

并且2|（10—6）。

性质2：

如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：

如果bc|a，那么b|a，c|a。

性质3：

如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：

如果b|a，c|a，且（b，c）=1，那么bc|a。

例如：

如果2|28，7|28，且（2，7）=1,

那么（2×7）|28。

性质4：

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：

如果c|b，b|a，那么c|a。

例如：

如果3|9，9|27，那么3|27。

3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：

个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：

一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除;另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：

个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：

各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：

末两位数能被4（或25）整除。

例如：

1864=1800+64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4|64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.

⑤能被8（或125）整除的数的特征：

末三位数能被8（或125）整除。

例如：

29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125|375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：

这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：

判断123456789这九位数能否被11整除?

解：

这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5，又因为115，所以11123456789。

再例如：

判断13574是否是11的倍数?

解：

这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：

（4+5+1）-（7+3）=0.因为0是任何整数的倍数，所以11|0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：

一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：

判断1059282是否是7的倍数?

解：

把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282=777，又7|777，所以7|1059282.因此1059282是7的倍数。

再例如：

判断3546725能否被13整除?

解：

把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而13|3546725.

试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除?

如果回答：

“可以”，则只要举出一种排法;如果回答：

“不能”，则需给出说明.

考点：

数的整除特征.

分析：

根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能.

解答：

假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，

按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，

其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.

从而一共会有不少于40个数是3的倍数.但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，

导致矛盾，所以不能.

答：

不能.

点评：

此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少。

1。

能同时被2、5、7整除的最大五位数的多少?

2。

下面一个19983位数33…3（991个3）□44…4（991个4）中间漏写了一个数字（方框），已知，这个多位数被7整除，那么，中间方框内的数字是多少?

3。

有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4组成，所以这样的两位数的和是多少?

4。

一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么这个自然数是多少?

5。

任取一个四位数乘3456，用A表示其积的个位数字之和，用B表示A的个位数字之和，C表示B是个位数字之和，那么C是多少?

6。

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是多少?

7。

如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少?

8。

从左向右编号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列，然后留下的同学再报数，第三次报数后，最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少?

9.173□是四位数字，老师在这个□中先后添入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除，老师添入的3个数字的和是多少?

10。

在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使他们能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少?