ETF被动套利中指数复制设计及套利成本设定.docx

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ETF被动套利中指数复制设计及套利成本设定

ETF被动套利中指数复制设计及套利成本设定

长城伟业期货公司特约研究员王红兵

2007-05-10

指数基金ETF是投资股指期货的主力机构。

在美国资本市场，指数基金不到3年资产治理规模翻一番，约达4500亿美元。

2007年第一季度，美国新上市指数基金110只。

而同期新上市的全部传统型共同基金仅50只。

在股指期货被动套利的现货选择上，交易型开放式指数基金组合比较合适，但众所周知，指数基金ETF的流淌性不尽如人意，那么目前ETF是否能够用来进行股指期货被动套利？

衍生的咨询题诸如ETF如何复制沪深300指数、在指数跟踪中发生哪些阻碍套利收益的成本、这些成本的大小等，诸多细节在套利实务中十分关键，直截了当阻碍着套利的成败。

本文利用ETF进行被动套利的技术细节及相应的套利成本测定，解决以下五方面咨询题。

一、套利了结时点选择：

T+0依旧T+1?

由于ETF可当天赎回操作，赎回的一揽子股票可当天出售，因此理论上利用ETF进行股指期货套利可实现T+0交易，但因ETF存在最小申购赎回单位以及流淌性不足的限制，T+0可能不成立。

按一样原则，当日申购的基金份额可同日卖出，但不得赎回；当日买入的基金份额可同日赎回，但不得卖出；当日赎回的证券可同日卖出，但不得用于申购基金份额；当日买入的证券可同日用于申购基金份额。

最小申购赎回单位指投资者进行ETF实物申购、赎回申报的差不多单位，又称“创设单位”（CreationUnit,CU）。

每只ETF最小申购赎回单位不尽相同，其大小的确定要紧取决于目标指数成份股构成与基金跟踪误差操纵目标的设定，但相对ETF的交易单位而言普遍较大。

深证100ETF、上证50ETF最小申购赎回单位均为100万份基金份额，上证180ETF最小申购赎回单位为30万份。

从换手率来看ETF的流淌性，如图1.1所示：

上证50ETF流淌性最好，深证100ETF其次，上证180ETF最差。

图1.1 三只ETF日均成交数量（2006.07－2007.01）

目前ETF的流淌性还比较弱，尤上证180ETF。

为满足最小申购赎回单位，仅上证50ETF流淌性尚且满足。

如此的流淌性会导致庞大的冲击成本，套利过程中购买最小赎回单位的ETF必须承担一定的冲击成本。

用分笔数据测试其冲击成本，由于流淌性不足，最小赎回单位不可能一笔交易完成，连续的购买可能经历几种成交价格，那个地点把购买过程中有关于购买开始时刻多付出的累积交易成本称为冲击成本。

以2007年2月15日为例，配置最小赎回单位ETF的CVaR（ConditionalValueatRisk）值如图1.2所示，95％置信水平下上证50ETF最大缺失平均值为0.1267％，而上证180ETF最大缺失平均值为0.7307％。

流淌性咨询题是利用ETF进行股指期货套利的要紧障碍，只是随着股指期货的进展会逐步改善，届时利用ETF进行股指期货套利比较合适。

图1.2 配置最小赎回单位ETF的CVaR（95％）风险值

受最小赎回单位的约束，T+0套利中基金的配置不能以任意比例进行，否则将导致套利规模过大，且如此局限的配置也将导致无法完全匹配期货头寸。

以2007年2月合约为例，选取深证100ETF和上证50ETF（因流淌性咨询题暂不考虑上证180ETF），ETF组合配置的比例及该比例下的规模如下表1所示：

表1 ETF头寸匹配（以2007年01月19日收盘价运算）

以表1中ETF的配置权重配置ETF组合，并使用2007年2月合约期间五分钟交易数据（20070122—20070115）观看其可能的累计跟踪误差风险大小。

如图1.3所示，当上证50ETF配置25％时ETF组合的CVaR值最小，即套利头寸了结时，跟踪误差导致的平均缺失95％的可能可不能超过0.26％。

深证100ETF和上证50ETF进行1：

1配置时与期货的匹配最好，但跟踪误差导致的平均最大缺失有1.13％。

图1.3 不同配置下ETF组合的CVaR风险值

上证50ETF配置25％时需1000万的套利资金。

如套利期间现货下跌，无法匹配的余外现货（0.6373/12＝5.31％）市值减少的风险无法对冲。

假定现货头寸有些“余外”，现货部分中不匹配的比例为K，则套利过程可用下表表示：

表2 利用ETF进行股指期货套利

期末现金流可表示为各项现金流的和，如下式所示：

（1）

期货结算价一样收敛于现货价，如ETF与指数拟合良好，则S0×（1+RS）与PT之间的差异接近于零，期末现金流可表示为公式

（2），余外部分的市场风险暴露，且要承担余外部分的资金成本。

（2）

二、最佳套利规模及规模下的套利成本设定

套利了结时点选择T＋1更为合适。

由于套利资金规模较大，那么发觉套利机会后ETF组合能否承担这些套利资金规模呢？

ETF组合跟踪指数能力的衡量要紧采纳累计跟踪误差均值和跟踪误差导致的CVaR，累计跟踪误差均值要紧衡量以后任一时点了结时现货头寸的平均损益，跟踪误差CVaR要紧用来衡量在一定置信水平下以后任一时点了结头寸可能导致最大缺失的平均水平，假定95％的置信水平，相应的跟踪误差CVaR简单来讲指跟踪误差最大的前5％交易时点所发生的平均跟踪误差。

1.跟踪误差导致的成本

以2007年2月当月合约测试跟踪误差导致的成本，在以后累计1天和2天交易时刻内相机了结，在合约随机选取20个建仓点测算跟踪误差导致的95％CVaR值，结果如图2.1所示。

可见以后1日和2日内了结在80％（16个随机交易时点）交易时点上跟踪误差导致的最大平均缺失差不多可操纵在0.66％之内，以后2日了结的风险略大。

实际套利中可跟踪最近历史数据进行推算，以便判定套利机会时设定成本。

图2.1　以后1日和2日内了结可能导致最大缺失的平均水平

     2.一定套利规模下的建仓成本

受ETF流淌性限制，套利规模越大建仓时冲击成本也越大，那个地点的建仓成本指由于冲击成本产生而导致现货和期货无法完全匹配，下面采纳2007年3月7日5秒钟高频数据进行建仓成本的模拟测算，套利规模分别为1至10份合约。

3.套利规模与限时建仓成功的概率

当上证50ETF、深证100ETF、上证180ETF数量配置比例为0.475:

0.475:

0.05时，当天建仓成功概率如图2.2。

因ETF流淌性不足，即使发觉机会当天也不一定建仓成功，随着套利规模增大，建仓成功概率也将持续下降。

从图2.2可见，当套利规模为1份合约时，当天建仓成功概率为98.09％；套利规模在5份以上时，此概率下降到80％以下；套利规模为10份合约时，以2007年3月7日收盘价运算，套利规模大致为776.8万元，现在当天完成建仓的概率只有72.59％。

尽管套利规模越大可能以后绝对盈利也越多，但套利建仓失败的风险也越大。

如果要求建仓时刻专门短（如一分钟内），则图2.2所示成功概率还要降低，图2.3为限时建仓成功的可能性。

事实上，2007年3月7日数据表明，一分钟几乎无法完成任何规模套利头寸的建仓，即使1份合约规模的套利，成功建仓的可能性也只有3.47％。

图2.2 [0.475:

0.475:

0.05]配置时，当天成功建仓的可能性

图2.3 [0.475:

0.475:

0.05]配置时，限时建仓成功的可能性

4.套利规模与建仓成本

发觉套利机会后赶忙建仓买入ETF现货组合，但由于建仓时流淌性不足引发冲击成本，这确实是建仓成本。

图2.4是3月7日当天完成建仓的建仓成本，套利规模越大建仓成本也越大，只是增大的幅度不大。

当套利规模为1份合约时，建仓成本的CVaR（95%）为0.2488％，5份时建仓成本的CVaR（95%）为0.4077％，10份建仓成本的CVaR（95%）为0.5298％。

平均建仓成本差不多都在0.2％以下。

建仓成本和当天行情关联较大，平稳市中成本可能较低，上涨行情中成本可能较高。

图2.4 [0.475:

0.475:

0.05]配置时，建仓成本的CVaR（95%）和平均建仓成本

5.配置比例与建仓成本

配置比例的不同也会导致建仓成本产生细微差异，只是最优配置比例一样在套利前才能确定，因此那个地点只是给出2007年3月7日当天建仓成功且套利规模为5份的参考数据。

当上证50ETF、深证100ETF、上证180ETF配置比例为[0.475:

0.475:

0.05]、[0.5:

0.5:

0]、[0.4:

0.6:

0]、[0.6:

0.4:

0]时，平均建仓成本及其套利建仓成本95％CVaR值如下图2.5所示。

明显，在ETF组合中，流淌性最好的上证50ETF配置越多建仓成本就越低。

图2.5 不同配置比例下平均建仓成本及其95％CVaR值（5份套利规模）

三、ETF组合构建方法的设计与比较

目前来看，利用ETF进行股指期货的被动套利存在流淌性方面的局限，使大规模的套利行为充满风险，只是随着ETF流淌性的改善，以后依旧可行的。

那时涉及的咨询题确实是如何构建ETF组合使其跟踪指数的能力满足套利者的风险操纵需求，从而降低套利失败的概率。

优化是ETF组合构建中用到的要紧方法，即利用历史数据在特定目标下优化出ETF的配置权重，优化能够有不同的目标，不同的优化目标下权重的配置有差异，从而导致不同的指数跟踪能力，那个地点我们设计了五种优化方法：

1.定量配置权重，时点跟踪误差最小

证券组合中各证券的数量权重为W，使得投资组合在历史观看期内每个观看时点上时点跟踪误差的均方根最小，这种优化目标关于较大跟踪误差的证券权重进行压缩。

2.定量配置权重，累计跟踪误差最小

证券组合中各证券的数量权重为W，使得投资组合在历史观看期内每个观看时点上累计跟踪误差的均方根最小，这种优化目标关于较大跟踪误差的证券权重进行更为严格的压缩。

3.规避过大风险

证券组合中各证券的数量权重为W，使得投资组合在历史观看期内每个观看时点上超过阀值的累计跟踪误差的均方根最小，这种优化目的一样需采纳遗传算法等比较复杂和耗时的算法工具。

4.协整均衡

即认为ETF组合与标的指数存在协整关系（cointegration），ETF的配置权重按照这一协整关系进行设定。

5.以上几种方法的组合

不同优化方法不可能在所有时点均保持最优的指数跟踪能力，同时采纳上述方法运算权重后再次进行加权可能更为稳健，只是不同配置方法的权重分配较难确定，一样可按照历史模拟进行。

四、市场不同时期下ETF组合构建方法的优劣

上述5种方法在指数跟踪上哪个更为优秀呢？

考虑四个当月合约2006.10.23—2006.11.17、2006.11.20—2006.12.15、2006.12.18—2007.1.19、2007.1.12—2007.2.16，往常一个合约期五分钟数据为历史数据构建ETF组合，以随后一整个合约期五分钟数据进行对比验证。

1.较长周期的套利

以0612合约期为例：

整个合约期表现为强势的牛市行情。

以2006.10.23—2006.11.17间数据构建期配置现货头寸，2006.11.20—2006.12.15为验证期，通过运算表明在整个合约期“累计跟踪误差最小”为最优方案，跟踪误差均值为0.48%，95%的CVaR值为-0.41%，即最大平均缺失95％概率可不能超过0.41％。

以上结论假定合约期起点建立头寸，但套利机会的显现是随机的。

那么在随机建仓时优化方法的指数跟踪成效如何？

在合约期内随机选取10个建仓点，从建仓点到合约终止为套利期，进一步分析各种方法的优劣。

那个地点着重比较可能发生最大缺失的平均水平，即CVaR值的大小。

由于“规避过大风险”方法需使用遗传算法耗时较长，故不考虑使用。

通过运算可发觉不同建仓时点，没有那种配置方法能始终最优，而采纳综合加权方法指数跟踪成效可能更稳健些。

以上方法对整段历史数据进行优化，潜在假设不同时点的历史数据对运算结果的奉献同样，一样来讲，越临近的数据越能讲明以后，那么需要对历史数据采纳分段数据加权的方法。

接下来比较三种加权方法的指数跟踪成效，即一段加权、二段加权和四段加权，也确实是把历史数据分一段数据、两段数据和四段数据分别优化，然后对分段权重进行加权。

通过综合优化方法在10个随机建仓时点上分别采纳三种加权方法运算指数跟踪的CVaR值。

能够发觉“四段加权”在指数跟踪上成效最优，大多数时点上能有效降低指数跟踪最大缺失的平均水平。

以0701合约期为例：

合约期A股市场表现为行将见顶，以2006.11.20—200PT6.12.15的数据构建期配置现货头寸，2006.12.18—2007.1.19为验证期，四个方案跟踪成效较接近，无最优方案。

跟踪误差均值位于-0.7％至-0.8％之间，95％的可能性下最大平均跟踪误差也不超过-1.65%。

随后在2006.12.18—2007.1.19随机选取10个建仓点，并利用建仓点往常一个月的数据进行现货构建，从建仓点到合约终止为套利期。

通过对比指数跟踪的CVaR值，能够发觉不同建仓时点，仍没有始终最优的配置方法。

接下来通过综合优化方法采纳三种加权构建的ETF组合从建仓点到合约到期期间的指数跟踪成效。

能够发觉合约前期建仓点跟踪误差导致的缺失较大，而四段加权甚至会恶化指数跟踪成效，讲明这段时刻内行情发生了较大的变异，更加复杂。

针对这些行情特点，将在本文第五部分进行分析。

以0702合约期为例：

合约期A股市场大幅波动，在这种市场环境下仍以2006.12.18—2007.1.19为构建期配置ETF组合，2007.1.12—2007.2.16整个合约期为验证期，运算发觉“累计跟踪误差最小”为最优方案，跟踪误差均值为-0.04%，95％的可能性下最大平均跟踪误差也可不能超过-0.92%。

连续在合约期10个不同时点进行随机套利建仓，从建仓点到合约终止为套利期，“累计跟踪误差最小”也并非总是最优方案。

通过比较综合优化方法在10个随机建仓时点上采纳三种加权方法的指数跟踪CVaR值，能够发觉，较多套利时点上“四段加权”在指数跟踪上成效较优，在大多数时点上比“一段加权”能略微降低指数跟踪最大缺失的平均水平，只是优势并不大。

以上三合约结果表明：

在2007年1月和2月合约期，不同优化方法和加权方法构建的ETF组合在随机套利点均无突出表现，一是需要对优化方法和加权方法进一步改进，二是针对这些复杂多变行情需要ETF组合进行再平稳，在套利过程中定期调整ETF配置权重。

2.较短周期的套利

一样情形下套利周期可能并不长，有可能短期内就进行了结。

那个地点连续上面研究方法，随机选择10个建仓点，着重比较1天、2天和5天套利期内ETF组合跟踪误差95％的CVaR值。

比较结果发觉，不同的方法并不能导致明显的改善，因此综合法是比较适合的。

另外直观地从3个合约期30个随机建仓点的跟踪误差来看，进行1天时长的套利需预留0.5％的成本以覆盖最大该跟踪误差的发生，进行2天时长的套利需预留0.6％的成本，进行5天时长的套利需预留0.8％的成本。

五、较长周期套利中，ETF组合的再平稳咨询题

1.ETF组合的再平稳

指数跟踪过程中，当跟踪成效开始恶化，ETF组合就需被动进行权重调整，而主动进行定期调整可能幸免一些恶化情形的发生。

以2007年1月当月合约期为例，考察主动再平稳对指数跟踪成效的改善效应，采纳“累计跟踪误差最小”优化方法和二段加权方法，一周调整一次ETF权重，再平稳和未再平稳下ETF组合的累计跟踪误差分布如图5.1所示：

图5.1 累计跟踪误差分布

能够发觉，再平稳能明显改善ETF组合的指数跟踪能力，因为再平稳使ETF组合的配置更适合行情的演绎，尤适合较长周期的套利。

只是再平稳会导致组合中ETF持有数量的变化，产生冲击成本。

一周调整一次ETF权重后的配置情形如图5.2所示：

图5.2 ETF组合再平稳后的ETF配置数量比重

以5个沪深300指数期货合约规模计，首次配置和每次调整后的ETF配置数量如下表5.1所示。

首次调整幅度较大，受限于ETF的流淌性，产生的冲击成本可能较大。

从另一角度看，利用ETF进行股指期货套利将受到套利规模的约束，规模越大套利过程中遭遇的冲击成本也越大。

表5.1 ETF组合再平稳后的ETF配置数量（手）

2.随机建仓时再平稳对指数跟踪的改善成效

在3个当月合约期分别随机选取10个建仓时点上采纳综合优化方法四段加权构建ETF组合，比较指数累计跟踪误差的CVaR值。

从对比结果看，组合再平稳至少可不能恶化跟踪成效，且对周期较长的套利有效。

再平稳后ETF组合的CVaR值相对要小一些。

定期再平稳方法在不同合约期发挥的作用有大有小，在0701合约期成效最好，再平稳对降低指数跟踪误差专门明显；其余两个合约期收效甚微，故可能更需进行主动再平稳。

只是由历史推知以后的行情演绎本身具有一定的局限性，需进一步研究，同时也讲明在指数跟踪过程中风险操纵专门重要。