《因式分解》常见题型例析.docx
- 文档编号:28674856
- 上传时间:2023-07-19
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:29.51KB
《因式分解》常见题型例析.docx
《《因式分解》常见题型例析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《因式分解》常见题型例析.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
《因式分解》常见题型例析
《因式分解》常见题型例析
因式分解是中学数学的重要内容之一,是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础,是解决许多数学问题的重要“工具”,也是各级考试的一个热点,现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。
题型一:
分解因式的意义
此类考题多数以选择题的形式出现。
解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。
例1 下列从左到右的变形是分解因式的是( )
(A)-44=2-16 B2-y22=y-y2
C2ab2ac=2abc D-1-2=-2-1
分析:
根据多项式分解因式的概念:
把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做分解因式所以要判断从左道右的变形是否是分解因式,关键是看左边是否是多项式,右边是否是整式的积
解:
选C
练习:
下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是( )
Aa-y=a-ayB2-24=-123
C82-4=4·2Dy2-y=y-2
答案:
D
题型二、直接提公因式分解
此类题大多以选择或填空题的形式出现,其中找出公因式是关键。
求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。
例2 分解因式2ab-c-3cb-c
分析:
把b-c看作一个整体,则b-c就是此多项式的公因式
解:
2ab-c-3cb-c=b-c2a-3b
练习:
分解因式:
2-3yabab3-2y
答案:
5ab-y
题型三、直接利用公式因式分解
求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键,求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。
例3、分解因式:
a2-1=_______
析解:
本题符合平方差公式的特点,故可直接利用平方差公式求解。
其结果为:
(a-1)(a+1)
练习:
分解因式:
=________答案:
(-2y)(2y)
题型四、提公因式后再用公式
此类题大多以填空或选择题的形式出现,求解时应首先将公因式提出,再选择有关公式求解。
例4、把a3-ab2分解因式的正确结果是( )
A、aaba-ab B、aa2-b2
C、aaba-b D、aa-b2
析解:
本题首先将公因式a提出,提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式,故再利用平方差公式求解,其结果应选C
练习∶分解因式:
_________
答案:
y(-2)2
题型五、利用因式分解进行数字计算
此类题求解时,应首先观察题目的特点,利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合,再运用因式分解求解。
例5、计算:
2-22-23-……-218-219220,
析解:
我们注意到:
-219220=219(2-1)=219,而219-218=218。
按此规律采用“逆序”的方法,将218再与前面的数字作减法运算,并以此规律采用同样的方法继续运算下去,直至求出最后的结果为止。
其结果为:
6。
练习:
算式
可化为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
题型六、利用因式分解求值
此类题的常见的求解方法有
(1)利用因式分解的方法,求出求值中各字母的值,再将其代入求值式求解。
如本考点例6。
(2)不需求出求值式中字母的值,而是先将求值式进行因式分解,将其进行改造,以使其能充分的应用已知条件,再将已知条件整体代入求解,如本考点例7。
(3)与完全平方式有关的求值问题,求解此类题时,应紧密结合完全平方式的定义,根据各项的特点求解,注意求解时不要丢解。
如本考点例8。
例6、若非零实数a、b满足4a2b2=4ab,则
=___________
析解:
因本题已知条件符合完全平方公式的特点,故应首先将已知条件变为:
(2a-b)2=0,据此得出a、b的关系:
b=2a,再将其代入求值式即得结果:
=2。
练习:
已知:
24y2-4-4y5=0,求:
-y的值。
答案:
例7、已知:
y=1,求
的值。
解析:
本题无法直接求出字母、y的值,可首先将求值式进行因式分解,使求值式中含有已知条件式,再将其整体代入求解。
因
=(y)2,所以将y=1代入该式得:
=
练习:
已知ab=13,ab=40,求a2bab2的值。
答案:
520
例8、已知:
多项式
是一个完全平方式,求m的值。
析解:
本题的求解应紧扣“完全平方式”的特点进行分析,注意不要丢解。
由完全平方式各项的特点可知本题中my=±5y,所以m=±5。
练习:
已知:
22(m-3)16是一个完全平方式,求m的值。
答案:
7或-1。
题型七、利用因式分解求解整除问题
求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解,看其因式分解后是否能出现作为除数的因式,再去判断。
例9、设n为整数.求证:
(2n1)2-25能被4整除。
析解:
判断(2n1)2-25能否被4整除,主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式,因(2n1)2-25=4(n3)(n-2),由此可知该式能被4整除。
练习:
证明:
817-279-913能被45整除。
(提示:
原式=(34)7-(33)9-(32)13=326(32-3-1)=45×324)。
题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题
求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解,再根据题意求出矩形或正方形的边长求解。
例10、已知矩形的面积为6m260m150(m>0),长与宽的比为3:
2,求这个矩形的周长。
析解:
由于矩形的面积等于长×宽,因此首先考虑将矩形的面积进行因式分解,再依据题意求出矩形的长与宽,继续求解。
因6m260m150=6(m5)2=3(m5)·2(m5),又由于该矩形的长与宽的比为3:
2,故知该矩形的长与宽分别为:
3(m5)、2(m5)因此其周长为10m50。
练习:
已知:
一正方形的面积为:
9212y4y2,且>0,y>0,求该正方形的周长。
答案:
128y。
题型九、利用因式分解求解实际问题
此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解(大多采用提公因式法),目的是为了计算简便,再将有关条件代入简洁求解。
例11、已知电学公式:
U=IR1IR2IR3,当R1=,R2==,I=2时,求U的值。
析解:
本题直接代入求解较麻烦,可首先将求值式进行因式分解,再将字母的值代入求解。
因U=IR1IR2IR3=I(R1R2R3),将条件R1=,R2==,I=2代入上式得:
原式=100。
练习:
某设计院在设计的建筑物中,需要绕制三个半径为0.24m,0.37m,0.39m的钢筋圆环,问所需钢筋有多少(π取)答案:
6.28m
题型十、求解数字规律探索问题
求解此类题,应注意观察题目的特点,进行深入地分析、对比、归纳,必要时可将已知条件进行变形,并充分应用有关公式找到其规律。
(如本考点例12)
例12、观察下列各式
9-1=8
16-4=12
25-9=16
36-16=20
………
这些等式反映了自然数间的某种规律,设n(n≥1)表示自然数,用关于n的等式表示这个规律为。
析解:
观察上面各式的左边均可写成两个数差的形式,故本题可借助平方差公式巧妙求解。
求解时可首先将上面各数可写为:
32-1=8
42-22=12
52-32=16
62-42=20
再根据各式与相应等式序数的关系,推知本题的规律为:
(n2)2-n2=4(n1)。
练习:
请先观察下列各式,再填空
32-1=8×1
52-32=8×2
(1)72-52=8×()
(2)92-()=8×4
(3)()2-92=8×5
(4)132-()2=8×()
…………
通过观察归纳,写出反映这种规律的一般结论:
。
答案:
(1)3
(2)7(3)11(4)11,6
结论是:
两个连续奇数的平方差能被8整除,或是8的倍数。
题型十一、因式分解开放题
此类题的求解方法较灵活,往往解法不唯一,须认真分析题意,按要求选择简洁且有把握的式子求解。
例13、请任意写一个能在实数范围内分解因式的二次三项式(该二次三项式的字母、系数不限)。
析解:
本题答案不唯一,由所求的式子是二次三项式,故选我们熟悉的完全平方式最好,如:
2-21或9y26y1等。
练习:
结合生活实际,自编一个提公因式的应用题。
参考答案:
在半径为R的圆形钢板上,冲去半径为r的四个小圆,当R=7.2cm,r=1.4cm时,求剩余部分的面积(π取,结果保留三个有效数字)。
答案:
138cm2。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 因式分解 常见 题型