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关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨曲面曲线的基本公式
2008年1月第2l卷
第1期内蒙古师范大学学报(教育科学版)
Journal
ofInnerMongoliaNormal
University(EducationalScience)
Jan.,2008
V01.2l
No.1
关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨
——“曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义”的教学设计
。
苏雅拉图1,额尔敦巴雅尔2
(1.内蒙古师范大学数学科学学院;2.内蒙古师范大学附属中学,内蒙古呼和浩特010022)
内容摘要:
大多数微分几何教材在介绍曲面论的内容时,给出法曲率、测地曲率、曲率线、渐近线、测地线和
测地挠率之后才出现曲面曲线的基本公式。
本文在曲面曲线特有的基本三棱形的框架下,首先推导出曲面曲线的基本公式,并利用基本公式中的系数定义法曲率、测地曲率、测地挠率、曲率线、渐近线和测地线,进而讨论法曲率、测地曲率和测地挠率的几何意义及其相似之处和不同之处。
这样处理后,教学内容紧紧围绕曲面曲线的基本公式而展开,不仅体现了内容的系统性,而且体现了基本公式中系数的优越性和系数所包含的几何意义。
关键词:
微分几何;曲面曲线基本公式;法曲率;测地曲率;测地挠率;教学设计
中图分类号:
0186.1
文献标识码:
A文章编号:
1671-0916(2008)01-0127-03
一、基本公式的推导
空间曲线论的基本公式就是伏雷内(Frenet)公式,即&=Kp,卢=一Ktlt+ry,y=一r卢,它是基于空间曲线的基本三棱形[口,p,y]而建立起来的重要公式。
对于曲面三上的曲线,:
,=,(f)而言,如果把曲线厂看作空间曲线(从曲面上分离开来),则对曲线,有一个基于它的基本三棱形[口,卢,y]而建立起来的伏雷内公式;如果把曲线,看作曲面三上的曲线,则曲面曲线,有一个曲面曲线所特有的另一个基本三棱形[口,s,n](除基本三棱形[口,JB,y]外)存在,因此基于这基本三棱形[口,s,n]可建立类似伏雷内公式的一个重要公式,我们称之为曲面曲线的基本公式。
设曲面三的方程为三:
,=r(n,秽),P为三上一点,它的Ⅱ一曲线在P点的切向量为,。
,t,一曲线在P点的切向量为,,,并设,。
×,,≠0,于是
,
×r
n=『_上告就是曲面三在P点的单位法向量。
设
r。
Xr口l
,:
,=,(s)(s为自然参数)为三上的一条曲线,则口=≯(s)是曲线,的单位切向量,卢(s),y(s)分别为曲线,的主法向量和副法向量。
令E=以×口,则口,£,n是两两垂直的三个单位向量,并且构成右手系,它们所构成的三棱形[口,£,n]是曲面互上曲线J1的(除基本三棱形[口,卢,y]外)一种随P点沿曲线移动而改变的活动三棱形(见图1)。
设
&=nll口+a12s+O"13n,(1)套=O,21口+022£+a23n,
(2)n=0"31口+a32E+0"33^。
(3)
因口,E,露满足
口・口=E・£=露・疗=1.口・£=n・£=d・露=0.
口・矗=奢・量=一・矗=0.
所以等式(1),(2),(3)两边分别点乘口,E,n,得
口ll=0,口22=0,a33=0。
在等式
d・E=刀・£=口・厅=0
两边求导,得
五・,IS=一d・杏,五・n=一口・Ji,吾・矗=一£・五。
在等式(1)两边分别点乘£,n,得
收稿日期:
2007—10-13作者简介:
苏雅拉图(1960一),男,蒙古族,内蒙古师范大学数学科学学院教授。
127
苏雅拉图,额尔敦巴雅尔/关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨
仨磊
率向量在曲面的单位法向量n上的投影,这就是法曲率的几何意义。
口和以所确定的平面与曲面三的交线厂称为曲面三的法截线(它的曲率设为i),对于法截线,,卢=±^(即0=0或仃),当0=0(此时法截线朝露的方向弯曲)时,K。
=i,即法曲率就是法截线的曲率(见图2),这就是为什么把K。
称为法曲
,“
率的原因;当0=仃(此时法截线朝一的反方向弯、个,
曲)时,K。
=一-o
公式(唪)就是曲面曲线的基本公式。
下面利用公式(木)的系数来定义法曲率、测地曲率、测地挠率、曲率线、渐近线和测地线。
称K.为曲面三在P点沿,方向的法曲率、称K.为曲线,在P点的测地曲率、称
r。
为曲面三在P点沿J1方向的测地挠率、K。
=0的曲线称为曲面三上的渐近曲线、K。
=0的曲线称为曲面三上的测地线、7,=0的曲线称为曲面三上的曲率线。
图1
下面推导公式下,=r+口。
由图1可知,露=pCOS口+7sin0,
E=厣sin一一ysin口,
所以
,i=(一K口+下7)COS0一p
0sin
0一下卢sin
0+
y口COS口=一KCOS口口一r(flsin0‘一Tcos0)一O(flsin0—7cosp)=一KCOS0a一下s一0e=一KCOS0a一(7+口)£,
此等式两边点乘一£可得,一五・£=(.r+0),于是r,=(r+p)。
二、法曲率、测地曲率和测地挠率的几何意义
(一)法曲率
设£(n,p)=0,贝9K。
=五・n=,c卢・露=
,cCOS口(K为曲线厂:
,=,.(s)的曲率),由于印是与
曲线厂:
,=r(s)的曲率.Ic有关的向量,我们称Kp为
曲线F:
,=,(s)的曲率向量,于是法曲率K。
就是曲
1
28
(I)由K。
=KCOS0可看出,法曲率K。
的符号取决于曲面的单位法向量露的选择。
(2),c。
=五・露可导出法曲率K。
与曲面三的第一和二基本形式I和Ⅱ之间的关系,即
.
..
d2,
d2,・n
Ⅱ
Kn。
∥n州Ⅶ2孑Ⅶ。
1r
2了。
a^
nJ
L
哆
图2
(二)测地曲率
测地曲率的几何意义:
测地曲率的绝对值等于
曲线在切平面上正投影曲线的曲率。
事实上,把曲线,投影于切平面仃的投影柱面设为三‘,于是投影曲线f’是投影柱面三+和切平面仃的交线,,’在P点的切平面是口和n所确定的平面。
因,+在P点的切线既在三’的切平面上,又
在厂‘所在的平面7r上,而口和刀所确定的平面和切平面仃的交线恰好是厂的切线,这说明,+和,在P点有相同的切线。
现把厂和厂‘都看作投影柱面三’上的曲线,它们都经过P点且在P点有相同的切线,J1’对于投影柱面三’而言是法截线,因此J1’的曲率K‘(即正投影曲线的曲率)等于投影柱面三‘沿曲线厂方向的法曲率的绝对值,即曲率向量,c卢在£上投影的绝对值,于是K+=lK卢・£I=I
K,I。
(1)由K。
=矗・£=,c卢・8=K卢・(nx口)=K(dx卢)・n=,(y・珏可看出,法曲率K,的符号取决于曲面的单位法向量n的选择,并且
lK,l=lKy・n
l=l,cCOS(900±p)I
2
Ksin—o
(2)由K。
=五・£可导出测地曲率,c,与曲面三的第一基本形式I和投影柱面三+的第二基本形式
苏雅拉图,额尔敦巴雅尔/关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨
Ⅱ‘之问的关系,即
.
一
d2rd2,.£H’
Ks
2
K一2旷£吖叩2孑叩2可5
T。
(三)测地挠率
测地挠率的几何意义:
若曲面三上的测地线Jrl不是直线,则沿,方向的测地挠率等于,的挠率。
事实上,设曲线,:
,=,(s)为曲面三上的测地线,则由IK,I=xsin0=0,,c≠0可知,p=±n,于是p=±五,这时曲线厂的挠率
r=口・y=(口,口,卢)=
(±而,口,±n)=(口,n,五),-
且
丁。
=叠‘n=一£・,i=
一(n×口)・,i=(d,n,元),
故fg=r.
三、关于法曲率、测地曲率和测地挠率的讨论
(一)K。
,lIc。
,丁。
的相似之处
(1),c。
,K,,r。
都是曲面曲线的基本方程的系数,其值可以是等于零,大于或小于零;
(2)当K。
=K。
=r。
=0时,都能对应到曲面上的一个特殊曲线;
(3)K。
,K。
,f;都具有鲜明的几何意义;
(4),c。
,K。
的符号取决于曲面的单位法向量n的选择;
(5),c。
,_Ic,的绝对值分别等于是某种特殊曲线
的曲率,丁。
等于某种特殊曲线的挠率;
(6),c。
,K。
分别是曲率向量在不同的单位向量(这两个不同的单位向量都垂直于切方向)上的投影或投影的绝对值。
(二),c。
,K。
,r。
的不同之处
(1),c。
(或,c。
)是曲率,而丁。
是挠率;
(2),(。
等于,c和COS0的乘积,K。
等于,c和
±sin
0的乘积,f。
等于,c和0的和。
参
考文献:
[1]
MPdoCarmo.DifferentialGeometryofCurvesandSur.
faces[M].PublishingasPrentice—Hall,Inc,1976.
[2]
王幼宇,刘继志.微分几何讲义[M].北京师范大学出版社,2005.
(3]梅向明,黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社,
2004.
[4]姜国英,陈维恒.微分几何[M].高等教育出版社,
1992.
[5]
陈省身,陈维恒.微分几何[M].北京大学出版社,
1983.
[6]吴大仁.微分几何[M].人民教育出版社,1982.[7]
苏步青,胡和生,沈纯理,等.微分几何[M].人民教育出版社,1980.
[责任编辑
陈汉忠]
(上接第96页)
目的在于减少人为因素,使教学质量更趋于真实。
要以教研室为单位,组织教师根据中国古代史课程的教学大纲进行命题,输入计算机,建立试题库。
考试时从计算机试题库中随机调用。
学生考完后,要实行集体流水阅卷。
此外,还要注意定期改进和更新试题库的内容,以保证试题内容与知识更新速度一致。
实行教考分离有利于教师按照教学大纲的要求进行授课,形成良好的教风,提高教学水平,检查教学效果,保证教学质量;有利于激发学生学习的积极性和主动性,端正学风,注重平时的努力学习,避免考前突击性复习,更好地巩固所学知识,培养学生的自学能力和创新精神;有利于完善教学环节,规范教学文件,改善教学工作,加强教学管理,督促教学目标的实现。
总之,中国古代史课程考试改革只有紧紧围绕
培养学生的创新意识、开拓学生的创新思维、提高学生的创新能力这一核心问题开展工作,才能取得符合时代要求的积极效果。
参
考文献:
[1]
王跃.改革现行考试制度,适应素质教育[J].松辽学
刊,2002(4).
[2]惠泱河.开展考试改革,构建综合性全程考试新模式[J].中国高等教育,2003(7).
[3]曾名勇.构建多样化的考试模式培养高素质创新人才[J].中国大学教学,2005(10).
[4]丁兰.改革高等学校考试形式的探讨[J].高等教育研究,1999(1).
[5]张继红.对高校考试改革的几点思考[J].中国高教研究,2000(5).
[责任编辑石俊梅]
129
关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨——"曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义"的教学设计
作者:
苏雅拉图,额尔敦巴雅尔
作者单位:
苏雅拉图(内蒙古师范大学,数学科学学院,额尔敦巴雅尔(内蒙古师范大学,附属中学,内蒙古,呼和浩特,010022
刊名:
内蒙古师范大学学报(教育科学版)
英文刊名:
JOURNALOFINNERMONGOLIANORMALUNIVERSITY(EDUCATIONSCIENCE年,卷(期:
2008,21(1
参考文献(7条
1.MPdoCarmoDifferentialGeometryofCurvesandSurfaces19762.王幼宇.刘继志微分几何讲义20053.梅向明.黄敬之微分几何20044.姜国英.陈维恒微分几何19925.陈省身.陈维恒微分几何19836.吴大仁微分几何1982
7.苏步青.胡和生.沈纯理微分几何1980
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