小学奥数汇编教材 第八讲行程综合二.docx
- 文档编号:28670305
- 上传时间:2023-07-19
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:78.35KB
小学奥数汇编教材 第八讲行程综合二.docx
《小学奥数汇编教材 第八讲行程综合二.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学奥数汇编教材 第八讲行程综合二.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
小学奥数汇编教材第八讲行程综合二
特级教师小学奥数汇编教材
第八讲行程综合
(二)
【专题知识点概述】
通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题,例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时,这里的参考系便是公路,而公路本身是没有速度的,所以我们只需要考虑人本身的速度即可。
但是在流水行船问题中,我们的参考系将不再是速度为0的参考系,因为水本身也是在流动的,所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响.
一、流水行船
顺水速度=船速+水速,
逆水速度=船速-水速.
(其中
为船在静水中的速度,
为水流的速度)
由上可得:
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2.
流水行船中的相遇与追击:
(1)两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相向开出,它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为:
甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)+(乙船速-水速)=甲船船速+乙船船速.这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系.
(2)同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速无关.这是因为:
甲船顺水速度-乙船顺水速度=(甲船速+水速)-(乙船速+水速)=甲船速-乙船速.也有:
甲船逆水速度-乙船逆水速度=(甲船速-水速)-(乙船速-水速)=甲船速-乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答
二、火车问题
⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间,因此火车的路程是桥长与车身长度之和.
⑵火车与人错身时,忽略人本身的长度,两者路程和为火车本身长度;火车与火车错身时,两者路程和则为两车身长度之和.
⑶火车与火车上的人错身时,只要认为人具备所在火车的速度,而忽略本身的长度,那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目,在分析题目的时候一定得结合着图来进行.
【重点难点解析】
1.流水行船中的相遇与追击
2.火车问题
【竞赛考点挖掘】
1.流水行船中多次相遇追击问题
【习题精讲】
【例1】(难度等级※)
两港相距120千米,甲船往返两港需60小时,逆流航行比顺流航行多用了20小时.乙船的静水速度是甲船的静水速度的3倍,那么乙船往返两港需要多少小时?
【分析与解】
先求出甲船往返航行的时间分别是:
(60+20)÷2=40小时,(60-20)÷2=20小时.再求出甲船逆水速度每小时120÷40=3千米,顺水速度每小时120÷20=6千米,因此甲船在静水中的速度是每小时(6+3)÷2=4.5千米,水流的速度是每小时(6-3)÷2=1.5千米,乙船在静水中的速度是每小时4.5×3=13.5千米,所以乙船往返一次所需要的时间是120÷(13.5+1.5)+120÷(13.5-1.5)=18小时.
【例2】(难度等级※)
一艘轮船顺流航行120千米,逆流航行80千米共用16时;顺流航行60千米,逆流航
行120千米也用16时。
求水流的速度。
【分析与解】
两次航行都用16时,而第一次比第二次顺流多行60千米,逆流少行40千米,这表明顺流行60千米与逆流行40千米所用的时间相等,即顺流速度是逆流速度的1.5倍。
将第一次航行看成是16时顺流航行了120+80×1.5=240(千米),由此得到顺流速度为240÷16=15(千米/时),逆流速度为15÷1.5=10(千米/时),最后求出水流速度为(15-10)÷2=2.5(千米/时)。
【例3】(难度等级※※)
甲、乙两艘小游艇,静水中甲艇每小时行2.2千米,乙艇每小时行1.4千米。
现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发,甲艇从下游上行,乙艇从相距18千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地。
问航道上水流速度为每小时多少千米?
【分析与解】
18÷(2.2+1.4)=5(小时),所以经过5小时后两艇相遇。
2.2-18÷(5+4)=0.2(千米/小时),所以航道上水流速度为每小时0.2千米。
【例4】(难度等级※※)
A、B两码头间河流长为220千米,甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相向而行5小时相遇,如果同向而行55小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.
【分析与解】
相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和,同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差,所以,两船在静水中的速度之和为:
220÷5=44(千米/时),两船在静水中的速度之差为:
220÷55=4(千米/时),甲船在静水中的速度为:
(44+4)÷2=24(千米/时),乙船在静水中的速度为:
(44-4)÷2=20(千米/时).
【例5】(难度等级※※)
一条小河流过A,B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?
【分析与解】
如下画出示意图,
有A
B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,
有B
C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时.
而从A
C全程的行驶时间为8-1=7小时.
设AB长
千米,有
解得
=25.
所以A,B两镇间的距离是25千米.
【例6】(难度等级※※)
一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时,回来时顺水,比去时的速度每小时多行驶8千米,因此第二小时比第一小时多行驶6千米.那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?
【分析与解】
后一小时比前一小时多行6千米,说明前一小时小船逆水行驶,差3千米走完全程.后一小时小船逆水走3千米,顺水走了一个全程.因为顺水、逆水速度每小时差8千米,所以若小船一小时全顺水走,应比行程时的第一小时多行8千米,也就是比一个全长多5千米.再与小船第二小时行驶做比较,我们就得到小船顺水走5千米的时间与逆水走3千米的时间相同,这个时间我们认为是1份.在一份时间内,顺水与逆水所行距离差2千米,一小时差8千米,所以一小时内有8÷2=4份时间.由此得出小船顺水一小时走5×4=20干米,逆水一小时走3×4=12千米.
因为小船在第一小时始终逆水,比全程少走3千米,所以从甲地到乙地为12×1+3=15千米.
【例7】(难度等级※※※)
江上有甲、乙两码头,相距15千米,甲码头在乙码头的上游,一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶,5小时后货船追上游船。
又行驶了1小时,货船上有一物品落入江中(该物品可以浮在水面上),6分钟后货船上的人发现了,便掉转船头去找,找到时恰好又和游船相遇。
则游船在静水中的速度为每小时多少千米?
【分析与解】
此题可以分为几个阶段来考虑。
第一个阶段是一个追及问题。
在货舱追上游船的过程中,两者的追及距离是15千米,共用了5小时,故两者的速度差是15÷5=3千米。
由于两者都是顺水航行,故在静水中两者的速度差也是3千米。
在紧接着的1个小时中,货船开始领先游船,两者最后相距3×1=3千米。
这时货船上的东西落入水中,6分钟后货船上的人才发现。
此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度×1/10千米,从此时算起,到货船和落入水中的物体相遇,又是一个相遇问题,两者的速度之和刚好等于货船的静水速度,所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。
按题意,此时也刚好遇上追上来的游船。
货船开始回追物体时,货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米,两者到相遇共用了1/10小时,帮两者的速度和是每小时33/10÷1/10=33千米,这与它们两在静水中的速度和相等。
(解释一下)又已知在静水中货船比游船每小时快3千米,故游船的速度为每小时(33-3)÷2=15千米。
【例8】(难度等级※※※)
甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去,与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。
7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。
已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米,甲、乙两船航速相等,求A,B两站的距离。
【分析与解】
因为测试仪的漂流速度与水流速度相同,所以若水不流动,则7.2时后乙船到达A站,2.5时后甲船距A站31.25千米。
由此求出甲、乙船的航速为31.25÷2.5=12.5(千米/时)。
A,B两站相距12.5×7.2=90(千米)。
【例9】(难度等级※※※)
某河有相距45千米的上下两港,每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行,这天甲船从上港出发掉下一物,此物浮于水面顺水漂下,4分钟后与甲船相距1千米,预计乙船出发后几小时可与此物相遇。
【分析与解】
物体漂流的速度与水流速度相同,所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速(水速作用抵消),甲的船速为1÷1/15=15千米/小时;乙船与物体是个相遇问题,速度和正好为乙本身的船速,所以相遇时间为:
45÷15=3小时
【例10】(难度等级※※※※)
一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游50千米处。
客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶,两船的静水速度相同且始终保持不变。
客船出发时有一物品从船上落入水中,10分钟后此物距客船5千米。
客船在行驶20千米后折向下游追赶此物,追上时恰好和货船相遇。
求水流的速度。
【分析与解】
5÷1/6=30(千米/小时),所以两处的静水速度均为每小时30千米。
50÷30=5/3(小时),所以货船与物品相遇需要5/3小时,即两船经过5/3小时候相遇。
由于两船静水速度相同,所以客船行驶20千米后两船仍相距50千米。
50÷(30+30)=
5/6(小时),所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。
30-20÷(5/3-5/6)=6(千米/小时),所以水流的速度是每小时6千米。
【例11】(难度等级※※)
河水是流动的,在B点处流入静止的湖中,一游泳者在河中顺流从A点到B点,然后穿过湖到C点,共用3小时;若他由C到B再到A,共需6小时.如果湖水也是流动的,速度等于河水速度,从B流向C,那么,这名游泳者从A到B再到C只需2.5小时;问在这样的条件下,他由C到B再到A,共需多少小时?
【分析与解】
设人在静水中的速度为x,水速为y,人在静水中从B点游到C点需要t小时.
根据题意,有
,即
,同样,有
,即
;所以,
,即
,所以
;
(小时),所以在这样的条件下,他由C到B再到A共需7.5小时.
【例12】(难度等级※※※)
小明计划上午7时50分到8时10分之间从码头出发划船顺流而下.已知河水流速为1.4千米/小时,船在静水中的划行速度为3千米/小时.规定除第一次划行可不超过30分钟外,其余每次划行均为30分钟,任意两次划行之间都要休息15分钟,中途不能改变方向,只能在某次休息后往回划.如果要求小明必须在11时15分准时返回码头,为了使他划行到下游尽可能远处,他应该在______时______分开始划,划到的最远处距码头_____千米.
【分析与解】
由11:
15向回推可得到,船在8:
158:
30、9:
009:
15、9:
4510:
00、10:
3010:
45为小明的休息时间,每一段(15分钟)休息时间,帆船向下游漂流1.4×15/60=0.35千米,顺流划船每段时间(半小时)行驶(3+1.4)×0.5=2.2千米,逆流航行每段时间(半小时)休息(3-1.4)×0.5=0.8千米,因此如果8:
30分以后小明还在顺行的话,那么最后三段划行时间内只能逆流而上2.4千米,不能抵消之前顺流划行和漂流的距离,所以最后四段划船时间都应该为逆流向上划船.后四次共向上划了0.8×4=3.2千米.后三次休息时间向下游漂流0.35×3=1.05千米.所以从8:
30到11:
15,最远时向上移动了3.2-1.05=2.15千米.而第一段时间中,小明划船向下游移动了2.15-0.35=1.8千米,共花时间1.8÷(3+1.4)=9/22小时所以,小明应该在7时
分开始划,可划到的最远处距离码头2.15千米.
【例13】(难度等级※)
某解放军队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进.一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾,那么这需要多少时间?
【分析与解】
第一个过程,战士与排头兵相距一个队伍的长,也就是450米,排头兵的速度就是队伍的速度,即每秒1.5米.这个追及过程共用时:
450÷(3-1.5)=300秒.
第二个过程,战士与队尾兵也相距450米,队尾兵的速度也是每秒1.5米.这个相遇过程共用时:
450÷(3+1.5)=100秒.
整个过程一共用时300+100=400秒.
【例14】(难度等级※※)
一列客车通过250米长的隧道用25秒,通过210米的隧道用23秒.已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车,车身长为320米,速度每秒17米,求客车与货车从相遇到离开所用的时间.
【分析与解】
客车用23秒通过一个210米的隧道,用25秒通过250米的隧道,由对过程1的分析我们知道,在25-23=2秒中,客车行进了250-210=40米,所以客车的速度是每秒
40÷2=20米.23秒内,客车走的路程是20×23=460米,这段路是210米的隧道长和一个车长,所以客车车身长为:
460-210=250米.
在追及情况下,客车是快车,货车是慢车,由分析中的过程2,可以直接得到
(250+320)÷(20-17)=190秒.
【例15】(难度等级※※)
小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走,这时有一列长460米的火车从他背后开来,他在行进中测出火车从他身边通过的时间是20秒,而在这段时间内,他行走了40米.求这列火车的速度是多少?
【分析与解】
火车走的路程为:
460+40=500(米),火车速度为:
500÷20=25(米/秒).
【例16】(难度等级※※)
小红站在铁路旁,一列火车从她身边开过用了21秒.这列火车长630米,以同样的速度通过一座大桥,用了1.5分钟.这座大桥长多少米?
【分析与解】
因为小红站在铁路旁边没动,因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长,所以,这列火车的速度为:
630÷21=30(米/秒),大桥的长度为:
30×(1.5×60)-630=2070(米).
【例17】(难度等级※※)
一个车队以6米/秒的速度缓缓通过一座长250米的大桥,共用152秒.已知每辆车长6米,两车间隔10米.问:
这个车队共有多少辆车?
【分析与解】
由“路程时间速度”可求出车队152秒行的路程为6152912(米),故车队长度为912-250=662(米).再由植树问题可得车队共有车(662-6)÷(6+10)+1=42(辆).
【例18】(难度等级※※※)
四、五、六3个年级各有100名学生去春游,都分成2列(竖排)并列行进.四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米,年级之间相距5米.他们每分钟都行走90米,整个队伍通过某座桥用4分钟,那么这座桥长多少米.
【分析与解】
100名学生分成2列,每列50人,应该产生49个间距,
所以队伍长为49×1+49×2+49×3+5×2=304(米),
那么桥长为90×4-304=56(米).
【例19】(难度等级※※※※)
列车通过250米的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒.又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车,货车车身长320米,速度为每秒17米.列车与货车从相遇到相离需要多少秒?
【分析与解】
列车的速度是(250-210)÷(25-23)=20(米/秒),列车的车身长:
20×25-250=250(米).列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长,根据路程差速度差追击时间,可得列车与货车从相遇到相离所用时间为:
(250+320)÷(20-17)=190(秒).
【例20】(难度等级※※※※)
李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里,看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时,他开始计时,直到最后一节车厢驶过窗口时,所计的时间是18秒.已知货车车厢长15.8米,车厢间距1.2米,货车车头长10米.问货车行驶的速度是多少?
【分析与解】
本题中从货车车头经过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口,相当于一个相遇问题,总路程为货车的车长.
货车总长为:
(15.8×30+1.2×30+10)÷1000=0.52(千米),
火车行进的距离为:
60×18/3600=0.3(千米),
货车行进的距离为:
0.52-0.3=0.22(千米),
货车的速度为:
0.22÷18/3600=44(千米/时).
【作业】
1.一只小船在静水中的速度为每小时25千米.它在长144千米的河中逆水而行用了8小时.求返回原处需用几个小时?
【答案】4.5小时
2.甲、乙两船的船速分别为每小时17千米和每小时13千米.两船先后从同一港口顺水开出,乙船比甲船早出发3小时,如果水速是每小时3千米,问:
甲船开出后几小时能追上乙船?
【答案】12小时
3.某河有相距36千米的上、下两码头,每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物,此物浮于水面顺水漂下,5分钟后,与甲船相距2千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇?
【答案】1.5小时
4.小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步,他散步的速度是1.5米/秒,这时迎面开来一列火车,从车头到车尾经过他身旁共用了20秒.已知火车全长390米,求火车的速度.
【答案】18米/秒
5.在双轨铁道上,速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥,10时1分24秒完全通过铁桥,后来一列速度为72千米/小时的列车,10时12分到达铁桥,10时12分53秒完全通过铁桥,10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车.求货车、列车和铁桥的长度各是多少米?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小学奥数汇编教材 第八讲 行程综合二 小学 汇编 教材 第八 行程 综合
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)