57第五十七章 数学阅读题的方法与例题.docx

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57第五十七章数学阅读题的方法与例题

第五十七章数学阅读题的方法与例题

概念

一、归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，

求出所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量   

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

二、归总问题

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问

题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作

量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】1份数量×份数＝总量     

总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

三、和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差

问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷2       

小数＝（和－差）÷2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公

式。

四、和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要

求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数  

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

五、差倍问题

【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要

求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】  两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数   

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

六、倍比问题

【含义】  有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求

出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】总量÷一个数量＝倍数   

另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

七、相遇问题

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫

做相遇问题。

【数量关系】   相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

八、追及问题

【含义】   两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】  追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

九、植树问题

【含义】   按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】 线形植树    棵数＝距离÷棵距＋1

环形植树    棵数＝距离÷棵距

 方形植树    棵数＝距离÷棵距－4

三角形植树    棵数＝距离÷棵距－3

面积植树    棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

一十、年龄问题

【含义】   这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

一十一、行船问题

【含义】   行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

              顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

              逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

一十二、列车问题

【含义】   这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

一十三、时钟问题

【含义】   就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。

时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】  分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。

     通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

一十四、盈亏问题

【含义】   根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

一十五、工程问题

【含义】   工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间    工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

一十六、正反比例问题

【含义】   两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：

把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

一十七、按比例分配问题

【含义】   所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

这类题的已知条件一般有两种形式：

一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；

从问题看，求几个部分量各是多少。

 总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

一十八、百分数问题

【含义】   百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。

百分数是一种特殊的分数。

分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

             百分数＝比较量÷标准量   标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】  一般有三种基本类型：

（1）      求一个数是另一个数的百分之几；

（2）      已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）      已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

一十九、“牛吃草”问题

【含义】   “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】   草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

二十、鸡兔同笼问题

【含义】   这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有       兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

假设全都是兔，则有       鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

二十一、方阵问题

【含义】   将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

 【数量关系】 

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

                               四周人数＝（每边人数－1）×4

                               每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

                               实心方阵：

总人数＝每边人数×每边人数

                               空心方阵：

总人数＝（外边人数）?

－（内边人数）?

                               内边人数＝外边人数－层数×2

             （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

                               总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

 【解题思路和方法】   方阵问题有实心与