3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例.docx
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3第3讲平面向量的数量积及应用举例
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
1.向量的夹角
(1)定义:
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角.
(2)范围:
设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直:
若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直.
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影,
|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cosθ=
cosθ=
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
导师提醒
1.记住平面向量数量积的三个常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
2.关注向量夹角的两个易错点
(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立).
(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )
(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( )
(4)a·b=a·c(a≠0),则b=c.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4B.3C.2D.0
解析:
选B.a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.
(教材习题改编)已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6,则a与b的夹角θ=________.
解析:
cosθ===-.
又因为0≤θ≤π,所以θ=.
答案:
已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=________.
解析:
因为|2a-b|=1,所以|2a-b|2=4a2+b2-4a·b=4+|b|2-4|b|cos30°=1,即|b|2-2|b|+3=0,所以(|b|-)2=0,所以|b|=.
答案:
已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为________.
解析:
=(2,1),=(5,5),
由定义知,在方向上的投影为
==.
答案:
平面向量数量积的运算(师生共研)
(一题多解)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若·=2·,则·=________.
【解析】 法一:
因为·=2·,所以·-·=·,所以·=·.
因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=,所以2||=||·||cos,化简得||=2.故·=·(+)=||2+·=
(2)2+2×2cos=12.
法二:
如图,建立平面直角坐标系xAy.
依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m>0,n>0,则由·=2·,得(n,0)·(m+2,m)=2(n,0)·(m,m),所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.故·=(m,m)·(m+2,m)=2m2+2m=12.
【答案】 12
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.
1.已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.
解析:
b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1·e2-8|e2|2.其中|e1|2=|e2|2=1,e1·e2=|e1|·|e2|·cos=1×1×=,所以b1·b2=-6.
答案:
-6
2.(一题多解)(2019·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则·=________.
解析:
法一:
·=(+)·(+)=·=2-2=×82-×62=24.
法二(特例图形):
若▱ABCD为矩形,建立如图所示坐标系,
则N(4,6),M(8,4).
所以=(8,4),=(4,-2)
所以·=(8,4)·(4,-2)=32-8=24.
答案:
24
平面向量数量积的应用(多维探究)
角度一 平面向量的模
(1)(2019·昆明调研)已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|=( )
A. B.2
C.D.10
(2)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC中点,则||等于( )
A.2B.4
C.6D.8
(3)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为__________.
【解析】
(1)法一:
因为a=(-1,2),所以2a=(-2,4),因为b=(1,3),所以2a-b=(-3,1),所以|2a-b|=,故选C.
法二:
在直角坐标系xOy中作出平面向量a,2a,b,2a-b,如图所示,由图易得|2a-b|=,故选C.
(2)因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,
所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×=4,则||=2.
(3)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).
所以|+3|
=(0≤y≤b).
当y=b时,|+3|min=5.
【答案】
(1)C
(2)A (3)5
角度二 平面向量的夹角
(1)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=,则a+2b与b的夹角是( )
A. B.
C.D.
(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________.
【解析】
(1)因为|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+1+4×1××cos=3,所以|a+2b|=.
又(a+2b)·b=a·b+2|b|2=1××cos+2×=+=,
所以cos〈a+2b,b〉===,
所以a+2b与b的夹角为.
(2)因为2a-3b与c的夹角为钝角,
所以(2a-3b)·c<0,即(2k-3,-6)·(2,1)<0,
所以4k-6-6<0,所以k<3.
【答案】
(1)A
(2)
角度三 两向量垂直问题
已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
【解析】 因为⊥,所以·=0.
又=λ+,=-,
所以(λ+)·(-)=0,
即(λ-1)·-λ2+2=0,
所以(λ-1)||||cos120°-9λ+4=0.
所以(λ-1)×3×2×(-)-9λ+4=0.解得λ=.
【答案】
(1)求平面向量的夹角的方法
①定义法:
利用向量数量积的定义知,cosθ=,其中两个向量的夹角θ的范围为[0,π],求解时应求出三个量:
a·b,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系;
②坐标法:
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cosθ=.
(2)求向量的模的方法
①公式法:
利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积运算;
②几何法:
利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
1.(2019·青岛模拟)已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为( )
A.B.
C.6D.4
解析:
选A.因为向量||=3,||=2,=m+n,与夹角为60°,所以·=3×2×cos60°=3,
所以·=(-)·(m+n)
=(m-n)·-m||2+n||2
=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,所以=,故选A.
2.(2019·长春质量检测
(一))已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=________.
解析:
由平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,可得夹角均为,所以|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+9+2×1×1×cos+2×1×3×cos+2×1×3×cos=4,所以|a+b+c|=2.
答案:
2
3.(一题多解)(2019·西安一模)已知正方形ABCD,点E在边BC上,且满足2=,设向量,的夹角为θ,则cosθ=________.
解析:
法一:
因为2=,所以E为BC的中点.设正方形的边长为2,则||=,||=2,·=·(-)=||2-||2+·=×22-22=-2,所以cosθ===-.
法二:
因为2=,所以E为BC的中点.设正方形的边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系xAy,则点A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(2,1),所以=(2,1),=(-2,2),所以·=2×(-2)+1×2=-2,故cosθ===-.
答案:
-
平面向量与三角函数(师生共研)
已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,),b=(cosθ,sinθ),θ∈R.
(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;
(2)当θ∈[0,]时,若存在两个不同的θ,使得|a+b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.
【解】
(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又2a-b与a-7b垂直,
所以(2a-b)·(a-7b)=8-15a·b+7=0,所以a·b=1.
所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.
(2)由|a+b|=|ma|,得|a+b|2=|ma|2.
即|a|2+2a·b+3|b|2=m2|a|2,
即4+2a·b+3=4m2,7+2(cosθ+sinθ)=4m2.
所以4sin=4m2-7.
由θ∈[0,],得θ+∈[,],
因为存在两个不同的θ满足题意,所以数形结合知4sin(θ+)∈[6,4),即6≤4m2-7<4,即≤m2<,又m>0,所以≤m<.
即实数m的取值范围为.
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角
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