常见算法设计及方法.docx
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常见算法设计及方法
一、回溯法
回溯法也称为试探法,该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制,并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时,就选择下一个候选解;倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外,满足所有其他要求时,继续扩大当前候选解的规模,并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时,该候选解就是问题的一个解。
在回溯法中,放弃当前候选解,寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模,以继续试探的过程称为向前试探。
1、回溯法的一般描述
可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为:
对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,xn)∣xi∈Si,i=1,2,…,n},给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中Si是分量xi的定义域,且|Si|有限,i=1,2,…,n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法,即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束,若满足,则为问题P的一个解。
但显然,其计算量是相当大的。
我们发现,对于许多问题,所给定的约束集D具有完备性,即i元组(x1,x2,…,xi)满足D中仅涉及到x1,x2,…,xi的所有约束意味着j(j
换句话说,只要存在0≤j≤n-1,使得(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及到x1,x2,…,xj的约束之一,则以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)一定也违反D中仅涉及到x1,x2,…,xi的一个约束,n≥i>j。
因此,对于约束集D具有完备性的问题P,一旦检测断定某个j元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约束,就可以肯定,以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解,因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯法正是针对这类问题,利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
树T类似于检索树,它可以这样构造:
设Si中的元素可排成xi
(1),xi
(2),…,xi(mi-1),|Si|=mi,i=1,2,…,n。
从根开始,让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。
这mi个儿子到它们的双亲的边,按从左到右的次序,分别带权xi+1
(1),xi+1
(2),…,xi+1(mi),i=0,1,2,…,n-1。
照这种构造方式,E中的一个n元组(x1,x2,…,xn)对应于T中的一个叶子结点,T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1,x2,…,xn,反之亦然。
另外,对于任意的0≤i≤n-1,E中n元组(x1,x2,…,xn)的一个前缀I元组(x1,x2,…,xi)对应于T中的一个非叶子结点,T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1,x2,…,xi,反之亦然。
特别,E中的任意一个n元组的空前缀(),对应于T的根。
因而,在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点,要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1,x2,…,xn满足约束集D的全部约束。
在T中搜索所要求的叶子结点,很自然的一种方式是从根出发,按深度优先的策略逐步深入,即依次搜索满足约束条件的前缀1元组(x1i)、前缀2元组(x1,x2)、…,前缀I元组(x1,x2,…,xi),…,直到i=n为止。
在回溯法中,上述引入的树被称为问题P的状态空间树;树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点;树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点;树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点,它对应于问题P的一个解。
【问题】组合问题
问题描述:
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5,r=3的所有组合为:
(1)1、2、3
(2)1、2、4(3)1、2、5
(4)1、3、4(5)1、3、5(6)1、4、5
(7)2、3、4(8)2、3、5(9)2、4、5
(10)3、4、5
则该问题的状态空间为:
E={(x1,x2,x3)∣xi∈S,i=1,2,3}其中:
S={1,2,3,4,5}
约束集为:
x1 显然该约束集具有完备性。 问题的状态空间树T: 2、回溯法的方法 对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T,利用T的层次结构和D的完备性,在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为: 从T的根出发,按深度优先的策略,系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点,而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索,以提高搜索效率。 具体地说,当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时,即“激活”该状态结点,以便继续往深层搜索;否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索,而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯,一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点,直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点,即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。 在搜索过程中,只要所激活的状态结点又满足终结条件,那么它就是回答结点,应该把它输出或保存。 由于在回溯法求解问题时,一般要求出问题的所有解,因此在得到回答结点后,同时也要进行回溯,以便得到问题的其他解,直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。 例如在组合问题中,从T的根出发深度优先遍历该树。 当遍历到结点(1,2)时,虽然它满足约束条件,但还不是回答结点,则应继续深度遍历;当遍历到叶子结点(1,2,5)时,由于它已是一个回答结点,则保存(或输出)该结点,并回溯到其双亲结点,继续深度遍历;当遍历到结点(1,5)时,由于它已是叶子结点,但不满足约束条件,故也需回溯。 3、回溯法的一般流程和技术 在用回溯法求解有关问题的过程中,一般是一边建树,一边遍历该树。 在回溯法中我们一般采用非递归方法。 下面,我们给出回溯法的非递归算法的一般流程: 在用回溯法求解问题,也即在遍历状态空间树的过程中,如果采用非递归方法,则我们一般要用到栈的数据结构。 这时,不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点,而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。 例如在组合问题中,我们用一个一维数组Stack[]表示栈。 开始栈空,则表示了树的根结点。 如果元素1进栈,则表示建立并遍历 (1)结点;这时如果元素2进栈,则表示建立并遍历(1,2)结点;元素3再进栈,则表示建立并遍历(1,2,3)结点。 这时可以判断它满足所有约束条件,是问题的一个解,输出(或保存)。 这时只要栈顶元素(3)出栈,即表示从结点(1,2,3)回溯到结点(1,2)。 【问题】组合问题 问题描述: 找出从自然数1,2,…,n中任取r个数的所有组合。 采用回溯法找问题的解,将找到的组合以从小到大顺序存于a[0],a[1],…,a[r-1]中,组合的元素满足以下性质: (1)a[i+1]>a[i],后一个数字比前一个大; (2)a[i]-i<=n-r+1。 按回溯法的思想,找解过程可以叙述如下: 首先放弃组合数个数为r的条件,候选组合从只有一个数字1开始。 因该候选解满足除问题规模之外的全部条件,扩大其规模,并使其满足上述条件 (1),候选组合改为1,2。 继续这一过程,得到候选组合1,2,3。 该候选解满足包括问题规模在内的全部条件,因而是一个解。 在该解的基础上,选下一个候选解,因a[2]上的3调整为4,以及以后调整为5都满足问题的全部要求,得到解1,2,4和1,2,5。 由于对5不能再作调整,就要从a[2]回溯到a[1],这时,a[1]=2,可以调整为3,并向前试探,得到解1,3,4。 重复上述向前试探和向后回溯,直至要从a[0]再回溯时,说明已经找完问题的全部解。 按上述思想写成程序如下: 【程序】 #defineMAXN100 inta[MAXN]; voidcomb(intm,intr) {inti,j; i=0; a[i]=1; do{ if(a[i]-i<=m-r+1 {if(i==r-1) {for(j=0;j printf(“%4d”,a[j]); printf(“\n”); } a[i]++; continue; } else {if(i==0) return; a[--i]++; } }while (1) } main() {comb(5,3); } 【问题】填字游戏 问题描述: 在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N(N≥10)内的某9个数字,每个方格填一个整数,似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。 试求出所有满足这个要求的各种数字填法。 可用试探发找到问题的解,即从第一个方格开始,为当前方格寻找一个合理的整数填入,并在当前位置正确填入后,为下一方格寻找可填入的合理整数。 如不能为当前方格找到一个合理的可填证书,就要回退到前一方格,调整前一方格的填入数。 当第九个方格也填入合理的整数后,就找到了一个解,将该解输出,并调整第九个的填入的整数,寻找下一个解。 为找到一个满足要求的9个数的填法,从还未填一个数开始,按某种顺序(如从小到大的顺序)每次在当前位置填入一个整数,然后检查当前填入的整数是否能满足要求。 在满足要求的情况下,继续用同样的方法为下一方格填入整数。 如果最近填入的整数不能满足要求,就改变填入的整数。 如对当前方格试尽所有可能的整数,都不能满足要求,就得回退到前一方格,并调整前一方格填入的整数。 如此重复执行扩展、检查或调整、检查,直到找到一个满足问题要求的解,将解输出。 回溯法找一个解的算法: {intm=0,ok=1; intn=8; do{ if(ok)扩展; else调整; ok=检查前m个整数填放的合理性; }while((! ok||m! =n)&&(m! =0)) if(m! =0)输出解; else输出无解报告; } 如果程序要找全部解,则在将找到的解输出后,应继续调整最后位置上填放的整数,试图去找下一个解。 相应的算法如下: 回溯法找全部解的算法: {intm=0,ok=1; intn=8; do{ if(ok) {if(m==n) {输出解; 调整; } else扩展; } else调整; ok=检查前m个整数填放的合理性; }while(m! =0); } 为了确保程序能够终止,调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验,即要求按某种有许模型生成填数序列。 给解的候选者设定一个被检验的顺序,按这个顺序逐一形成候选者并检验。 从小到大或从大到小,都是可以采用的方法。 如扩展时,先在新位置填入整数1,调整时,找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。 将上述扩展、调整、检验都编写成程序,细节见以下找全部解的程序。 【程序】 #include #defineN12 voidwrite(inta[]) {inti,j; for(i=0;i<3;i++) {for(j=0;j<3;j++) printf(“%3d”,a[3*i+j]); printf(“\n”); } scanf(“%*c”); } intb[N+1]; inta[10]; intisprime(intm) {inti; intprimes[]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1}; if(m==1||m%2=0)return0; for(i=0;primes[i]>0;i++) if(m==primes[i])return1; for(i=3;i*i<=m;) {if(m%i==0)return0; i+=2; } return1; } intcheckmatrix[][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1}, {2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}}; intselectnum(intstart) {intj; for(j=start;j<=N;j++) if(b[j])returnj return0; } intcheck(intpos) {inti,j; if(pos<0)return0; for(i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++) if(! isprime(a[pos]+a[j]) return0; return1; } intextend(intpos) {a[++pos]=selectnum (1); b[a][pos]]=0; returnpos; } intchange(intpos) {intj; while(pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0) b[a[pos--]]=1; if(pos<0)return–1 b[a[pos]]=1; a[pos]=j; b[j]=0; returnpos; } voidfind() {intok=0,pos=0; a[pos]=1; b[a[pos]]=0; do{ if(ok) if(pos==8) {write(a); pos=change(pos); } elsepos=extend(pos); elsepos=change(pos); ok=check(pos); }while(pos>=0) } voidmain() {inti; for(i=1;i<=N;i++) b[i]=1; find(); } 【问题】n皇后问题 问题描述: 求出在一个n×n的棋盘上,放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。 这是来源于国际象棋的一个问题。 皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。 如图所示,一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上,则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。 12345678 ×× ××× ××× ××Q××××× ××× ××× ×× ×× 从图中可以得到以下启示: 一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后,且一条斜线上也只有一个皇后。 求解过程从空配置开始。 在第1列至第m列为合理配置的基础上,再配置第m+1列,直至第n列配置也是合理时,就找到了一个解。 接着改变第n列配置,希望获得下一个解。 另外,在任一列上,可能有n种配置。 开始时配置在第1行,以后改变时,顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。 当第n行配置也找不到一个合理的配置时,就要回溯,去改变前一列的配置。 得到求解皇后问题的算法如下: {输入棋盘大小值n; m=0; good=1; do{ if(good) if(m==n) {输出解; 改变之,形成下一个候选解; } else扩展当前候选接至下一列; else改变之,形成下一个候选解; good=检查当前候选解的合理性; }while(m! =0); } 在编写程序之前,先确定边式棋盘的数据结构。 比较直观的方法是采用一个二维数组,但仔细观察就会发现,这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。 更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。 对于本题来说,“常用信息”并不是皇后的具体位置,而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。 因在某一列上恰好放一个皇后,引入一个一维数组(col[]),值col[i]表示在棋盘第i列、col[i]行有一个皇后。 例如: col[3]=4,就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。 另外,为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置,设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时,说明程序已求得全部解,结束程序运行。 为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便,引入以下三个工作数组: (1)数组a[],a[k]表示第k行上还没有皇后; (2)数组b[],b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后; (3)数组c[],c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后; 棋盘中同一右高左低斜线上的方格,他们的行号与列号之和相同;同一左高右低斜线上的方格,他们的行号与列号之差均相同。 初始时,所有行和斜线上均没有皇后,从第1列的第1行配置第一个皇后开始,在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后,准备考察第m+1列时,在数组a[]、b[]和c[]中为第m列,col[m]行的位置设定有皇后标志;当从第m列回溯到第m-1列,并准备调整第m-1列的皇后配置时,清除在数组a[]、b[]和c[]中设置的关于第m-1列,col[m-1]行有皇后的标志。 一个皇后在m列,col[m]行方格内配置是合理的,由数组a[]、b[]和c[]对应位置的值都为1来确定。 细节见以下程序: 【程序】 #include #include #defineMAXN20 intn,m,good; intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; voidmain() {intj; charawn; printf(“Entern: “);scanf(“%d”,&n); for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1; for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1; m=1;col[1]=1;good=1;col[0]=0; do{ if(good) if(m==n) {printf(“列\t行”); for(j=1;j<=n;j++) printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]); printf(“Enteracharacter(Q/qforexit)! \n”); scanf(“%c”,&awn); if(awn==’Q’||awn==’q’)exit(0); while(col[m]==n) {m--; a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1; } col[m]++; } else {a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0; col[++m]=1; } else {while(col[m]==n) {m--; a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1; } col[m]++; } good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]]; }while(m! =0); } 试探法找解算法也常常被编写成递归函数,下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。 【程序】 #include #include #defineMAXN20 intn; intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; voidmain() {intj; printf(“Entern: “);scanf(“%d”,&n); for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1; for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1; queen_all(1,n); } voidqueen_all(intk,intn) {inti,j; charawn; for(i=1;i<=n;i++) if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i]) {col[k]=i; a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0; if(k==n) {printf(“列\t行”); for(j=1;j<=n;j++) printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]); printf(“Enteracharacter(Q/qforexit)! \n”); scanf(“%c”,&awn); if(awn==’Q’||awn==’q’)exit(0); } queen_all(k+1,n); a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]; } } 采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同,在找一个解的算法中,递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。 当它成为最终解时,递归函数就不再递归试探,立即返回;若不能成为解,就得继续试探。 设函数queen_one()返回1表示找到解,返回0表示当前候选解不能成为解。 细节见以下函数。 【程序】 #defineMAXN20 intn; intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; intqueen_one(intk,intn) {inti,found; i=found=0; While(! found&&i {i++; if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i]) {col[k]=i; a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0; if(k==n)return1; else found=queen_one(k+1,n); a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1; } } returnfound; } 二、贪婪法 贪婪法是一种不追求最优解,只希望得到较为满意解的方法。 贪婪法一般可以快速得到满意的解,因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。 贪婪法常以当前情况为基础作最优选择,而不考虑各种可能的整体情况,所以贪婪法不要回溯。 例如平时购物找钱时,为使找回的零钱的硬币数最少,不考虑
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