二次函数面积线段特殊三角形问题.docx
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二次函数面积线段特殊三角形问题.docx
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二次函数面积线段特殊三角形问题
二次函数的几种常考压轴题型
模块一面积最值问题
一、三角形面积最值:
求下列阴影面积
对于左图,只需要用
即可求出面积
对于右图,由于3条边均不是坐标轴的平行线或垂线,不能采用最简单的方法求解
对于不太“规则”的三角形,常采用以下方法去求面积:
方法一:
割补法(不唯一)
如图,
,
E点坐标可通过直线CD解析式求得
方法二:
水平宽,铅垂高
过△CDB的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线外侧两条直线之间的距离叫△CDB的“水平宽”,记为a中间的这条直线在△CDB内部线段的长度叫△CDB的“铅垂高”,记为h
我们可得出一种计算三角形面积的方法:
,
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
二、三角形面积数量问题:
(1)三角形面积数量关系涉及有一个三角形的面积与一个已知三角形面积相等或有一定的倍数关系,一般通过构造两个三角形同底或等高;
(2)有些类型也可以先求出已知三角形的面积,再设未知点的坐标,用未知点的坐标表示出未知三角形的面积,最后使之等于已知三角形的面积,列出等式,求解方程。
【例题】
1.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,﹣2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
2.如图,抛物线y=﹣
x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
3.如图,抛物线
与直线
交于A,C两点,其中C点坐标为(2,t).
(1)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC面积的最大值.
(2)在直线AC下方的抛物线上,是否存在点G,使得
?
如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.
4.如图,抛物线
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C。
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标。
三、四边形的面积最值及数量关系问题:
常用到的方法就是:
割补法,将四边形分成两个或多个三角形(常用平行于坐标轴的直线来分割四边形的面积),其求法同三角形。
例题:
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴I为x=﹣1。
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴I上。
①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;
②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标。
典题精炼
1.如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
2.如图,抛物线
与直线
交于A,C两点,其中C点坐标为(2,t).
(1)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC面积的最大值.
(2)在直线AC下方的抛物线上,是否存在点G,使得
?
如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.
3、如图,已知O为坐标原点,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).
(1)求点B的坐标为;
(2)若二次函数
的图象经过A,B,O三点,求此二次函数的解析式;
(3)在
(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O,B)上,是否存在一点C,使得四边形ABCO的面积最大?
若存在,求出这个最大值及此时点C的坐标;若不存在,请说明理由.
模块二线段数量关系及最值问题
知识解析
一、线段、周长最值有关的问题常涉及以下形式:
(1)周长或线段最值问题
“将军饮马”型问题或其变形问题,这类题型一般是已知两个定点和一条定直线,然后在定直线上确定一点,使得这个点到两定点的距离和最小,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等;
解决方法:
作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线解析式及交点坐标,计算最小值或点的坐标。
例题:
1、如图,已知抛物线经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点。
(1)求抛物线的解析式及对称轴。
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标。
2.如图,抛物线
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3。
(1)求抛物线的解析式。
(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由。
(2)线段的数量关系
此类问题一般求满足线段数量关系的点的坐标,解决方法:
先在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点;再联系二次函数与一次函数,设出点的坐标,使其只含一个未知数;最后表示出线段的长度,列出满足线段数量关系的等式,进而求出未知数的值。
例题:
1.如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD中,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(﹣1,0),B(﹣l,2),D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)线段最值问题
首先设出关键点的坐标(通常是一个与所求线段关系紧密的点的横坐标),通过题目中的函数和图形的关系,用该点的横坐标表示出线段端点的坐标,进而表示出线段的长,通过二次函数的性质求最值,进而得到线段长的最大值(最小值)或未知点的坐标。
例题:
1.如图,抛物线y=x2﹣3x+
与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E
(1)求直线BC的解析式;
(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.
典题精炼
1.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
2.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
模块三特殊三角形的探究问题
知识解析
一、直角三角形的探究问题
(1)找出三角形三个顶点的坐标,利用坐标系中两点的距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式;
(2)确定三角形中的直角顶点,如无法确定则分三种情况讨论;
(3)根据勾股定理得到方程,然后解方程,若方程有解,则存在此点;若方程无解,则不存在。
例题:
1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.
(1)b= ,c= ,点B的坐标为 ;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
二、等腰三角形的探究问题
解题步骤:
(1)假设结论成立;
(2)设出点坐标,用两点的距离公式求出三边的长;
(4)为说明哪条边为腰时分三种情况讨论;根据等腰三角形腰相等列出等式,解方程,若方程有解,则存在此点;若方程无解,则不存在。
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣4(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣2,0)、C(8,0)两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?
若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
典题精炼
1.如图,已知抛物线y=﹣
x2﹣
x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,抛物线y=﹣
与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A、点B、点C的坐标;
(2)求直线BD的解析式;
(3)在点P的运动过程中,是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个?
并请求出其中某一个点Q的坐标.
2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k≠0)经过B,C两点,已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.
(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式);
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3.已知:
二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
(3)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求P点坐标.
4、如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;
(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F,E的坐标。
5.已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0)。
(1)求点C的坐标;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;
(3)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标;
(4)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC(P为上述(3)问中使S最大时点)为等腰三角形?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
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