线段垂直平分线角平分线等腰三角形测试.docx
- 文档编号:28652416
- 上传时间:2023-07-19
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:224.14KB
线段垂直平分线角平分线等腰三角形测试.docx
《线段垂直平分线角平分线等腰三角形测试.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线段垂直平分线角平分线等腰三角形测试.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
线段垂直平分线角平分线等腰三角形测试
线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形测试
一.选择题(共20小题)
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )
T1T2
A.
B.2C.3D.2
2.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )
T3T4
A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°
4.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.3B.4C.6D.5
5.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140°B.160°C.170°D.150°
6.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )
T5T6
A.48°B.36°C.30°D.24°
7.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
T7T8
A.8B.6C.4D.2
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
9.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( )
A.12B.16C.20D.16或20
10.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为( )
A.44°B.66°C.88°D.92°
11.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A.50°B.80°C.50°或80°D.40°或65°
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
T10T12
A.35°B.45°C.55°D.60°
13.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于
AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
T13T17
A.65°B.60°C.55°D.45°
14.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条高的交点B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点D.三条边垂直平分线的交点
15.已知实数x,y满足
,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对
16.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°
17.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )
A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm
18.使两个直角三角形全等的条件是( )
A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等D.两条边对应相等
19.如图,直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
T19T22
A.一处B.二处C.三处D.四处
20.等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( )
A.42°B.60°C.36°D.46°
二.填空题(共5小题)
21.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是 .
22.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是 .
23.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO= .
24.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 .
25.等腰三角形的一个外角是60°,则它的顶角的度数是 .
线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形测试
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.(2016•张家界模拟)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )
A.
B.2C.3D.2
【分析】首先过点P作PB⊥OM于B,由OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=3,根据角平分线的性质,即可求得PB的值,又由垂线段最短,可求得PQ的最小值.
【解答】解:
过点P作PB⊥OM于B,
∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PA=3,
∴PB=PA=3,
∴PQ的最小值为3.
故选:
C.
【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
2.(2015•遂宁)如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线,可得AN=BN,然后根据△BCN的周长是7cm,以及AN+NC=AC,求出BC的长为多少即可.
【解答】解:
∵MN是线段AB的垂直平分线,
∴AN=BN,
∵△BCN的周长是7cm,
∴BN+NC+BC=7(cm),
∴AN+NC+BC=7(cm),
∵AN+NC=AC,
∴AC+BC=7(cm),
又∵AC=4cm,
∴BC=7﹣4=3(cm).
故选:
C.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①垂直平分线垂直且平分其所在线段.②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.③三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.
3.(2016•枣庄)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )
A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,则2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性质得到∠D=
∠A,然后把∠A的度数代入计算即可.
【解答】解:
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,
∴2∠1=2∠3+∠A,
∵∠1=∠3+∠D,
∴∠D=
∠A=
×30°=15°.
故选A.
【点评】本题考查了三角形内角和定理,关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析.
4.(2014•遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.3B.4C.6D.5
【分析】过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
【解答】解:
如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴
×4×2+
×AC×2=7,
解得AC=3.
故选:
A.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.
5.(2015•菏泽)将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140°B.160°C.170°D.150°
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案.
【解答】解:
∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,
∴∠COA=90°﹣20°=70°,
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质,得出∠COA的度数是解题关键.
6.(2015•达州)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )
A.48°B.36°C.30°D.24°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°,然后再计算出∠ACB的度数,再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF,进而可得∠FCB=24°,然后可算出∠ACF的度数.
【解答】解:
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD=24°,
∵∠A=60°,
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°,
∵BC的中垂线交BC于点E,
∴BF=CF,
∴∠FCB=24°,
∴∠ACF=72°﹣24°=48°,
故选:
A.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及三角形内角和定理,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
7.(2016•湖州)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
A.8B.6C.4D.2
【分析】过点P作PE⊥BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE,那么PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE=4.
【解答】解:
过点P作PE⊥BC于E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,
∴PD⊥CD,
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,
∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,
∴PE=4.
故选C.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质并作辅助线是解题的关键.
8.(2015•淄博模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理,对图中的三角形进行分析,即可得出答案.
【解答】解:
共有5个.
(1)∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC=
∠ABC,∠ECB=
∠BCD,
∵△ABC是等腰三角形,
∴∠EBC=∠ECB,
∴△BCE是等腰三角形;
(3)∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=
(180°﹣36°)=72°,
又BD是∠ABC的角平分线,
∴∠ABD=
∠ABC=36°=∠A,
∴△ABD是等腰三角形;
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形.
故选:
A.
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握,属于中档题.
9.(2016•贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( )
A.12B.16C.20D.16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,则应该分两种情况进行分析.
【解答】解:
①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;
②当8为腰时,8﹣4<8<8+4,符合题意.
故此三角形的周长=8+8+4=20.
故选C.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系,解答此题时注意分类讨论,不要漏解.
10.(2016•泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为( )
A.44°B.66°C.88°D.92°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B,证明△AMK≌△BKN,得到∠AMK=∠BKN,根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°,根据三角形内角和定理计算即可.
【解答】解:
∵PA=PB,
∴∠A=∠B,
在△AMK和△BKN中,
,
∴△AMK≌△BKN,
∴∠AMK=∠BKN,
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK,
∴∠A=∠MKN=44°,
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°,
故选:
D.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质,掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.
11.(2016•杭州二模)已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A.50°B.80°C.50°或80°D.40°或65°
【分析】先知有两种情况(顶角是50°和底角是50°时),由等边对等角求出底角的度数,用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数.
【解答】解:
如图所示,△ABC中,AB=AC.
有两种情况:
①顶角∠A=50°;
②当底角是50°时,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=50°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°,
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°.
故选:
C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握,能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键.
12.(2015•苏州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
A.35°B.45°C.55°D.60°
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°,再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论.
【解答】解:
AB=AC,D为BC中点,
∴AD是∠BAC的平分线,∠B=∠C,
∵∠BAD=35°,
∴∠BAC=2∠BAD=70°,
∴∠C=
(180°﹣70°)=55°.
故选C.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
13.(2016•德州)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于
AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.65°B.60°C.55°D.45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论.
【解答】解:
由题意可得:
MN是AC的垂直平分线,
则AD=DC,故∠C=∠DAC,
∵∠C=30°,
∴∠DAC=30°,
∵∠B=55°,
∴∠BAC=95°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,
故选A.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
14.(2016•毕节市)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A.三条高的交点B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可.
【解答】解:
到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点,
故选:
D.
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
15.(2016•安顺)已知实数x,y满足
,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16B.20
C.16D.以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值,再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解.
【解答】解:
根据题意得
,
解得
,
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:
4、4、8,
不能组成三角形;
(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:
4、8、8,
能组成三角形,周长为4+8+8=20.
故选B.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系;解题主要利用了非负数的性质,分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断.根据题意列出方程是正确解答本题的关键.
16.(2014•盐城)若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数.
【解答】解:
因为等腰三角形的两个底角相等,
又因为顶角是40°,
所以其底角为
=70°.
故选:
D.
【点评】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握,解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等.
17.(2013•仙桃)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )
A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,求出AB、AC值,求出BE、CF值,求出BM、CN值,代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可.
【解答】解:
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,
∴∠B=∠C=30°,BD=CD=3cm,
∴AB=
=2
cm=AC,
∵AB的垂直平分线EM,
∴BE=
AB=
cm
同理CF=
cm,
∴BM=
=2cm,
同理CN=2cm,
∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm,
故选C.
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形性质,解直角三角形等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
18.(2013•西宁)使两个直角三角形全等的条件是( )
A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等D.两条边对应相等
【分析】利用全等三角形的判定来确定.做题时,要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证.
【解答】解:
A、一个锐角对应相等,利用已知的直角相等,可得出另一组锐角相等,但不能证明两三角形全等,故A选项错误;
B、两个锐角相等,那么也就是三个对应角相等,但不能证明两三角形全等,故B选项错误;
C、一条边对应相等,再加一组直角相等,不能得出两三角形全等,故C选项错误;
D、两条边对应相等,若是两条直角边相等,可利用SAS证全等;若一直角边对应相等,一斜边对应相等,也可证全等,故D选项正确.
故选:
D.
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法;三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL,可以发现至少得有一组对应边相等,才有可能全等.
19.(2016春•埇桥区期末)如图,直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处B.二处C.三处D.四处
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解.
【解答】解:
如图所示,加油站站的地址有四处.
故选D.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质并是解题的关键,作出图形更形象直观.
20.(2016•赵县模拟)等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( )
A.42°B.60°C.36°D.46°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数,然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中,可得出所求角的度数.
【解答】解:
如图:
△ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高.
∵∠A=84°,且AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°﹣84°)÷2=48°;
在Rt△BDC中,
∠BDC=90°,∠C=48°;
∴∠DBC=90°﹣48°=42°.
故选A.
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,及三角形内角和定理.求一个角的大小,常常通过三角形内角和来解决,注意应用.
二.填空题(共5小题)
21.(2015•西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是 110°或70° .
【分析】本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况.
【解答】解:
此题要分情况讨论:
当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;
当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,
故顶角是90°﹣20°=70°.
故答案为:
110°或70°.
【点评】考查了等腰三角形的性质,注意此类题的两种情况.其中考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
22.(2015•广西)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是 4 .
【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D,可得∠DCE=∠DCF;再根据DE⊥AC,DF⊥BC,可得∠DEC=∠DFC=90°,然后根据全等三角形的判定方法,判断出△CED≌△CFD,即可判断出DF=DE;最后根据三角形的面积=底×高÷2,求出△BCD的面积是多少即可.
【解答】解:
∵CD平分∠ACB交AB于点D,
∴∠DCE=∠DCF,
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°,
在△DEC和△DFC中,
(AAS)
∴△DEC≌△DFC,
∴DF=DE=2,
∴S△BCD=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答:
△BCD的面积是4.
故答案为:
4.
【点评】
(1)此题主要考查了角平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
(2)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,以及三角形的面积的求法,要熟练掌握.
23.(2012•通辽)如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO= 4:
5:
6 .
【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线段 垂直平分线 平分线 等腰三角形 测试