石景山区高三理科数学统一测试一模完整版.docx
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石景山区高三理科数学统一测试一模完整版
2018年石景山区高三统一测试
数学(理)试卷
考生须知
1.本试卷共6页,共三道大题,20道小题,满分150分.考试时间120分钟.
2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,选择题、作图题请用2B铅笔作答,其
他试题请用黑色字迹签字笔作答,在试卷上作答无效.
第一部分(选择题共40分)
8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项.
1.设集合A{x|(x1)(x2)0},集合B{x|1x3},则AB
A.{x|1x3}B.{x|1x1}C.{x|1x2}D.{x|2x3}
5.若某多面体的三视图(单位:
cm)如图所示,
则此多面体的体积是(
73
A.cmB.
8
6.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行
涂色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,
则不同的涂色方法共有()
A.24种B.30种C.36种D.48种
7.设a,bR,则“ab”是“aabb”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
8.如图,已知线段AB上有一动点D(D异于A、B),线段CDAB,且满足
CD2ADBD(是大于0且不等于1的常数),则点C的运动轨迹为()
A.圆的一部分B.椭圆的一部分C
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
ADB
第二部分(非选择题共110分)
6小题,每小题5分,共30分.
2
9.双曲线xy21的焦距是,渐近线方程是.
2
xy≤2,
10.若变量x,y满足2x3y≤9,则x2y2的最大值是
x≥0,
xcos,
11.已知圆C的参数方程为(为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为
ysin2,
极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为sincos1,则直线截圆C所得的
弦长是.
x≥1
12.已知函数f(x)x,若关于x的方程f(x)k有两个不同零点,则k的取值范
3
x,x1
围是.
13.如图所示:
正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上
再连接正方形,,,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股
树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长
为2,则其最小正方形的边长为.
14.设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若aW,且a的模不小于W中除a
外的所有向量和的模.则称a是W的极大向量.有下列命题:
①若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量cab,使
得W=a,b,c中的每个元素都是极大向量;
③若W1=a1,a2,a3,W2=b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元
素,则W1W2中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数f(x)2cos2x23sinxcosx1.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间π,π上的最小值和最大值.
2
16.(本小题共13分)
抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内
20名同学今年春节期间抢到红包金额x(元)如下(四舍五入取整数):
102
52
41
121
72
162
50
22
158
46
43
136
95
192
59
99
22
68
98
79
对这20个数据进行分组,各组的频数如下:
组别
红包金额分组
频数
A
0≤x<40
2
B
40≤x<80
9
C
80≤x<120
m
D
120≤x<160
3
E
160≤x<200
n
m,n的值,并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别;
C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12,E组红包金额的平均数与方差分
别为v2、s22,试分别比较v1与v2、s12与s22的大小;(只需写出结论)
A,E两组的所有数据中任取2个数据,记这2个数据差的绝对值为,求的
分布列和数学期望.
17.(本小题共14分)
如图,四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,EB//PA,ABPA4,EB2,
F为PD的中点.
AFPC;
BD//平面PEC;
DPCE的大小.
DC
18.(本小题共13分)
在平面直角坐标系xOy中,动点E到定点(1,0)的距离与它到直线x1的距离相等.
(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设动直线l:
ykxb与曲线C相切于点P,与直线x1相交于点Q.
证明:
以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点.
19.(本小题共14分)
已知f(x)exax2,曲线yf(x)在(1,f
(1))处的切线方程为ybx1.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(Ⅲ)当xR时,判断yf(x)与ybx1交点的个数.(只需写出结论,不要求证明)
20.(本小题共13分)
对于项数为m(m1)的有穷正整数数列{an},记bkmax{a1,a2,,ak}
k1,2,,m),即bk为a1,a2,ak中的最大值,称数列{bn}为数列{an}的“创新数列”
1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.
{an}的“创新数列”{bn}为1,2,3,4,4,写出所有可能的数列{an};
{bn}为数列{an}的“创新数列”,满足akbmk12018(k1,2,,m),
求证:
akbk(k1,2,,m);
设数列{bn}为数列{an}的“创新数列”,数列{bn}中的项互不相等且所有项的和等
于所有项的积,求出所有的数列{an}.
2018年石景山区高三统一测试
数学(理)试卷答案及评分参考
8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
A
D
C
B
6小题,每小题5分,共30分.
题号
9
10
11
12
13
14
答案
2
23,yx
2
10
2
(0,1)
1
32
②③
(两空题目,第一空2分,第二空3分)
三、解答题共6小题,共80分.
15.(本小题共13分)
解:
(Ⅰ)f(x)2cos2x23sinxcosx1
cos2x3sin2
13
2(cos2xsin2x)
22
π
2sin(2x),,,,,,5分
6
所以周期为Tπ.,,,,,,6分
2
πxπ,
2
7ππ13π
所以2x.,,,,,,7分
666
所以当2xπ13π时,即xπ时f(x)max1.
66
π3π2
当2x时,即xπ时f(x)min2.,,,,13分
623
16(本小题共13分)
解:
(Ⅰ)m=4,n=2,B;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
(Ⅱ)v1 的可能取值为0,30,140,170, 0 30 140 170 P 1 1 1 1 6 6 3 3 的数学期望为E0130114011701325 66333 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 17(本小题共14分) (Ⅰ)证明: 依题意,PA平面ABCD 如图,以A为原点,分别以AD、AB、AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系,,2分 E(0,4,2), 依题意,可得A(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),D(4,0,0),P(0,0,4), F(2,0,2). AF(2,0,2),PC(4,4,4), AFPD,AFPC, PDPCP, 设平面PCE的法向量为n(x,y,z), PC(4,4,4),PE(0,4,2), nPC0,4x4y4z0, 所以,即, nPE0,4y2z0, 18.(本小题共13分) (Ⅰ)解: 设动点E的坐标为(x,y), E的轨迹是以(1,0)为焦点,x1为准线的抛物线, 24 设切点坐标P(x0,y0),则ky04y0+0, k 设M(m,0), 2 m2m2=0 所以当mm2=0,即m1时,MQMP0 m-10 所以MQMP 13分 所以以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M(1,0). 19.(本小题共14分)解: (Ⅰ)f(x)ex2ax, f (1)e2ab,f (1)eab1 解之得a1,be2. g(x)f'(x)ex2x. 则g'(x)ex2,⋯⋯⋯⋯5分 故当0xln2时,g'(x)0,g(x)在[0,ln2)单调递减; 当ln2x1时,g'(x)0,g(x)在(ln2,1]单调递增; 所以g(x)ming(ln2)22ln20,⋯⋯⋯⋯8分 故f(x)在[0,1]单调递增, 所以f(x)maxf (1)e1.⋯⋯⋯11分 (Ⅲ)当xR时,yf(x)与ybx1有两个交点.⋯⋯⋯14分 20.(本小题共13分) 解: (Ⅰ)所有可能的数列{an}为1,2,3,4,1;1,2,3,4,2;1,2,3,4,3; 1,2,3,4,4,,,,3分 (Ⅱ)由题意知数列{bn}中bk1bk. 又akbmk12018,所以ak1bmk2018,,,,4分 ak1ak(2018bmk)(2018bmk1)bmk1bmk0 所以ak1ak,即akbk(k1,2,,m),,,,8分 (Ⅲ)当m2时,由b1b2b1b2得(b11)(b21)1,又b1,b2N 所以b1b22,不满足题意; 当m3时,由题意知数列{bn}中bn1bn,又b1b2b3b1b2b3 当b11时此时b33,b1b2b33b3,而b1b2b36b3,所以等式成立b11; 当b22时此时b33,b1b2b33b3,而b1b2b33b3,所以等式成立b22; 当b11,b22得b33,此时数列{an}为1,2,3. 当m4时,b1b2bmmbm,而b1b2bm(m1)! bmmbm,所以不存 在满足题意的数列{an}. 13分 综上数列{an}依次为1,2,3.
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