全国三卷理科数学高考真题和答案.docx
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全国三卷理科数学高考真题和答案
..
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合Ax|x1≥0,B0,1,2,则AB
A.0B.1C.1,2D.0,1,2
2.1i2i
A.3iB.3iC.3iD.3i
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方
体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以
是
4.若sin
1,则cos2
3
A.8
B.7
C.
7
D.8
9
9
9
9
5
5.x2
2
的展开式中x4的系数为
x
A.10
B.20
C.40
D.80
6.直线x
y
2
0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆x2
2
2上,则△ABP面积的取值范围
y2
是
A.2,6
B.4,8
C.
2,32
D.22,32
7.函数y
x4
x2
2的图像大致为
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..
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
p,各成员的支付方式相互独立,设
X为该群体的
10位成员中
使用移动支付的人数,
DX2.4,PX4
PX6
,则p
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
2
2
2
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为a
b
c,则C
4
A.π
B.π
C.π
D.π
2
3
4
6
10.设A,B,C,D是同一个半径为
4的球的球面上四点,
△ABC为等边三角形且其面积为9
3,则三棱锥
DABC体积的最大值为
A.123B.183C.243D.543
11.设F1,F2是双曲线C:
xa
2
2
y
(a
0,b
0)的左,右焦点,
O是坐标原点.过
F2作C的一条渐近线的
2
21
b
垂线,垂足为P.若PF1
6OP,则C的离心率为
A.5
B.2
C.3
D.2
12.设alog0.20.3
,blog20.3
,则
A.abab0
B.abab0
C.ab0ab
D.ab0ab
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共20分。
eord完美格式
..
13.已知向量a=1,2,b=
2,2
,c=1,λ.若c∥2a+b,则________.
14.曲线y
ax1ex在点
0,1
处的切线的斜率为
2,则a
________.
15.函数fx
cos3x
π在0,π的零点个数为________.
6
16.已知点M
1,1和抛物线C:
y2
4x,过C的焦点且斜率为
k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB
90,
则k________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须
作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
等比数列an中,a11,a54a3.
(1)求an的通项公式;
(2)记Sn为an的前n项和.若Sm63,求m.
18.(12分)
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两
种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人。
第一组工人用第一种生产方式,第
二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?
并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据
(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
2
附:
K2
nad
bc
,
a
bcd
ac
bd
PK
2≥k
0.050
0.010
0.001
k3.8416.63510.828
19.(12分)
eord完美格式
..
如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.
(1)证明:
平面
AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M
ABC体积最大时,求面
MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
20.(12分)
已知斜率为k的直线l与椭圆C:
x2
y2
1交于A,B两点,线段AB的中点为M1,m
m0.
4
3
(1)证明:
k
1;
2
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FPFA
FB0.证明:
FA,FP,FB成等差数列,并
求该数列的公差.
21.(12分)
已知函数f
x
2x
2
ln1
x
2x
.
ax
(1)若a
0,证明:
当
1
x
0时,f
x0;当x
0时,fx
0;
(2)若x
0是f
x的极大值点,求
a.
(二)选考题:
共
10分。
请考生在第
22、23
题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
x
cos,
在平面直角坐标系
xOy中,⊙O的参数方程为
(为参数),过点0,2
且倾斜角为
的
y
sin
直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
设函数fx2x1x1.
(1)画出yfx的图像;
(2)当x∈0,,fx≤axb,求ab的最小值.
eord完美格式
..
参考答案:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
B
C
A
D
B
C
B
C
B
13.
1
14.
3
15.
3
16.2
2
17.(12分)
解:
(1)设{an}的公比为q,由题设得an
qn1.
由已知得q4
4q2,解得q
0(舍去),q
2或q
2.
故an
(2)n1或an
2n1.
(2)若an
(
2)n1,则Sn
1
(2)n
.由Sm
63得(
2)m
188,此方程没有正整数解.
3
若an
2n1
,则Sn
2n
1.由Sm
63
得2m
64
,解得m6.
综上,m
6
.
18.(12分)
解:
(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
(i)由茎叶图可知:
用第一种生产方式的工人中,有
75%的工人完成生产任务所需时间至少
80分钟,用第
二种生产方式的工人中,
有75%的工人完成生产任务所需时间至多
79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(ii)由茎叶图可知:
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为
85.5分钟,用第二种生产
方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为
73.5
分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(iii
)由茎叶图可知:
用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于
80分钟;用第二种生产方
式的工人完成生产任务平均所需时间低于
80
分钟,因此第二种生产方式的效率更高.
(iv)由茎叶图可知:
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
8上的最多,关于茎8
大致
呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
7上的最多,关于茎
7大致呈对称分
布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生
产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高
.
以上给出了4
种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分
.
(2)由茎叶图知m
79
81
80.
2
列联表如下:
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于K2
40(15
15
5
5)2
106.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
20
20
20
20
19.(12分)
解:
(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥
eord完美格式
..
DM.
因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.
又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
当三棱锥M-ABC体积最大时,M为CD的中点.
由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),
AM
(
2,1,1),AB
(0,2,0),DA(2,0,0)
设n
(x,y,z)是平面
MAB的法向量,则
nAM
0,
即
2x
y
z0,
nAB
0.
2y
0.
可取n
(1,0,2)
.
DA是平面MCD的法向量,因此
cosn,DA
nDA
5,
|n||DA|
5
sin
n,DA
2
5,
5
所以面
与面
所成二面角的正弦值是
2
5
.
MAB
MCD
5
20.(12分)
解:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1
2
y1
2
1,x2
2
y2
2
1.
4
3
4
3
eord完美格式
..
y1
y2
k得
两式相减,并由
x2
x1
x1x2
y1y2k0.
4
3
由题设知x1x2
1,y1y2
m,于是
2
2
3
k.①
4m
由题设得0m
3,故k
1
.
2
2
(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则
(x3
1,y3)
(x11,y1)(x2
1,y2)
(0,0).
由
(1)及题设得x33(x1x2)
1,y3
(y1y2)
2m0
.
又点P在C上,所以m
3,从而P(1,
3),|FP|
3
.
4
2
2
于是
|FA|
(x11)
2
2
(x1
1)
2
3(1
x2
2
x
y1
1)
1.
4
2
同理|FB|2
x2.
2
所以
1
.
|FA||FB|4
2(x1
x2)3
故2|FP||FA|
|FB|,即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.
设该数列的公差为
d,则
2|d|||FB||FA||
1|x1
x2
|
1
(x1
x2)2
4x1x2.②
2
2
将m
3代入①得k
1.
4
eord完美格式
..
所以l
的方程为
y
x
7,代入
C的方程,并整理得
7x
2
14x
1
0
.
4
4
故x1
x2
2,x1x2
1
,代入②解得|d|
3
21
.
28
28
所以该数列的公差为
3
21或
3
21
.
28
28
21.(12分)
解:
(1)当
a
0
时,
f(x)
(2
x)ln(1
x
)
x2
f(x)
ln(1
x
)
x
.
,
1
x
设函数g(x)
f(x)
ln(1
x)
1
x
,则g(x)
(1
x
.
x
x)2
当
1
x
0
时,
g(x)0
x
0
时,
g(x)
0
x1
时,
g(x)
g(0)
0
x
0
时,
;当
.故当
,且仅当
g(x)
0,从而f
(x)
0,且仅当x
0时,f
(x)
0.
所以f(x)在(
1,
)单调递增.
又
f(0)
0
1
x0
时,
f(x)
0
x
0
时,
f(x)
0
,故当
;当
.
(2)(i)若
a
0
,由
(1)知,当
x
0
时,
f(x)
(2
x)ln(1
x
)
x2
0f
(0)
x
0
是
f(x)
,这与
的极大值点矛盾.
(ii
)若
a
0
,设函数h(x)
f(x)
ln(1
x)
2x
.
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