高考数学一轮复习第三章三角函数34两角和与差的三角函数讲义.docx
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高考数学一轮复习第三章三角函数34两角和与差的三角函数讲义
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数3.4两角和与差的三角函数讲义
考点
内容解读
要求
五年高考统计
常考题型
预测热度
xx
xx
xx
xx
xx
1.两角和与差的三角函数的基本运用
1.求三角函数值
2.化简三角函数式
C
8题
5分
5题
5分
填空题
解答题
★★★
2.公式的综合运用
1.求三角函数值
2.研究三角函数性质
C
填空题
解答题
★★★
分析解读 本节内容是高考的重点.主要考查三角函数求值及公式的变形运用.
五年高考
考点一 两角和与差的三角函数的基本运用
1.(xx江苏,5,5分)若tan=,则tanα= .
答案
2.(xx江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为 .
答案 3
3.(xx四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是 .
答案
4.(xx课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为 .
答案 1
5.(xx天津,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解析
(1)由已知,有
f(x)=cosx·-cos2x+
=sinx·cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,
f=-,f=-,f=,
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.
6.(xx安徽理,16,12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析
(1)f(x)=4cosωx·sin
=2sinωx·cosωx+2cos2ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)+
=2sin+.
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
所以=π,故ω=1.
(2)由
(1)知,f(x)=2sin+.
若0≤x≤,则≤2x+≤.
当≤2x+≤,
即0≤x≤时,f(x)单调递增;
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
教师用书专用(7)
7.(xx福建,16,13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析 解法一:
(1)因为0<α<,sinα=,
所以cosα=.
所以f(α)=×-=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin,
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
解法二:
f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x=sin.
(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
考点二 公式的综合运用
1.(xx课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若cos=,则sin2α= .
答案 -
2.(xx重庆改编,9,5分)若tanα=2tan,则= .
答案 3
3.(xx课标Ⅰ改编,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则2α-β= .
答案
4.(xx课标全国Ⅰ理,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .
答案 -
5.(xx天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsincos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析
(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,易知函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=
易知A∩B=.
所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
6.(xx重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
解析
(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,因为ω>0,所以ω==2.
又因为f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<得k=0,
所以φ=-=-.
(2)由
(1)得f=sin=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos=sinα=sin
=sincos+cossin
=×+×=.
7.(xx四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
解析
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z,
所以由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得
-+≤x≤+,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),
所以sinαcos+cosαsin
=(cos2α-sin2α).
即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.
此时,cosα-sinα=-.
当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.
由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,
此时cosα-sinα=-.
综上所述,cosα-sinα=-或-.
教师用书专用(8)
8.(xx四川理,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.
(1)求cosA的值;
(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.
解析
(1)由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.
则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.(5分)
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