人教版高中数学排列组合教案设计.docx
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人教版高中数学排列组合教案设计
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排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标:
正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标:
能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标:
发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力
二、教材分析
1.重点:
加法原理,乘法原理。
解决方法:
利用简单的举例得到一般的结论.
2.难点:
加法原理,乘法原理的区分。
解决方法:
运用对比的方法比较它们的异同.
三、活动设计
1.活动:
思考,讨论,对比,练习.
2.教具:
多媒体课件.
四、教学过程正
1.新课导入
随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键.
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2.新课
我们先看下面两个问题.
(l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
板书:
图
因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法.
一般地,有如下原理:
加法原理:
做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m种不同的方法,在第二类办法中有m种不同的方法,……,21在第n类办法中有m种不同的方法.那么完成这件事共有N=m十m2n1十…十m种不同的方法.n
(2)我们再看下面的问题:
由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
板书:
图
这里,从A村到B村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一
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种走法到达B村后,再从B村到C村又有2种不同的走法.因此,从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法.
一般地,有如下原理:
乘法原理:
做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有m种不同的方法,……,做第n步有21m种不同的方法.那么完成这件事共有N=mm…m种不同的方法.n12n例1书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书.
1)从中任取一本,有多少种不同的取法?
2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?
解:
(1)从书架上任取一本书,有两类办法:
第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法.根据加法原理,得到不同的取法的种数是6十5=11.
答:
从书架L任取一本书,有11种不同的取法.
(2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:
第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是N=6X5=30.
答:
从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法.
练习:
一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1)从中任取一枚,有多少种不同取法?
2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法?
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例2:
(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数?
(2)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?
(3)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?
解:
要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:
第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复,
这仍有5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选法.根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125.
答:
可以组成125个三位数.
练习:
1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.
(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法?
(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出
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多少个加法式子?
3.题2的变形
4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
小结:
要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?
分类时用加法,分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习
练习
1.(口答)一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法?
2.在读书活动中,一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法?
3.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?
4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
5.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同.
(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?
(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?
作业:
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排列】【复习基本原理类办法,第一类办法n做一件事,完成它可以有1.加法原理办种不同的方法……,第n中有m种不同的方法,第二办法中有m21m种不同的方法,那么完成这件事共有法中有n…m+m+m+N=mn231种不同的方法.
步n个步骤,做第一.2乘法原理做一件事,完成它需要分成步n种不同的方法,做第二步有m种不同的方法,……,做第有m21那么完成这件事共有种不同的方法,.有mn?
mmm?
?
…N=m?
n231.种不同的方法3.两个原理的区别:
1】【练习北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少1.种不同的机票?
可以组成多少个无重复数字的二位数?
请一一32、12.由数字、.
列出【基本概念】(这个元素m(个不同元素中,任取)什么叫排列?
从1.nn?
m一定的顺序叫做从n按照里的被取元素各不相同)个不同排成一列,.....一个排列个元素的m元素中取出....
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2.什么叫不同的排列?
元素和顺序至少有一个不同.
什么叫相同的排列?
元素和顺序都相同的排列3..
什么叫一个排列?
4.
【例题与练习】
1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数?
2.已知a、b、c、d四个元素,①写出每次取出3个元素的所有排列;②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1.定义:
从n个不同元素中,任取m()个元素的所有排n?
m列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号表示.
mpn用符号表示上述各题中的排列数.
2.排列数公式:
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
mpn;;;312?
ppp?
?
nnn
;4?
pn
计算:
=;=;42pp55
=;2p15
【课后检测】
1.写出:
①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列;
②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
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2.计算:
8p②③①④334212pp?
p2p
8610087p12排列
课题:
排列的简单应用
(1)
目的:
进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式,会用排列数公式计算和解决简单的实际问题.
过程:
一、复习:
(引导学生对上节课所学知识进行复习整理)
1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题;
2.排列数的定义,排列数的计算公式
n!
mnm,nZ)≤(其中?
mm或?
A)?
1m?
)(n2)(n?
?
?
An(n1?
nn(n?
m)!
3.全排列、阶乘的意义;规定0!
=1
4.“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用.
二、新授:
例1:
⑴7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
解:
问题可以看作:
7个元素的全排列——=50407A7⑵7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?
解:
根据分步计数原理:
7×6×5×4×3×2×1=7!
=5040
⑶7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
解:
问题可以看作:
余下的6个元素的全排列——=720
6A6
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⑷7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
解:
根据分步计数原理:
第一步甲、乙站在两端有种;第二2A2步余下的5名同学进行全排列有种则共有=240种排列方552AAA552法
⑸7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法一(直接法):
第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法;第二步从余下的5位2A5同学中选5位进行排列(全排列)有种方法所以一共有=525AAA5552400种排列方法.
解法二:
(排除法)若甲站在排头有种方法;若乙站在排尾6A6有种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法.所以甲不56AA56能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有-+=2400种.576AAA2576小结一:
对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑.
例2:
7位同学站成一排.
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
解:
先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法;再将甲、乙两个同学6A6“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有=1440
622AAA622⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
解:
方法同上,一共有=720种.35AA35
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⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
解法一:
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种方法;将剩下的42A5个元素进行全排列有种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行4A4排列有种方法.所以这样的排法一共有=960种方法.2242AAAA5242解法二:
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有2种方法,所以丙不能站在5A5排头和排尾的排法有种方法.256960A?
?
2A)?
(A265解法三:
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有种51AA54方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有521AAA542=960种方法.
小结二:
对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).
例3:
7位同学站成一排.
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
解法一:
(排除法)2673600?
?
A?
AA267解法二:
(插空法)先将其余五个同学排好有种方法,此时他5A5们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法,所以一共有种方法.2253600AAA?
656
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⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?
解:
先将其余四个同学排好有种方法,此时他们留下五个“空”,4A4再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法,所以一3A5共有=1440种.34AA54小结三:
对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).
三、小结:
1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型:
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;
⑵某些元素要求连排(即必须相邻);
⑶某些元素要求分离(即不能相邻);
2.基本的解题方法:
⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法);
⑵某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;
⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;
⑷在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基.
四、作业:
《课课练》之“排列课时1—3”
课题:
排列的简单应用
(2)
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目的:
使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题,进一步培养分析问题、解决问题的能力,同时让学生学会一题多解.
过程:
一、复习:
1.排列、排列数的定义,排列数的两个计算公式;
2.常见的排队的三种题型:
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法;
⑵某些元素要求连排(即必须相邻)——捆绑法;
⑶某些元素要求分离(即不能相邻)——插空法.
3.分类、分布思想的应用.
二、新授:
示例一:
从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
解法一:
(从特殊位置考虑)51A?
136080A99解法二:
(从特殊元素考虑)若选:
若不选:
65A5?
A99则共有+=136080
65A?
A599136080解法三:
(间接法)56AA?
?
109示例二:
⑴八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法?
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略解:
甲、乙排在前排;丙排在后排;其余进行全排列.521AAA544=5760种方法.所以一共有521AAA544ab两种商品必须,⑵不同的五种商品在货架上排成一排,其中c,d两种商品不排在一起,则不同的排法共有多少种?
排在一起,而abe捆在一起与“捆绑法”和“插空法”的综合应用),略解:
(进行排列有;2A2c,da,
;最后将两种商品排进去一共有此时留下三个空,将2A3b“松绑”有.所以一共有=24种方法.2222AAAA3222⑶6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种?
略解:
(分类)若第一个为老师则有;若第一个为学生则有33AA3333AA33所以一共有2=72种方法.33AA33示例三:
⑴由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数?
略解:
45231A325A?
?
A?
A?
?
A55555⑵由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13000大的正整数?
解法一:
分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有种方法;另一类是首位不为1,有种方法.所以一共有4131AAAA3344个数比13000大.4131114A?
A?
AA3344
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解法二:
(排除法)比13000小的正整数有个,所以比130003A3大的正整数有=114个.35A?
A35示例四:
用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列.
⑴第114个数是多少?
⑵3796是第几个数?
解:
⑴因为千位数是1的四位数一共有个,所以第114360A?
5个数的千位数应该是“3”,十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个;同理,以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个,212?
A4所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上,所以“3968”是第114个数.
⑵由上可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而3
796在“37”开头的四位数中排在第11个(倒数第二个),故3796是第95个数.
示例五:
用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中
⑴能被25整除的数有多少个?
⑵十位数字比个位数字大的有多少个?
解:
⑴能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种,个,末尾为50的四位数有个,末尾为25的有所以一共有+1122AAAA3344=21个.11AA33注:
能被25整除的四位数的末两位只能为25,50,75,00四种情况.
⑵用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,一共有31AA300?
55
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个.因为在这300个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可..1,所以十位数字比个位数字大的有个.能的”31150AA?
..
552三、小结:
能够根据题意选择适当的排列方法,同时注意考虑问题的全面性,此外能够借助一题多解检验答案的正确性.
X”之排列练习四、作业:
“3+
组合⑴
课题:
组合、组合数的概念
目的:
理解组合的意义,掌握组合数的计算公式.
过程:
一、复习、引入:
1.复习排列的有关内容:
定特相公
点义同排列式
排
以上由学生口答.
2.提出问题:
示例1:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
示例2:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,
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有多少种不同的选法?
引导观察:
示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的.
引出课题:
组合问题...
二、新授:
nmmn)个组合的概念:
一般地,从(个不同元素中取出≤1.nm个元素的一个组合元素并成一组,叫做从.个不同元素中取出
注:
1.不同元素2.“只取不排”——无序性3.相同组合:
元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题:
A、B、C、D四个景点选出2个进行游览;从(组合)⑴
⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记.(排列)
nmmn)个元素的.组合数的概念:
从(个不同元素中取出≤2nm个元素的组合数.所有组合的个数,叫做从用个不同元素中取出符号表示.mCn例如:
示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为:
甲乙,甲丙,乙丙.即有种组合.23C?
3A、B、C、DAB,又如:
从2个进行游览的组合:
四个景点选出ACADBCBDCD一共6,种组合,即:
,,,26C?
4在讲解时一定要让学生去分析:
要解决的问题是排列问题还是
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组合问题,关键是看是否与顺序有关.那么又如何计算呢?
mCn3.组合数公式的推导
abc,d中取出,3⑴提问:
从4个不同元素个元素的组合数,3C4是多少呢?
启发:
由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3.........个元素的排列数可以求得,故我们可以考察一下和的关系,333AAC444如下:
组合排列
abc?
abc,bac,cab,acb,bca,cbadba?
adb,abd,bad,bdadab,abdadc,?
cda,dcadac,acd,cadacdbdcbcd?
cbd,cdb,dcb,,dbcbcd由此可知:
每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步:
①考3A4虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;②对每一个3C4组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得:
3A33A=,所以:
.33334A?
CA?
C
34443A3nm个元素的排列数一般地,求从个不同元素中取出⑵推广:
nm个元素的组先求从个不同元素中取出,可以分如下两步:
①mAnm个元素全排列数,根据分布计数原;合数②求每一个组合中mmACmn理得:
=mmmAC?
Amnn⑶组合数的公式:
mAn(n?
1)(n?
2)(n?
m?
1)?
mn?
C?
nm!
mAm
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n!
或m?
?
C)nmN?
且(n,m?
nm!
(n?
m)!
⑷巩固练习:
1.计算:
⑴⑵47CC107m?
12.求证:
1mm?
C?
?
C
nnn?
m3.设求的值.?
12x?
3xCC?
?
Nx13x2?
x?
?
2x?
3?
x?
1?
x≤4即:
2解:
由题意可得:
≤?
x?
1?
2x?
3?
x=2或3或∵∴4
Nx?
?
xxx=2时原式7;当;当=3当时原式值为=2时原式值为7值为11.
∴所求值为4或7或11.
4.例题讲评
例1.6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分
法?
略解:
22290?
CC?
C?
246例2.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组,问组成方法共有多少种?
解法一:
(直接法)小组构成有三种情形:
3男,2男1女,1,所以一共有=男2女,分别有,,++2112221133CCC?
CC?
C?
?
CCCC4466646444100种方法.
解法二:
(间接法)33C?
C?
100106
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5.学生练习:
(课本99练习)
三、小结:
定特相公
式组合义点同排
列组
合此外,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定
是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理.四、课作业:
课堂作业:
教学与测试758和课时课外作业:
课课练7组⑵合课题:
组合的简单应用及组合数的两个性质熟练掌握组合数的计目的:
深刻理解排列与组合的区别和联系,并且能够运用它解决一些简单的应算公式;掌握组合数的两个性质,用问题.过程:
一、复习回顾:
1.复习排列和组合的有关内容:
强调:
排列——次序性;组合——无序性.2.练习一:
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n.(本式也可变形为:
练习1:
求证:
)1?
mm1?
mmmCnC?
C?
C
1nn?
1?
nnm练习2:
计算:
①和;②与;③3323754C?
CCCCCC?
67106101111答案:
①120,120②20,20③792
(此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础.)
3.练习二:
⑴平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?
⑵平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?
(组合问题)⑵(排列问题)答案:
⑴22C90?
A?
451010二、新授:
1.组合数的性质1:
.mn?
mCC?
nn
nmnm个不同元素中取出个元素后,剩下?
理解:
一般地,从个元素.因
nmn?
个不同元素中取出个元素的每一个组合,与剩下的为从mnm
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