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高考数学参数方程和普通方程的互化练习精选

【参数方程和普通方程的互化】

例1求曲线

（

为参数）与曲线

（

为参数）的交点．

   解：

把

代入

   得：

两式平方相加可得

   ∴

（

舍去）

   于是

即所求二曲线的交点是（

，－

）．

   说明：

在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－

，

）是增解．

例2化直线的普通方程

为参数方程（其中倾斜角

满足

且

）

解法一：

因

，

，故

∴

设

。

取

为参数，则得所求参数方程

   解法二：

如图，

（

）为直线上的定点，

为直线上的动点．因动点M与

的数量

一一对应（当M在

的向上方向或正右方时，

；当M在

的下方或正左方时，

；当M与

重合时，

），故取

为参数．

过点M作y轴的平行线，过点

作

轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有

∴

即

为所求的参数方程。

   说明：

①在解法二中，不必限定

，

，即不必限定

，

．由此可知，无论

中任意值时，所得方程都是经过

（

），倾斜角为

的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．

   ②要充分理解解法二所示的参数

的几何意义，这对解决某些问题较为方便．

③如果取

为参数，则得直线参数方程

   一般地，直线的参数方程的一般形式是

 （

，

为参数）

但只有当且仅当

，且

时，这个一般式才是标准式，参数

才具有上述的几何意义．

例3求椭圆

的参数方程．

   分析一：

把

与

对比，不难发现，可设

，也可设

解法一：

设

（

为参数），则

∴

   故

   因此，所得参数方程是

  （Ⅰ）

或 （Ⅱ）

   由于曲线（Ⅱ）上的点（

，

），就是曲线（Ⅰ）上的点（

，

），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．

显然．椭圆

的参数方程是

分析二：

借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中

的几何意义．

解法二：

以原点O为圆心，

为半径作圆，如图．设以

轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为

，过点A作

轴于N，交椭圆于M，取

为参数，则点M（

）的横坐标

（以下同解法一）．

   由解法二知，参数

是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称

为椭圆的离角．（如果以O为圆心，

为半径作圆，过M作

，交圆于B，由

可知

也是半径OB的转角）．

   例4 用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角

为参数，把圆

化为参数方程。

分析：

由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为

的参数形式。

解：

如图所示，圆方程化为

，设圆与x轴正半轴交于A，

为圆上任一点，过P作

轴于B，OP与x轴正半轴所成角为

，

，则：

又

中

，

∴

∴此圆的参数方程为

例5 设

（

为参数）把普通方程

化为以

为参数的参数方程。

解：

把

代入原方程，得

，

解得 

∴参数方程为

 （

为参数）

∵

与

表示的是同一曲线，所以它们是等价的，可以省略一个。

∴所求参数方程

例6 化双曲线

为参数方程。

解：

设

，代入

为，得

∴

的参数方程为

（

为参数，

）

这是同学中较为常见的解法，这种解法是错误的，那么错在哪里呢？

请你找出来。

错误在于，双曲线

上x的取值范围是不等于零的一切实数，错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅

，故错解中得到的参数方程只表示双曲线

上一部分，不符合普通方程与参数方程的等价性要求，普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数，注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。

下面给出正确解法：

设

，代入

得

。

∴

的参数方程为：

（

为参数，

）

例7化参数方程

（

为参数）为普通方程。

分析一：

用代入消元法，从已知方程中解出参数

，代入后消去参数。

解法一：

∵

∴

 即

将它代入

（1），并化简得

（

）

分析二：

用整体消参法。

注意

表达式的分母相同，而分子的平方和恰为原来相同的分母。

解法二：

得

又∵

  ∴

于是得所求普通方程为

即

分析三：

因为

，所以

。

从

表达式可联想万能公式。

于是可用三角变换，然后利用三角公式再消参。

解法三：

∵

，

∴可令

（

，

）

又∵

于是得

得 

即

∵

，（

）

∴

（

）

即

，∴

∴普通方程是

（

）

说明：

解法一是用代入法消参，解法二是整体消参法，解法三是运用万能公式，三角变换消参，三种解法中都应注意

的限制条件，使参数方程化为普通方程时保持等价性。

例8将下列参数方程（其中

，

为参数）化为普通方程。

（1）

（2）

  （3）

解：

（1）∵

∴

（

）为所求。

（2）由

，得

（

）

将它代入

，并化简得

（

）

另解：

∵

并整理得

（

）

（3）∵

且

∴所求普通方程为

说明：

（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参，

（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参，（3）小题是通过代数变换法消参。

但都应特别注意等价性。

例9 对于方程

（a，b为常数）

（1）当t为常数，

为参数时，方程表示何种曲线；

（2）当t为参数，

为常数时，方程表示何种曲线

解：

（1）当t为常数，原方程可变形为

   两式平方相加得

即

这是以（a，b）为圆心，

为半径的圆。

（2）当

为常数时，

由第一式得

代入第二式得

即

这是过点（a，b），斜率为

的一条直线

小结：

同一参数方程，由于参数不同，所表示的曲线也不同，消去参数化为普通方程后，曲线的类型也就显现出来。

例10已知直线

过点P（2，0），斜率为

。

直线

和抛物线

相交于A、B两点，线段AB的中点为M。

求：

（1）线段PM的长

；

（2）M点的坐标；

（3）线段AB的长

解：

如图。

（1）由直线

过点P（2，0），斜率为

。

设其倾斜角为

，则有

可得直线

的标准参数方程为：

（其中

为参数）

设直线

上两点A、B分别对应参数

、

，

由方程组：

消去

可得：

有

，

由M为AB的中点，

∴

（2）设M点对应参数为

，则有

∴M点坐标为：

∴M点坐标为（

，

）

（3）由

分别代入

，

可得

点拨：

利用直线的标准参数方程中参数

的几何含义，在解决诸如直线

上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时，显得很方便和简捷。

例11已知椭圆

上的一个点P（

），求

的最值。

解：

设椭圆

的参数方程为：

（

为参数，

）

∴

，（其中

）

∵

∴

即

的最大值是

，最小值是－

。

   点拨：

这个题虽然很简单，但它说明了一个道理：

曲线的参数方程不仅表示了曲线，同时也表示了曲线上的点的坐标．当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时，实际上起到了消元的作用，即用一个参数表示了

   、

，因此，在求某些几何量的最值时，参数方程可以起到一元化即消元的作用．

例12过点M（2，1）作曲线

（

为参数）的弦AB，若M为AB的三等分点，求AB直线方程。

解：

设AB的方程为

（t为参数），将x，y代入曲线

（

为参数）即

，

整理、化简得

，

          ①

            ②

∵点M在AB的内部       ∴

∴

。

将①、②代入上式有

。

解得

，

则AB的方程为

小结：

本题是首先设出过定点的参数方程，然后和椭圆方程联立，再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义，求得斜率，用点斜式写出直线方程。

例13  圆O内一定点A，过A任作两互相垂直的弦，求证这两弦长的平方和为定值。

证明：

以圆心O为原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系，

设圆的方程

，过定点

互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为

即

分别代入圆方程，得

，其二根为

、

，

，其二根为

、

，故有

∴两弦平方和为定值

小结：

涉及圆的弦长问题，可利用直线参数方程来解。

例14已知

是抛物线

的一动弦，O为原点。

当

恒为直角时，如图求弦

的中点P的轨迹方程。

分析点P是

的中点，点P的坐标

与

，

的坐标

，

，

、

相关，如果选取

，

，

、

作为参数，则要列出

，

，

，

、

有关的五个方程，最后消去参数

，

，

、

就可以得到P点的轨迹方程。

解设P（

），

（

，

），

（

，

）

∵P是

的中点

∴

①

②

∵

，

在抛物

上

∴

③

④

又∵

恒为直角，即

∴

⑤

由③×④：

∴

由③＋④：

∴

把①、②式代入得：

∴P点的轨迹方程是

   说明 此题的解法是利用参数求点的轨迹方程，参数的个数可以是一个，也可以是几个，所列出的参数与点的坐标

之间的方程的个数要比参数个数多一个，最后消去参数，得出轨迹方程．解决这类问题的关键是如何选取参数．此题还有一种选取参数的方法．

设直线

的斜率为

，根据

则

的方程是

，

的方程是

。

由

解得

由

解得

设

，根据P是

的中点

∴

（1）

（2）

由

把

（1）代入：

∴P点的轨迹方程是：

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