乘法公式根式分解因式老师用.docx
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乘法公式根式分解因式老师用
初高中衔接教材
、数与式的运算
)、必会的乘法公式
【公式1】(abc)2=a2b2c22ab2bc2ca
2222
证明:
(abc)二[(ab)c]=(ab)2(ab)cc
.等式成立
【例1】计算:
(x2-2x」)
二a22abnb22ac2bcc2二a2:
:
;b2:
:
;c22ab2bc2ca
1、2
3'
解:
原式=[x2(-.2x)1]2
3
211—
X—+2N_x(_”2x)
33
22—2122—
=(x)(-一2x)()2x(-.2)x2x
3
=x—2.2x38x2^x1
339
说明:
多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排列.
【公式2】(ab)(a2-abb2)=a3b3(立方和公式)
证明:
(ab)(a2_abb2)=a3_a2bab2a2b_ab2b3=a3b3
说明:
请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算:
(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8a3+b3
【公式3】(a-b)(a2abb2)=a3-b3(立方差公式)
(4)
2•利用立方和、立方差公式进行因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
27m3-n3=
27m3-1n3=
8x3-125=
66
m-n=
【公式4】(ab)3二a3b33a2b3ab2
【公式5】(a—b)=a3—3a2b3ab2-b3
【例3】计算:
(1)(4m)(16「4mm2)
(2)(丄m-1n)(丄m2丄mn丄n2)
5225104
(3)(a2)(a-2)(a44a216)(4)(x22xyy2)(x2-xyy2)2
解:
(1)原式=43•m3=64m3
(3)原式=(a2-4)(a44a242)=(a2)3-43=a6-64
(4)原式=(xy)2(x2-xyy2)2=[(xy)(x2-xyy2)]2
33•3
abc
abc
a3
abc
说明:
(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数
和1、2、3、4、…、10的立方数,是非常有好处的.
1
【例4】已知X2-3x•1=0,求X3•-y的值.
x
解:
:
X2-3x1=0.x=0.x-=3
x
1111
原式=(x)(x2-12)=(x)[(X)2-3]=3(32一3)=18
xxxx
说明:
本题若先从方程x2-3x10中解出x的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化
了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.
【例5】已知ab^0,求a(11)b(11)c(--)的值.
bccaab
解:
abc=0,.ab=-c,bc=-a,ca=-b
原式=abcbaccabbcacab
=a(-a)b(-b)c(-c)=
bcacab
说明:
注意字母的整体代换技巧的应用.
)、根式
式子.、a(a_O)叫做二次根式,其性质如下:
说明:
请注意性质•一孑=|a|的使用:
当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
解:
(1)
(4)原式=2』2x_Jxx2+(2汇22x=T?
x—xVx+2V5x=3V?
x_xVx丫2汇2
说明:
(1)二次根式的化简结果应满足:
1被开方数的因数是整数,因式是整式;
2被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:
①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽
方的因数或因式开出来;
②分母中有根式(如為)或被开方数有分母(如證)•这时可将其化为
中的根式化为有理式,米取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如——化
2+73
为3(2一3),其中2.3与2_.3叫做互为有理化因式).
(2.3)(2一3)
有理化因式和分母有理化
有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个代数式叫做有理化因式。
如心与心;x与弘x-b;y互为有理化因式。
分母有理化:
在分母含有根式的式子里,把分母中的根式化去,叫做分母有理化。
【例8】计算:
⑴(a.b1)(1—、泊,b)〜(.a、.b)2
(2)一、一
a-Qaba+%/ab
解:
(1)原式=(1亠,.b)2-(a)2-(a2.abb)--2a-2.ab2.b1
(一a-jb)(.a-,b)2a(ab)(一a-「b)a-b
乘法的运算律以及多项式的乘法
说明:
有理数的的运算法则都适用于加法、公式、分式二次根式的运算.
I例9】设x;;y=:
「3,求x3y3的值.
原式=(xy)(x-xyyH(xy)[(xy)-3xy]=14(14-3)=2702
说明:
有关代数式的求值问题:
(1)先化简后求值;
(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计
练习
二次根式孑二-a成立的条件是()
A.a.0B.a:
:
:
0C.
D.a是任意实
2.
若x:
:
:
3,则•、9-6xx2-|x-6|的值是(
3.
A.—3计算:
(1)(x-3y-4z)
(3)(ab)(a2-abb2)-(ab)3
B.3
4.
化简(下列a的取值范围均使根式有意义
5.
C.—9
D.9
2
(2a1-b)-(a-b)(a2b)
122
(a-4b)(a4bab)
4
(1)•石
⑶、、4ab
aTb-bVa
化简:
(1)7丽1
2x-2y亠
2m2
=2,
J](x0)
6.
则3xxy7y的值为(
x-xy-y
7.
a2
9.
B.-3
5
1
-2".32
—1—,求代数式
5
3
22
xxyy
xy
C.
b2c2
10.化简或计算:
1
,b=2
a£的值.bca
,求x4x22x-1的值.
a
1
"2
的值.
一1
、3、2.3-1
⑴小w
x、.xxyx、xyy
()xy-y2
答案:
1.C2.A
3.
(1)x29y216z2-6xy-8xz24yz
22
3a-5ab3b4a-2b1
22
⑶-3ab-3ab
133
⑷4a-16b
4.-2a、、-2a-、、-a
2(a,b)
-J-1
a-b
2
5.m,m2xy
6.D
7
8.39
.3-.5
10
6
4;3xy
一3,厂
3y
二、因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
)、公式法
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
(1)8x3
3
(2)0.125-27b
分析:
(1)中,8=23,
(2)中0.125=0.5\27b3=(3b)3.
解:
(1)8x3=23x3=(2x)(4-2xx2)
(2)0.125-27b3nO.53-(3b)3=(0.5-3b)[0.520.53b(3b)2]
=(0.5-3b)(0.251.5b9b)
说明:
(1)在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幕的运算法则,如8ab3=(2ab)3,这里逆用了法则(ab)n=anbn;
(2)在运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号.
【例2】分解因式:
(1)3a3b-81b4
(2)a7-ab6
分析:
(1)中应先提取公因式再进一步分解;
(2)中提取公因式后,括号内出现a6-b6,可看着是(a3)2-(b3)2或(a2)3—(b2)3.
解:
(1)3a3b-81b4=3b(a3-27b3)=3b(a-3b)(a23ab9b2).
(2)a7-ab6二a(a6-b6)=a(a3b3)(a3-b3)
=a(ab)(a2-abb2)(a-b)(a2abb2)
2222
二a(ab)(a-b)(aabb)(a-abb)
2)、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如ma•mb•na•nb既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
1.分组后能提取公因式
【例3】把2ax-10ay-5by-bx分解因式.
分析:
把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x的降
幕排列,然后从两组分别提出公因式2a与-b,这时另一个因式正好都是x-5y,这样可以继续提取公因式.
解:
2ax-10ay5by_bx=2a(x_5y)_b(x_5y)=(x_5y)(2a_b)
说明:
用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理
二ac(bc_ad)bd(be_ad)=(be_ad)(acbd)
说明:
由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律•由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.
2•分组后能直接运用公式
【例5】把x「y2-axay分解因式.
分析:
把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公
式分解因式,其中一个因式是xy;把第三、四项作为另一组,在提出公因式a后,另一个因式也是xy.
22
解:
x-yaxay=(xy)(x_y)a(xy)=(xy)(x_ya)
【例6】把2x24xy2y2-8z2分解因式.
分析:
先将系数2提出后,得到x22xyy2-4z2,其中前三项作为一组,
它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.
解:
2x24xy2y2-8z2=2(x22xyy2-4z2)
=2[(xy)2_(2z)2]=2(xy2z)(xy-2z)
说明:
从例5、例6可以看出:
如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.
3)、十字相乘法
1.x2+(p+q)x+pq型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数之积;(3)—次项系数是常数项的两个因数之和.
2)i)2-I-I-I)-I-I■,■,
x(pq)xpq=xpxqxpq=x(xp)q(xp)=(xp)(xq)
因此,x2(pq)xpq=(xp)(xq)
1的二次三项式分解因式.
运用这个公式,可以把某些二次项系数为
【例7】把下列各式因式分解:
2
(2)x13x36
解:
(1)T6=(-1)(-6),(-1)(-6)=-7
.X2—7x6=[x(-1)][x(一6)]=(x—1)(x—6).
(2):
36=49,49=13
x213x36=(x4)(x9)
说明:
此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.
【例8】把下列各式因式分解:
(1)x25x-24
(2)x2-2x-15
解:
(1):
-24=(—3)8,(—3)8=5
2
.x5x-24二[x(-3)](x8)=(x-3)(x8)
(2)7-15=(-5)3,(-5)3二-2
.x2-2x-15=[x(-5)](x3)=(x-5)(x3)
说明:
此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.
【例9】把下列各式因式分解:
(1)x2xy-6y2
(2)(x2x)2-8(x2x)12
分析:
(1)把x2,xy-6y2看成x的二次三项式,这时常数项是-6y2,一次项系数是y,把-6y2分解成3y与-2y的积,而3y•(-2y)=y,正好是一次项系数.
(2)由换元思想,只要把x2x整体看作一个字母a,可不必写出,只当作分解二次三项式a2-8a12.
解:
(1)xxy-6y=xyx-6=(x3y)(x-2y)
(2)(x2x)2-8(x2x)12=(x2x-6)(x2x-2)
=(x3)(x-2)(x2)(x-1)
2•—般二次三项式ax2bxc型的因式分解
大家知道,(a/cj(a2xc2^a1a2x2(a1c2a2cjxqq.
反过来,就得至U:
&a2X■(qq'a2Ci)x■GC2二(®x■G)(a2X■q)
我们发现,二次项系数a分解成a1a2,常数项c分解成c1c2,把a,a2,c,c2写
Ci
成ac,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到aiC2a2G,如果它正好等于
22
ax2-bxc的一次项系数b,那么ax2bxc就可以分解成(axc()(a2xc2),其中ai,c.位于上一行,a2,c2位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
【例10】把下列各式因式分解:
(1)12x2-5x-2
(2)5x26xy-8y2
3-2
41
解:
(1)12x2—5x—2=(3x—2)(4x1)
说明:
用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
4)、其它因式分解的方法
1•配方法
【例111分解因式x26^16
解:
x26x-16=x22x332-32-16=(x3)2_52
=(x35)(x3「5)=(x8)(x-2)
说明:
这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解•当然,本题还有其它方法,请大家试验.
2•拆、添项法
【例121分解因式x3-3x24
分析:
此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行•细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决.
解:
x3-3x24=(X31)_(3x2_3)
=(x1)(x2—x1)-3(x1)(x—1)=(x1)[(x2—x1)—3(x—1)]
=(x1)(x2—4x4)=(x1)(x-2)2
说明:
本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件•本题还可以将-3x2拆成x2-4x2,将多项式分成两组(x3x2)和-4x24.
一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行:
(1)如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式;
(2)如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
(3)如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相
乘法)来分解;
(4)分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
6
1.把下列各式分解因式:
(1)a327
⑵8-m3
(3)-27x38
2.把下列各式分解因式:
(1)xy3x4
n3n3
(2)x-xy
(3)
2z232
y(x-2x)y
3.把下列各式分解因式:
(1)x2-3x2⑵
2x
-6x-27(3)
2m
-4mn-5n2
4.把下列各式分解因式:
(1)ax5TOax416ax3
⑵
n-2n"1n■2
aab-6ab
⑶
22
(x-2x)-9
(4)8x226xy-15y2(5)7(ab)2-5(ab)-2
5.把下列各式分解因式:
(1)3ax-3ayxy-y2
(2)8x34x2-2xT(3)
2
5xT5x2xy-6y
⑷4xy1-4x2-y2⑸a4ba3b2-a2b3-ab4⑹
663.
x-y-2x1
(7)x(x+1)—y(xy+x)
2
6.已知a•b二一,ab=2,求代数式a2b-2a2b2ab2的值.
3
7.证明:
当n为大于2的整数时,n5-5n3•4n能被120整除.
8.已知abc=0,求证:
a3a2cb2c-abcb3=0.
答案:
1.(a3)(a2-3a9),(2-m)(42mm2),(2-3x)(46x9x2),
2.x(xy)(y2-xyx2),xn(x-y)(x2xyy2),y2(x-1)2(x4-4x33x22x1)
3.(x-2)(x-1),(x-9)(x3),(m_5n)(mn)
4.ax3(x-2)(x-8);an(a3b)(a-2b);(x-3)(x1)(x2-2x3);
(2x-y)(4x15y),
(7a7b2)(ab-1)
5.(x-y)(3ay),(2x1)2(2x-1),(x-3)(5x2y);(1一2xy)(12x-y),
一3333
ab(ab)(a-b),(x-1_y)(x-1y),x(x-y)(xy1).
6.一8
3
7.n5-5n34n=(n-2)(n-1)n(n1)(n2)
8.a3a2cb2c_abcb3=(a2_abb2)(abc)
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