寒假六年级奥数教材综述.docx
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寒假六年级奥数教材综述
目录
第1讲简便运算(一···········································2第2讲简便运算(二···········································6第3讲转化单位“1”(一······································10第4讲转化单位“1”(二······································14第5讲比较大小···············································19第6讲面积计算···············································24第7讲代数法解题·············································28第8讲比的应用···············································32
第1讲简便运算(一
一、专题简析
在进行分数运算时,除了牢记运算定律、性质外,还要仔细审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合,使其变成符合运算定律的模式,以便于口算,从而简化运算。
二、精讲精练
【例题1】
计算:
(144
45
×37(227×1526
(1原式=(1-
1
45
×37
=1×37-
1
45×37
=37-3745
=368
45
练习1
用简便方法计算下面各题:
①14
15
×8②
2
25
×126③35×1136
④73×74
75
⑤
1997
1998
×1999
(2原式=(26+1×1526
=26×
15
26
15
26
=15+
15
26
=15
15
26
【例题2】
计算:
73
115×18
原式=(72+1615×1
8
=72×181615×1
8=9+215=9215练习2
计算下面各题:
①64117×19②22120×1
21
③17×5716④4113×34+5114×45
【例题3】
计算:
15×27+3
5×41
原式=35×9+3
5×41
=3
5×(9+41=3
5
×50=30
练习3
计算下面各题:
①14×39+34×27②16×35+56×17③18×5+58×5+1
8×10
【例题4】
计算:
56×11359×213+518×613
原式=16×51329×513+618×513
=(1629618×513
=1318×513=518练习4
计算下面各题:
①117×49517×19②17×34+37×16+67×112
③59×791617×1919×517④517×38+115×716+115×312
【例题5】
计算:
(1166
120÷41(21998÷19981998
1999
解:
(1原式=(164+21
20
÷41
=164×411+4120×411
=4+120
=4
120练习5
计算下面各题:
①5425÷17②238÷238238239
③163113÷41139
(2原式=1998÷1998×1999+1998
1999=1998÷1998×2000
1999=1998×1999
1998×2000
=1999
2000
第2讲简便运算(二
一、专题简析
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法,下面再向同学们介绍怎样用拆分法(也叫裂项法、拆项法进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消,达到简化运算的目的。
一般地,
形如
1
a×(a+1
的分数可以拆成
1
a
-
1
a+1
;形如
1
a×(a+n
的分数可以拆成
1
n
×(
1
a
-
1a+n,
形如
a+b
a×b
的分数可以拆成
1
a
+
1
b
等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
二、精讲精练
【例题1】
计算:
1
1×2
1
2×3
1
3×4
+„..+
1
99×100
原式=(1-
1
2
+(
1
2
-
1
3
+(
1
3
-
1
4
+„..+(
1
99
-
1
100
=1-
1
2
1
2
-
1
3
1
3
-
1
4
+„..+
1
99
-
1
100
=1-
1
100
=
99
100
练习1
计算下面各题:
①
1
4×5
1
5×6
1
6×7
„..+
1
39×40
②
1
10×11
1
11×12
1
12×13
+
1
13×14
+
1
14×15
③1216112120130+142④1-16+142+156+172
【例题2】
计算:
12×414×616×8+„..+148×50
原式=(22×424×626×8+„..+248×50×12
=[(12-14+(14-16+(16-18„..+(148-150]×12
=(12-150×12
=625
练习2
计算下面各题:
①13×515×717×9„..+197×99②11×4+14×7+17×10+„..+197×100
③11×515×919×13„..+133×37④14+128+170+1130+1208
【例题3】
计算:
113-712920-1130+1342-1556
原式=113-(1314+(14+15-(15+16+(16+17-(17+18
=113-13-141415-15-16+16+17-17-18
=1-18
=78
练习3
计算下面各题:
①11256-712920-1130②114-920+1130-1342+1556
③19981×219982×319983×4+19984×5+19985×6
④6×712-920×6+1130
×6【例题4】
计算:
(1+121314×(12+13+14+15-(1+12+13+14+15×(12+13+14
设1+12+13+14=a12+1314
=b
原式=a×(b+15-(a+15
×b=ab+15-ab-15
=15
(a-b=15
练习4
①(12131415×(1314+15+16-(12+13+14+15+16×(13+14+15
②(1819110111×(19+110+111+112-(18+19+110+111+112×(19+110+111
③(1+
119991200012001×(11999+12000+12001+12002-(1+119991200012001+12002×(119991200012001
第3讲转化单位“1”(一
一、专题简析
把不同的数量当作单位“1”,得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的ab,乙是丙的cd,则甲是丙的acbd;如果甲是乙的ab,则乙是甲的ba
;如果甲的ab等于乙的cd,则甲是乙的cd÷ab=bcad,乙是甲的ab÷ab=adbc
。
二、精讲精练
【例题1】
乙数是甲数的23,丙数是乙数的45
丙数是甲数的几分之几?
23×45=815
练习1
①乙数是甲数的34,丙数是乙数的35
丙数是甲数的几分之几?
②一根管子,第一次截去全长的14,第二次截去余下的12
两次共截去全长的几分之几?
③一个旅客从甲城坐火车到乙城,火车行了全程的一半时旅客睡着了。
他醒来时,发现剩下
的路程是他睡着前所行路程的14
。
想一想,剩下的路程是全程的几分之几?
他睡着时火车行了全程的几分之几?
【例题2】
修一条8000米的水渠,第一周修了全长的1
4
第二周修的相当于第一周的
4
5
第二周修
了多少米?
8000×1
4
×
4
5
=1600(米
答:
第二周修了1600米。
练习2
①一堆黄沙30吨,第一次用去总数的1
5
第二次用去的是第一次的1
1
4
倍,第二次用去黄沙
多少吨?
②大象可活80年,马的寿命是大象的1
2
长颈鹿的寿命是马的
7
8
长颈鹿可活多少年?
③仓库里有化肥30吨,第一次取出总数的1
5
第二次取出余下的
1
3
第二次取出多少吨?
【例题3】
晶晶三天看完一本书,第一天看了全书的1
4
第二天看了余下的
2
5
第二天比第一天多
看了15页,这本书共有多少页?
15÷【(1-1
4
×
2
5
-
1
4
】=300(页
答:
这本书有300页。
练习3
①有一批货物,第一天运了这批货物的1
4
第二天运的是第一天的
3
5
还剩90吨没有运。
这
批货物有多少吨?
②修路队在一条公路上施工。
第一天修了这条公路的1
4
第二天修了余下的
2
3
已知这两天
共修路1200米,这条公路全长多少米?
③加工一批零件,甲先加工了这批零件的2
5
接着乙加工了余下的
4
9
。
已知乙加工的个数比
甲少200个,这批零件共有多少个?
【例题4】
甲数的13等于乙数的14
甲数是乙数的几分之几,乙数是甲数的几倍?
14÷13=3413÷14=113
答:
甲数是乙数的34,乙数是甲数的113
。
练习4
①甲数的34等于乙数的25
甲数是乙数的几分之几?
乙数是甲数的几分之几?
②甲数的123等于乙数的56
甲数是乙数的几分之几?
乙数是甲乙两数和的几分之几?
③甲数是丙数的34,乙数是丙数的25
甲数是乙数的几分之几?
乙数是甲数的几分之几?
第4讲转化单位“1”(二
一、专题简析
我们必须重视转化训练。
通过转化训练,既可理解数量关系的实质,又可拓展我们的解题思路,提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例题1】
甲数是乙数的23,乙数是丙数的34
甲、乙、丙的和是216,甲、乙、丙各是多少?
解法一:
把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的34×23=12
丙:
216÷(1+34+34×23
=96乙:
96×34
=72甲:
72×23
=48解法二:
可将“乙数是丙数的34”转化成“丙数是乙数的43
”,把乙数看作单位“1”。
乙:
216÷(23+1+43
=72甲:
72×23
=48丙:
72÷34
=96答:
甲数是48,乙数是72,丙数是96。
练习1
①甲数是乙数的56,乙数是丙数的34
甲、乙、丙三个数的和是152,甲、乙、丙三个数各是多少?
②橘子的千克数是苹果的23,香蕉的千克数是橘子的12
香蕉和苹果共有220千克,橘子有多少千克?
③某中学的初中部三个年级中,初一的学生数是初二学生数的910
初二的学生数是初三学生数的114
倍,这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几?
【例题2】
红、黄、蓝气球共有62只,其中红气球的35等于黄气球的23
蓝气球有24只,红气球和黄气球各有多少只?
解法一:
将条件“红气球的35等于黄气球的23”转化为“黄气球的只数是红气球的(35÷23
=910
”。
先求红气球的只数,再求出黄气球的只数。
红气球:
(62-24÷(1+35÷23
=20(只黄气球:
62-24-20=18(只
解法二:
将条件“红气球的35等于黄气球的23
”转化为“红气球的只数是黄气球的
(23÷35=109
”。
先求黄气球的只数,再求出红气球的只数。
黄气球:
(62-24÷(1+23÷35
=18(只红气球:
62-24-18=20(只
答:
红气球有20只,黄气球有18只。
练习2
①甲数的23等于乙数的56
甲、乙两数的和是162,甲、乙两数各是多少?
②今年8月份,甲所得的奖金比乙少200元,甲得的奖金的23正好是乙得奖金的47
甲、乙两人各得奖金多少元?
③商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克,香蕉重量的14等于苹果重量的13
梨子的重量是200千克。
香蕉和苹果各多少千克?
【例题3】
已知甲校学生数是乙校学生数的25,甲校的女生数是甲校学生数的310
乙校的男生数是
乙校学生数的2150
那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几?
解法一:
把乙校学生数看作单位“1”。
[25×310(1-2150]÷(1+25=12
解法二:
把甲校学生数看作单位“1”
(52-52×2150310÷(1+52=12
答:
甲、乙两校女生总数占两校学生总数的12
。
练习3
①在一座城市中,中学生数是居民的15,大学生是中学生数的14,那么占大学生总数的25
的理工科大学生是居民数的几分之几?
②某人在一次选举中,需34的选票才能当选,计算23
的选票后,他得到的选票已达到当选票数的56
他还要得到剩下选票的几分之几才能当选?
③某校有35的学生是男生,男生的120想当医生,全校想当医生的学生的34
是男生,那么全校女生的几分之几想当医生?
【例题4】
仓库里的大米和面粉共有2000袋。
大米运走25,面粉运走110
后,仓库里剩下大米和面
粉正好相等。
原来大米和面粉各有多少袋?
解法一:
将大米的袋数看作单位“1”
(1-2
5
÷(1-
1
10
=23
2000÷(1+2
3
=1200(袋
2000-1200=800(袋
解法二:
将面粉的袋数看作单位“1”
(1-
1
10
÷(1-
2
5
=32
2000÷(1+3
2
=800(袋
2000-800=1200(袋
答:
大米原有1200袋,面粉原有800袋。
练习4
①甲、乙两人各准备加工零件若干个,当甲完成自己的2
3
、乙完成自己的
1
4
时,两人所
剩零件数量相等,已知甲比乙多做了70个,甲、乙两人各准备加工多少个零件?
②一批水果四天卖完。
第一天卖出180千克,第二天卖出余下的2
7
第三、四天共卖出这批
水果的一半,这批水果有多少千克?
第5讲比较大小一、专题简析
我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。
今天将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。
解答这种类型的题目,需要将原题进行各种形式的转化,再利用一些不等式的性质进行
推理判断。
如:
a>b>0,那么a2>b2;如果a>b>0,那么1a<1b;如果ab
>1,b>0,那么a>b等等。
比较大小时,如果要比较的分数都接近1时,可先用1减去原分数,再根据被减数相等(都是1,减数越小,差越大的道理判断原分数的大小。
如果两个数的倒数接近,可以先用1分别除以这两个数。
再根据被除数相等,商越小,除数越大的道理判断原数的大小。
除了将比较大小转化为比差、比商等形式外,还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。
二、精讲精练
【例题1】
比较777773777778和888884888889
的大小。
这两个分数的分子与分母各不相同,不能直接比较大小,使用通分的方法又太麻烦。
由于这里的两个分数都接近1,所以我们可先用1分别减去以上分数,再比较所得差的大小,然后再判断原来分数的大小。
因为1-7777737777785777778,1-888884888889=5888889
5777778>5888889
所以777773777778<888884888889
。
练习1
①比较77777757777777和66666616666663
的大小。
②将9876598766,98769877,987988,9899
按从小到大的顺序排列出来。
③比较235861235862和652971652974
的大小。
【例题2】
比较1111111和111111111
哪个分数大?
可以先用1分别除以这两个分数,再比较所得商的大小,最后判断原分数的大小。
因为1÷1111111=1111111=101111
1÷111111111=111111111=1011111
101111>1011111
所以
1111111<111111111
练习2
①比较A=3331666和B=33166的大小
21
②比较
111111*********221和444444443888888887
的大小
③比较88888878888889和99999919999994的大小。
【例题3】
比较1234598761和1234698765
的大小。
两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近,可以根据通分的原理,用交叉相乘法比较分数的大小。
因为12345×98765
=12345×98761+12345×4
=12345×98761+49380
12346×98761
=12345×98761+98760
而98761>49380
所以12346×98761>12345×98765
则1234598761<1234698765
练习3
①比较176257和177259
的大小。
22
②如果A=2222133332,B=4444366665
那么A与B中较大的数是_______.
【例题4】
下图中有两个红色的正方形,两个蓝色的正方形,它们的面积已在图中标出(单位:
平方厘米。
问:
红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大?
红蓝
红
蓝
通过计算结果再比较大小自然是可以,但比较麻烦。
我们可以采取间接比较的方法。
19972-19962=(1997+1996×(1997-1996=3993
19932-19922=(1993+1992×(1993-1992=3985
(因为19972-19962>19932-19922
所以19972+19922>19932+19962
练习5
①如图所示,有两个红色的圆和两个蓝色的圆。
红色的两圆的直径分别是1992厘米和1949厘米,蓝色的两圆的直径分别是1990厘米和1951厘米。
问:
红色的两圆面积之和大,
23
还是蓝色的两圆面积之和大?
②问12×34×56×78ׄ×99100与110
相比,哪个更大?
为什么?
第6讲面积计算
一、专题简析
在进行组合图形的面积计算时,要仔细观察,认真思考,看清组合图形是由几个基本单
24
位组成的,还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积(单位:
厘米。
【思路导航】如图所示的特点,阴影部分的面积可以拼成14
圆的面积。
62×3.14×14=28.26(平方厘米
答:
阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1:
①求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:
厘米。
②求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:
厘米。
③求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:
厘米。
【例题2】
求图中阴影部分的面积(单位:
厘米。
25
【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后,构成了一个新的图形(如图所示。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.14×2144
-4×4÷2÷2=8.56(平方厘米
答:
阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2:
①计算下面图形中阴影部分的面积(单位:
厘米。
②计算下面图形中阴影部分的面积(单位:
厘米,正方形边长4。
③计算下面图形中阴影部分的面积(单位:
厘米,正方形边长4。
【例题3】如图所示,两圆半径都是1厘米,且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O的面积。
【思路导航】因为两圆的半径相等,所以两个扇形中的空白部分相等。
又因为图中两个阴影部分的面积相等,所以扇形的面积等于长方形面积的一半。
所以3.14×12×4
1×2=1.57(平方厘米答:
长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3:
①如图所示,圆的周长为12.56厘米,AC两点把圆分成相等的两段弧,阴影部分(1的面积与阴影部分(2的面积相等,求平行四边形ABCD的面积。
②如图所示,直径BC=8厘米,AB=AC,D为AC的中点,求阴影部分的面积。
③如图所示,AB=BC=8厘米,求阴影部分的面积。
【例题4】如图所示,求阴影部分的面积(单位:
厘米。
【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分,把它还原成长方形后(如图所示。
I和II的面积相等。
因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等,并且空白部分的两组三角形面积分别相等,所以
6×4=24(平方厘米
答:
阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4
①如图所示,求四边形ABCD的面积。
2.如图所示,BE长5厘米,长方形AEFD面积是38平方厘米。
求CD的长度。
3.图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起,按照图中的已知条件求阴影部分的面积(单位:
厘米。
第7讲代数法解题
一、专题简析
有一些数量关系比较复杂的分数应用题,用算术方法解答比较繁、难,甚至无法列式算式,这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件,生产的甲种零件比乙种零件多12个,乙种零件全部合格,甲种零件只有5
4合格,两种零件合格的共有42个,两种零件个生产了多少个?
【思路导航】本体用算术方法解有一定难度,可以根据两种零件合格的一共有42个,列方程求解。
解:
设生产乙种零件x个,则生产甲种零件(x+12个。
(x+12×5
4+x=4254x+5
39+x=42
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- 寒假 六年级 教材 综述