初一秋季班 第12讲 一元一次方程的应用一基础班.docx
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初一秋季班第12讲一元一次方程的应用一基础班
第12讲一元一次方程的应用一
知识点1一元一次方程的实际问题-日历问题
1、列方程解应用题的步骤:
①审:
审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间关系
②设:
设未知数(一般求什么,就设什么为
)
③找:
找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列:
根据这个相等关系列出需要的代数式,进而列出方程
⑤解:
解所列出的方程,求出未知数的值
⑥答:
检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位名称)
2、日历问题要清楚未知数
与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的数量关系
【典例】
1.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个长方形圈出2×2个位置相邻的4个数,若圈出的4个数的和为52,则最大数与最小数的积为_____
【解析】解:
设最小的数为
,则另三个数分别是
,
,
依题意有
,
解得
所以最小数是9,最大数是x+8=17
∴最大数与最小数的积为9×17=153.
【方法总结】
1、明确各个数在日历中的位置关系,设较简单的数为未知数
2、依据未知数
与其左面的数、右面的数、上面的数、下面的数的关系,表示其他位置的数
【随堂练习】
1.(2018•武汉)将正整数1至2018按一定规律排列如下表:
平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是( )
A.2019B.2018C.2016D.2013
【解答】解:
设中间数为x,则另外两个数分别为x﹣1、x+1,
∴三个数之和为(x﹣1)+x+(x+1)=3x.
根据题意得:
3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013,
解得:
x=673,x=672
(舍去),x=672,x=671.
∵673=84×8+1,
∴2019不合题意,舍去;
∵672=84×8,
∴2016不合题意,舍去;
∵671=83×8+7,
∴三个数之和为2013.
故选:
D.
2.(2018春•浦东新区期末)在如图的2018年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( )
A.72B.69C.51D.27
【解答】解:
设三个数中间的一个数为x,则另外两个数分别为x﹣7、x+7,
根据题意得:
(x﹣7)+x+(x+7)=72或(x﹣7)+x+(x+7)=69或(x﹣7)+x+(x+7)=51或(x﹣7)+x+(x+7)=27,
解得:
x=24或x=23或x=17或x=9,
又∵x+7=31不合适,
∴这三个数的和不可能是72.
故选:
A.
3.(2017秋•市南区期末)如图,方格中的格子被填上了数,每一行、每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等,则x的值为( )
A.39B.13C.14D.9
【解答】解:
16+11+12﹣11﹣15=13,
16+11+12﹣16﹣13=10,
16+11+12﹣10﹣15=14.
根据题意得:
16+11+12=16+x+14,
解得:
x=9.
故选:
D.
知识点2一元一次方程的实际问题-年龄问题
在年龄问题中,两个人的年龄差始终不变
【典例】
1.已知:
派派的妈妈和派派今年共36岁,再过5年,派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁,当派派的妈妈40岁时,派派的年龄为______岁.
【解析】解:
设今年派派的年龄为
岁,则妈妈的年龄为
岁,
根据题意得:
(36﹣x)+5=4(x+5)+1,
解得:
x=4,
所以可得,派派今年4岁,妈妈今年32岁,妈妈与派派的年龄差是28岁
当妈妈40岁时,派派的年龄是40-28=12岁
故答案为:
12.
【方法总结】
1、在年龄问题中,两个人的年龄差始终不变
2、看清问题:
是问谁的年龄?
是现在的年龄还是几年前或几年后的年龄?
【随堂练习】
1.(2017秋•淮南期末)儿子今年12岁,父亲今年39岁,( )父亲的年龄是儿子的年龄的2倍.
A.5年后B.9年后C.12年后D.15年后
【解答】解:
设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍,
根据题意得:
39+x=2(12+x),
解得:
x=15.
答:
15年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍.
故选:
D.
2.(2016秋•宝丰县期末)小丽今年13岁,她爸爸的年龄比她年龄的3倍小2岁,她爸爸的年龄是( )
A.36B.37C.38D.40
【解答】解:
设她爸爸的年龄是x岁,根据题意得:
x=3×13﹣2=37(岁),
答:
她爸爸的年龄是37岁;
故选:
B.
知识点3一元一次方程的实际问题-行程问题
1、基本量、基本数量关系:
路程=速度×时间
2、相遇问题:
常用的相等关系为:
甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
3、追及问题:
寻找相等关系的方法有两种情况,
(1)同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程;
(2)同时不同地出发:
前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程
4、航行问题:
(1)顺水速度=静水速度+水流速度
(2)逆水速度=静水速度-水流速度
5、解题技巧:
要熟练画线形示意图来表示数量关系
【典例】
1.A、B两地相距3千米,甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地,两人同时出发,20分钟后相遇,再过10分钟,甲所余路程为乙所余路程的2倍,求两人的速度.
【解析】解:
设甲的速度是
千米/分钟,乙的速度是
千米/分钟,由题意得:
解得
,
所以加的速度是
千米/分钟
乙的速度=
.
答:
甲的速度是
千米/分钟,乙的速度是
千米/分钟.
【方法总结】
1、行程问题:
路程=速度×时间
2、相遇问题,要画线段图来表示和分析数量关系
该题的等量关系为:
甲剩余路程=乙剩余路程×2,先用总路程、相遇时间表示出俩人的速度,再将各自的速度带入所列的等量关系中。
遇到需要间接表示出来的量找准突破口是关键。
2.已知甲沿周长为300米的环形跑道上按逆时针方向跑步,速度为a米/秒,与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步,速度为3米/秒.设运动时间为t秒.
(1)若a=5,求甲、乙两人第1次相遇的时间;
(2)当t=50时,甲、乙两人第1次相遇,求a的值;
【解析】解:
(1)当a=5时,甲的速度为5米/秒,乙的速度为3米/秒,
,是甲追乙,追击路程是(300﹣100)米,速度差是(5﹣3)米/秒,所以
t=(300﹣100)÷(5﹣3)=100秒.
答:
甲、乙两人第1次相遇的时间是100秒。
(2)当t=50时,甲、乙两人第1次相遇,此时
米/秒,
米/秒
①当
,是甲追乙,追击路程是200米,速度差是(a﹣3)米/秒,可得:
50(a﹣3)=200,
解得a=7;
②当
,是乙追甲,追击路程是100米,速度差是(3﹣a)米/秒,可得:
50(3﹣a)=100,
解得a=1.
答:
甲、乙两人第1次相遇时,a的值是7或1;
【方法总结】
1、环形跑道问题,首先判断谁的速度快,速度快的追击速度慢的,由此确定路程差和速度差,即可由“相遇时间=路程差÷速度差”确定相遇时间。
2、还需注意在环形跑道上,经常出现多次相遇的问题
3.某学生乘船由甲地顺流而下到乙地,然后又逆流而上到丙地,共用3小时,若水流速度为2km/h,船在静水中的速度为8km/h.已知甲、丙两地间的距离为2km,求甲、乙两地间的距离是多少千米?
(注甲、乙、丙三地在同一条直线上)
【解析】解:
由题意知:
,
,所以
,
,同时对丙的位置需要分类讨论:
(1)丙在甲地和乙地之间,设甲、乙两地距离为
千米,
则
解得:
x=12.5.
(2)丙不在甲地和乙地之间,设甲乙两地距离为
千米,
则
解得:
x=10.
答:
甲乙两地间的距离为12.5km或10km.
【方法总结】
1、解题技巧:
要熟练画线形示意图来表示数量关系
2、解该题的关键是找准等量关系,即甲到乙顺流所用时间+乙到丙逆流所用时间=3
找到等量关系以后带入相关的公式
对于题中丙的位置不确定,解题时要分情况讨论乙、丙的位置与甲、乙位置的关系。
4.有两列火车,客车长200米,每秒行30米,货车长300米,每秒行20米。
(1)两车在平行轨道上齐头同向行进,多少秒后客车超过货车?
(2)如果两车相向而行,从相遇到错车而过,需要多少秒?
【解析】解:
(1)由题意得:
速度差=(30-20)米/秒,路程差=客车长=200米
设经过
秒后客车超过货车,列方程得:
(30-20)x=200
解得x=20
答:
两车在平行轨道上齐头同向行进,20秒后客车超过货车.
(2)由题意得:
速度和=(30+20)米/秒,路程和=客车长+货车长=(200+300)米
设从相遇到错车而过,需要
秒,列方程得:
(30+20)y=(200+300)
解得y=10
答:
如果两车相向而行,从相遇到错车而过,需要10秒.
【方法总结】
1、在解决火车过定点(或动点)、火车过桥、火车与火车相遇等问题时,需要画线形示意图来表示数量关系,正确找出“路程和(差)”和“速度和(差)”
2、火车过桥常用公式:
火车速度×时间=车长+桥长
(桥长+列车长)÷速度=过桥时间;
(桥长+列车长)÷过桥时间=速度
【随堂练习】
1.(2018•台州)甲、乙两运动员在长为100m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s,乙跑步的速度为4m/s,则起跑后100s内,两人相遇的次数为( )
A.5B.4C.3D.2
【解答】解:
设两人相遇的次数为x,依题意有
x=100,
解得x=4.5,
∵x为整数,
∴x取4.
故选:
B.
2.(2017秋•沾化区期末)一轮船往返A、B两港之间,逆水航行需要3小时,顺水航行需2小时,水速是3千米每小时,则轮船在静水中的速度是( )
A.18千米∕小时B.15千米∕小时C.12千米∕小时D.20千米∕小时
【解答】解:
设轮船在静水中的速度是x千米/小时,
根据题意得:
3(x﹣3)=2(x+3),
解得:
x=15.
答:
轮船在静水中的速度是15千米/小时.
故选:
B.
3.(2017秋•婺源县期末)两地相距600千米,甲乙两车分别从两地同时出发相向而行,甲车比车乙每小时多走10千米,4小时后两车相遇,则乙车的速度是( )
A.70千米/小时B.75千米/小时C.80千米/小时D.85千米/小时
【解答】解:
设乙车的速度为x千米/小时,则甲车的速度为(x+10)千米/小时,
根据题意得:
4(x+x+10)=600,
解得:
x=70.
故选:
A.
4.(2017秋•阳谷县期末)甲、乙两站相距240千米,从甲站开出一列慢车,速度为80千米/时,从乙站开出一列快车,速度为120千米/时,如果两车同时开出,同向而行(慢车在后),那么经过多长时间两车相距300千米?
( )
A.6B.
C.
D.
【解答】解:
设经过x小时两车相距300千米,
根据题意得:
240+(120﹣80)x=300,
解得:
x=
.
答:
经过
小时两车相距300千米.
故选:
C.
综合运用
1.小明在日历的某月上圈出五个数,呈十字框形,它们的和是55,则中间的数是?
【解析】解:
设中间的数是
,则其它四个数字分别是
,
,
,
.
根据题意得:
x﹣1+x+1+x+x﹣7+x+7=55,
解得:
x=11.
答:
则中间的数是11
【难度】易
【结束】
2.小明今年12岁,他爷爷60岁,经过多少年以后,爷爷的年龄是小明的4倍.
【解析】解:
设经过
年后,爷爷的年龄是小明的4倍.
根据题意得:
60+x=4(12+x).
解之得x=4.
答:
经过
年后,爷爷的年龄是小明的4倍
3.列方程解应用题
甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地,甲骑车乙步行,甲的速度是乙的速度的3倍,甲到达B地停留40分钟,然后从B地返回A地,在途中遇见乙,这时距他们出发的时间恰好3小时,求两人的速度各是多少?
【解析】解:
设乙的速度为x千米/小时,则甲的速度为3x千米/小时,依题意有
解得x=5,
3x=15
答:
甲的速度为15千米/小时,乙的速度为5千米/小时.
4.如图所示,两人沿着边长为90m的正方形,按A→B→C→D→A…的方向行走,甲从A点以65m/min的速度、乙从B点以75m/min的速度行走,当乙第一次追上甲时,将在正方形的那条边上?
【解析】解:
设乙x分钟后追上甲,
由题意得,75x﹣65x=270,
解得:
x=27,
则乙27分钟后追上甲,此时乙走了75×27=2025米
因为正方形周长为90×4=360m
所以2025÷360=5……225,
当乙从B点出发,走225米后在AD边上
即乙第一次追上甲是在AD边上.
5.一轮船航行于两个码头之间,逆水航行需10小时,顺水航行需6小时,已知该船在静水中每小时航行8千米,则两码头间的距离为多少千米.
【解析】解:
设静水的速度为x千米/时,则轮船的顺水速度为(x+8)千米/时,逆水航行速度为(x﹣8)千米/时,由题意,得
6(x+8)=10(x-8),
解得:
x=32,
(8+32)×6=240(千米).
答:
两码头之间的距离为240千米.
6.在一段铁路上,两列火车相向驶过,若A列火车全长180m,B列火车全长160m,两列火车的错车时间为1.7秒,已知A列车的速度比B火车每秒快5m,则A、B两车的速度分别是?
【解析】解:
设B车的速度是
m/s,则A车的速度是
m/s,依题意有
1.7(x+x+5)=180+160,
解得x=97.5,
x+5=102.5.
答:
A、B两车的速度分别是102.5m/秒、97.5m/秒.
7.一个自行车队进行训练,训练时所有队员都以相同的速度前进,突然,1号队员以每小时比其他队员快10千米的速度独自行进,行进了10千米后掉转车头,速度不变往回骑,直到与其他的队员会合.从1号队员离队开始到与其他队员重新会合,经过了15分钟.
(1)其他队员的行进速度是多少?
(2)1号队员从离队开始到与队员重新会合这个过程中,经过多长时间与其他队员相距1千米?
【解析】解:
(1)设其他队员的行进速度是
千米/小时,1号队员的速度是(
+10)千米/小时,依题意有:
解得
.
故其他队员的行进速度是35千米/小时.
(2)设经过y小时长时间与其他队员相距1千米,依题意有
①35y+1=(35+10)y,
解得:
;
②35y+(35+10)y=10×2﹣1,
解得:
.
答:
经过
小时或
小时长时间与其他队员相距1千米.
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