方程组的简单迭代法.docx
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方程组的简单迭代法
2013-2014
(1)专业课程实践论文
题目:
方程组的简单迭代法
1、算法理论
1.解线性方程组的两种方法:
直接法:
经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!
)
迭代法:
从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。
2.迭代法主要研究的问题:
1)迭代格式的构造;
2)迭代的收敛性分析;
3)收敛速度分析;
4)复杂性分析;(计算工作量)
5)初始值选择。
3.迭代法的原理:
将原线性方程组
中系数矩阵的主对角线移到一边并将其系数化为一,然后在给定迭代初值的情况下通过迭代的方法求解线性方程组的值。
4.迭代法的基本思想:
将线性方程组
(1)
(其中
为
阶非奇异矩阵,
为
维向量)
改写成等价形式
(2)
构造简单迭代格式:
,
(3)
亦即
,
(4)可算出线性方程组
(1)的近似解序列:
我们把用公式(3)进行迭代求解的方法称为简单法,并称式(3)
为简单迭代式,矩阵
称为迭代矩阵,
称为初始近似解,
称为
次近似解,
称为迭代次数。
二、算法框图
3、算法程序
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
#definekk50//定义最大方程元数
intn,i,c,j,hh,gg,mm;
doubleA[kk][kk],x[kk][kk],b[kk],y[kk],a[kk],z[kk],m,nn,d,e=1,w,fff;
intmain()
{
cout<<"输入的方程元数"< cin>>n; cout<<"请输入方程系数矩阵: "< for(i=0;i for(j=0;j cin>>A[i][j]; cout<<"请输入右边向量: "< for(i=0;i cin>>b[i]; cout<<"输入你想要的迭代精度(建议1e-5以上)! "< cin>>fff; cout<<"输入最大迭代次数(建议300次以上)! "< cin>>mm; //计算出迭代矩阵 for(i=0;i { b[i]=b[i]/A[i][i]; for(j=0;j { if(i==j) { x[i][i]=0; } else { x[i][j]=-A[i][j]/A[i][i]; } } } //输出迭代矩阵 cout<<"计算出迭代矩阵为: "< for(i=0;i { for(j=0;j cout< cout< cout< } //赋迭代初值 cout<<"输入迭代初值"< for(i=0;i cin>>y[i]; intf=1; //简单迭代法 cout<<""; for(i=1;i cout<<'\t'<<"X["< cout<<"精度"; cout< cout<<"迭代初值为: "; cout< : fixed); for(i=0;i cout< cout< while(e>fff) { for(i=0;i { z[i]=y[i]; nn=0; for(j=0;j { nn=nn+x[i][j]*y[j]; y[i]=nn+b[i]; } e=fabs(z[0]-y[0]); if(fabs(z[i]-y[i])>e) e=fabs(z[i]-y[i]); if(i==0) { cout< : fixed); cout<<"第"< } cout< : fixed); cout< } cout< cout< if(f>mm) { cout<<"迭代次数大于"< cout<<"认为方程发散,迭代不收敛"< exit (1); } } cout< cout< cout<<"方程迭代了"< cout<<"最后结果为: "< cout< for(i=0;i { cout<<"X"<<"["< cout< } exit (1); } 四、算法实现 例1.用简单迭代法解线性方程组 解: 先在输入方程元数内输入3 在输入方程系数矩阵内输入10-1-2;-110-2;-1-15 在输入右边向量内输入7.28.34.2 输入想要的迭代精度0.000000001 输入最大迭代次数25 输入迭代初始值000 运行结果如图4.1 图4.1 例2.用简单迭代法解方程组 解: 先在输入方程元数内输入2 在输入方程系数矩阵内输入31;12 在输入右边向量内输入21 输入想要的迭代精度0.0000001 输入最大迭代次数15 输入迭代初始值0.10.1 运行结果如图4.2 图4.2
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- 方程组 简单 迭代法