专题13+两招破解平面向量难题.docx
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专题13+两招破解平面向量难题.docx
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专题13+两招破解平面向量难题
一.【学习目标】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结
二.【平面向量解题方法规律】
1.用向量解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
【详解】依题
,由图易知向量
所成角为钝角,所以,所以
当
最小时,即为向量
在向量
方向上的投影最小,数形结合易知点P在点D时,
最小(如
图所示),
在三角形ADE中,由等面积可知
,所以
,
从
而
.
所
以
.故选D.
(二)向量中的最值问题
例2.设
是半径为2的圆上的两个动点,点为
中点,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】将
两个向量,都转化为
两个方向上,然后利用数量积的公式和三角函数的值域,求得
题目所求数量积的取值范围.
练习1.已知
意
2
【答案】
e,e
12
是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量b满足
的最小值为________.
,则对于任
【解析】
当且仅当x1,y1
时,
取得最小值2
此时,
取得最小值
2
练习2.在边长为1的
ABC中,=x,=y,x>0,y>0且x+y=1,则
的最大值为()
A.
【答案】C
【解析】
B.
C.
D.
,,由此能求出当
时,
的最大值为.
(三)投影问题
例3.已知||=1,||=2,∠AOB=60°,=+
,λ+2μ=2,则在上的投影()
A.既有最大值,又有最小值
C.有最小值,没有最大值【答案】B
B.有最大值,没有最小值
D.既无最大值,双无最小值
【解析】根据题意得:
在
上的投影为①
令
代入①得
得,代入得
当
当
时,原式
时,①式无最小值
有最大值,
故选:
.
练习1.已知||=1,||=2,∠AOB=60°,=+
,λ+2μ=2,则在上的投影()
A.既有最大值,又有最小值
C.有最小值,没有最大值
B.有最大值,没有最小值
D.既无最大值,双无最小值
【答案】B
【解析】运用向量投影的知识和减元可解决.
(四)向量的几何意义
例4.D是ABC所在平面内一点,内部(不含边界)的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
,则
D.既不充分也不必要
是点D在ABC
【答案】B
【解析】若
,点D
在
ABC
内部,则,反之不成立,例
如
1
2
时,点D为边BC的中点,
是点D在ABC内部,(不含边界)的必要
不充分条件,故选B.
练习2.如图,在
ABC
中,D
是线段
BC
上的一点,且
BC4BD
,过点D
的直线分别交直线AB,AC
于点M,N
,若
AMAB
,,则
3
的最小值是
.
【答案】
3
考点:
1、向量的概念及几何表示;2、向量数乘运算及几何意义;3、向量数量积的含义及几何意义.
方法点睛:
由向量减法法则可知,代入已知条件
BC4BD
得到
,再把已知条件
AM
A
,B
代入得到
,根据B,D,C
三点共线得
13
1
4u4
,利用均值不等式得到
u
3
4
,而
,从而求得
3
的最小值是3.
练习3.在四面体线,则
中,点,分别为,
的中点,若,且,,三点共
A.
B.【答案】B
【分析】由已知可得相等,得到结果.
C.
D.
,又,对应项系数
(七)坐标法解决向量问题
例7.如图,在矩形ABCD中,AB3,AD32,点E为BC的中点,如果DF2FC,那么AFBE的值是__________.
【答案】9
【解析】建立如图所示的直角坐标系,
则
∴
∴
AFBE9
.
练习2.如图,
O
为△ABC
的外心,
为钝角,M
是边
BC
的中点,
AMAO
的
值()
A.4B..6C.7D.5【答案】D
练习3.是平面上的一定点,
是平面上不共线的三点,动点满足
,
,则动点的轨迹一定经过
的()
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
【答案】B
【解析】解出,计算
并化简可得出结论.
【详解】
λ(),
∴
,
∴
,即点P在BC边的高上,即点P的轨迹经
ABC的垂心.故选:
B.
练习4.已知点O是锐
ABC的外心,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,A=则λ的值为()
,且
,
A.
B.﹣
C.
D.﹣
【答案】D
【解析】由题意画出图形,设
的外接圆半径为,根据三角形外心的性质可得:
,,
由向量的线性运算和向量数量积的运算,求出
和,在已知的等式两边同时与
进行数量积运
算,代入后由正弦定理化简,由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值.
即函数h(x)
则
在(e﹣1<x<e2﹣1)上为增函数,
,
即4e-2<a
.
∴实数a的取值范围是故选:
B.
.
练习2.将向量列
组成的系列称为向量列,并记向量列
的前项
和为
,如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量,那么
称这样的向量列为等和向量列。
已知向量列
为等和向量列,若,则与向量
一定是
32
x
垂直的向量坐标是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解,考查递推数列求每一下的方法,还考查了两个向量垂直的坐标表示.属于基础题.
练习3.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x,y)∈M,存在(x,y)∈M,使xx+yy=0
11221212
成立,则称集合M具有∟性,给出下列四个集合:
①M={(x,y)|y=x﹣2x+3};②M={(x,y)|y=log(2﹣x)};
2
③M={(x,y)|y=2﹣2};④M={(x,y)|y=1﹣sinx};
其中具有∟性的集合的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】条件等价于:
对于M中任意点P(x,y),在M中存在另一个点P′(x,y),使OP⊥OP′.作出
1122
函数图象,验证即可.
【详解】
∵||=||=1,且
,
∴可设,
,.
2
2
∴
.
∵
,
∴
∴
的最大值
,即(x﹣1)+(y﹣1)=1..
故选:
C.
练习1.
的斜边
等于4,点在以为圆心,1为半径的圆上,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】结合三角形及圆的特征可得,进而利用数量积运算可得最值,从而得解.
【点睛】本小题主要考查向量的线性运算,考查向量的数量积运算,以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.
练习2.已知在平面四边形动点,则
的最小值为
A.
B.
C.
中,,,
D.
,,点为边
上的
【答案】C
【解析】以为原点,以
所在的直线为轴,以
所在的直线为轴,求出,,的坐标,根据向量的
数量积和二次函数的性质即可求出.
【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用,考查了运算能力和数形结合的能力,向量的坐标表示,二
次函数最值的求法,向量数量积的坐标表示,建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键,也是常用手段,属于中档题.
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- 专题 13 破解 平面 向量 难题