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第一课时趣味数学
(1)
一、数字陷阱
有三个人同去餐厅吃饭,每人各出十元钱,餐厅找回五元钱,让服务员转交给这三个人。
服务员有点贪小便宜,他一想,三个人分五元钱,怎么也不能做到平均分,于是就自己拿出二元,剩下的三元钱正好退给每人一元。
每人事先出了10元钱,共计30元。
后又每人找回1元,相当于每人各出了9元钱,计27元,加上服务员拿走的2元,计29元。
思考:
那剩下的一元钱哪里去了?
二、生活中的数学
小卫到文具店买文具,他买了毛笔用去了所有钱的一半,买铅笔用去了剩下钱的一半,最后剩下8元钱,问小卫原有多少钱?
苹果做加法,把一个加数错写成12算出结果是48,问正确的结果是多少?
小明做减法,把减数30写成了20,这样算出的得数比正确的数多(),如果小明算出的结果是10,正确结果是()。
三、角谷游戏
1、数字黑洞——1
任取一个正整数,如果它是偶数,就除以2,如果它是奇数,就用它乘3再加1。
将所得到的结果不断地重复上述运算,最后的结果总是1。
如:
正整数7。
2、数字黑洞——123
任取一个正整数,将组成这个数的偶数的数字个数,奇数的数字个数和这个数的数字位数依次写下来,组成一个新的数,重复上述步骤,你会发现,最后的结果始终是123。
如:
正整数518054。
四、折纸中的学问
一张薄纸,不断对折,折30次后,纸叠得有多厚?
你能想到吗?
故事:
在印度有一个古老的传说:
舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨•班•达依尔。
国王问他想要什么,他对国王说:
“陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3小格给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。
请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒,都赏给您的仆人吧!
”国王觉得这要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒。
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现:
就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位宰相的要求。
那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢?
总数为:
1+2+4+8+…+263=264-1
第 第 第 第 第
一 二 三 四 ……64
格 格 格 格 格
=18446744073709551615(粒)
人们估计,全世界两千年也难以生产这么多麦子?
五、神奇的数字
有一根很长很长的绳子,恰好可以绕地球赤道一周,如果把绳子再接长15米后,绳子就会绕着地球一周悬在空中。
你能想像出:
在赤道的任何一个地方,一个身高2米39以下的人,都可以从绳子下面自由穿过。
设地球半径为R米,则绳子的原长为2πR,
当绳子长为2πR+15时,绳子所围半径为
(2πR+15)÷2π=R+2.39
绳子可围成一个与地球,
相距2.39米的大圆圈。
第二课时趣味数学
(2)
一、七桥问题
18世纪时,欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡,
那里有七座桥。
如图1所示:
河中的小岛A与河的
左岸B、右岸C各有两座桥相连结,河中两支流间
的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼
斯堡的居民中流传着一道难题:
一个人怎样才能一次
走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点?
大家都试图找出问题的答案,但是谁也解决不了这个
问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉(1707—1783)的关注。
他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形,于是,
七桥问题就变成一个一笔画问题:
怎样才能从A、B、
C、D中的某一点出发,一笔画出这个简单图形
(即笔不离开纸,而且a、b、c、d、e、f、g各条线
只画一次不准重复),并且最后返回起点?
欧拉经过研究得出的结论是:
图是不能一笔画出的图形。
这就是说,七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢?
如果我们从某点出发,一笔画出了某个图形,到某一点终止,那么除起点和终点外,画笔每经过一个点一次,总有画进该点的一条线和画出该点的一条线,因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次,那么就有2n条线与该点相连结。
因此,这个图形中除起点与终点外的各点,都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合,那么这个点也与偶数条线相连;如果起点和终点是不同的两个点,那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述,一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点,或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结,B、C、D各点各与3条线相连结,图中有4个与奇数条线相连的点,所以不论是否要求起点与终点重合,都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理 :
如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2,那么它可以一笔画出;否则它不可以一笔画出。
练习:
你能笔尖不离纸,一笔画出下面的每个图形吗?
试试看。
(不走重复线路)
图例1
图例2
图例3
图例4
二、四色问题
人人都熟悉地图,可是绘制一张普通的政区图,至少需要几种颜色,才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来,就未必是一个简单的问题了。
这个地图着色问题,是一个著名的数学难题。
大家不妨用一张中国政区图来试一试,无论从哪里开始着色,至少都要用上四种颜色,才能把所有省份都区别开来。
所以,很早的时候就有数学家猜想:
“任何地图的着色,只需四种颜色就足够了。
”这就是“四色问题”这个名称的由来。
四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是:
“任何一张地图只用四种颜色就能
使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示,
即“将平面任意地细分为不相重迭的区域,每一个区域总可
以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻
的两个区域得到相同的数字。
”(右图)
这里所指的相邻区域,是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点,就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。
当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题,可是莫根无法解答,求助于其它数学家,也没有得到答案。
于是从那时起,这个问题便成为数学界的一个“悬案”。
一直到二十年前的1976年9月,《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息:
美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根,利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的!
他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题,然后在电子计算机上计算了足足1200个小时,作了100亿判断,最后成功地证明了四色问题,轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事,当两位数学家将他们的研究成果发表的时候,当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳,以庆祝这一难题获得解决。
第三课时数学中的巧算
(1)
1.括号的使用
在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.
例1计算:
分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.
注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.
例2计算下式的值:
211×555+445×789+555×789+211×445.
分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.
解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1000000.
说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧.
例3计算:
S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.
分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法.
解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.
下面需对n的奇偶性进行讨论:
当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有
当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有
例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?
分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.
现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.
这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.
所以,所求最小非负数是1.
说明本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.
2.用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4
=1002-22.
这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b2,①
这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.
例5计算3001×2999的值.
解3001×2999=(3000+1)(3000-1)
=30002-12=8999999.
例6计算103×97×10009的值.
解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)
=(1002-9)(1002+9)
=1004-92=99999919.
例7计算:
分析与解直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:
12345,12346,12347.可设字母n=12346,那么12345=n-1,12347=n+1,于是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,
即原式分母的值是1,所以原式=24690.
例8计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).
分析式子中2,22,24,…每一个数都是前一个数的平方,若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……
=(232-1)(232+1)
=264-1.
例9计算:
分析在前面的例题中,应用过公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
这个公式也可以反着使用,即
a2-b2=(a+b)(a-b).
本题就是一个例子.
通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化.
第四课时数学中的巧算
(2)
3.观察算式找规律
例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.
87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.
分析与解若直接把20个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下,所以可取90为基准数,大于90的数取“正”,小于90的数取“负”,考察这20个数与90的差,这样会大大简化运算.所以总分为
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
+2+5+(-2)
=1800-1=1799,
平均分为90+(-1)÷20=89.95.
例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.
分析观察发现:
首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.
解用字母S表示所求算式,即
S=1+3+5+…+1997+1999.①
再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1.②
将①,②两式左右分别相加,得
2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)
=2000×500.
从而有S=500000.
说明一般地,一列数,如果从第二项开始,后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997,都等于2),那么,这列数的求和问题,都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.
例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值.
分析观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.
解设
S=1+5+52+…+599+5100,①
所以
5S=5+52+53+…+5100+5101.②
②—①得
4S=5101-1,
说明如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决.
例14计算:
分析一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式
来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.
解由于
所以
说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用.
1.计算下列各式的值:
(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999;
(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100;
(3)1991×1999-1990×2000;
(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636;
(6)1+4+7+…+244;
2.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.
81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.
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