新人教B版必修2高中数学课堂设计123空间中的垂直关系2平面与平面垂直学案.docx
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新人教B版必修2高中数学课堂设计123空间中的垂直关系2平面与平面垂直学案
1.2.3 空间中的垂直关系
(2)——平面与平面垂直
自主学习
学习目标
1.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理,判定两个平面互相垂直.
2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能利用该定理作平面的垂线.
3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.
自学导引
1.如果两个相交平面的交线与第三个平面______,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______,就称这两个平面互相垂直.
2.如果一个平面过另一个平面的__________,则两个平面互相垂直.
3.如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面.
对点讲练
知识点一 面面垂直的证明
例1
如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点.
求证:
平面EDB⊥平面ABCD.
点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键,另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°(如例1).
变式训练1
如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点.
求证:
平面BEF⊥平面BGD.
知识点二 面面垂直的性质定理的应用
例2
如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:
BG⊥平面PAD;
(2)求证:
AD⊥PB.
点评 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,再一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直;
(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
变式训练2 如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=120°,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=
a,E为PA的中点.求证:
平面EDB⊥平面ABCD.
知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3
如图所示,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.
(1)求证:
PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:
△ABC是直角三角形.
点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面,有时需考虑多种情况的综合.
在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.
变式训练3 在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中,AB=BC.能否在侧棱BB1上找到一点E,使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C?
若能找到,指出点E的位置;若不能找到,说明理由.
1.面面垂直的证法
(1)定义法;
(2)判定定理法.
2.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理.至此判定线面垂直的方法主要有以下五种:
(1)线面垂直的定义;
(2)线面垂直的判定定理;
(3)面面垂直的性质定理;
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面,
b⊥α.
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面,
a⊥β.
课时作业
一、选择题
1.平面α⊥平面β,直线a∥α,则( )
A.a⊥βB.a∥β
C.a与β相交D.以上都有可能
2.若平面α与平面β不垂直,那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A.0条B.1条C.2条D.无数条
3.已知m、n为不重合的直线,α、β、γ为不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥β
B.α⊥γ,β⊥γα∥β
C.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β
4.
如图所示,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中,互相垂直的有( )
A.3对B.4对C.5对D.6对
5.
如图所示,在立体图形D—ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6.已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;
②mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;
③若lβ,且l⊥α,则α⊥β;
④若mα,lβ,且α∥β,则l∥m.
其中正确的命题的序号是________.
7.空间四边形VABC的各边及对角线均为1,M是VB的中点,则平面ACM与平面VAB的位置关系是________.
8.
如图所示,已知,PA垂直于圆O所在平面.AB是圆O的直径,C是圆周上一点.则图中面面垂直的共有________对.
三、解答题
9.在三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:
BC⊥AB.
10.
如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【答案解析】
自学导引
1.垂直 垂直
2.一条垂线
3.交线
对点讲练
例1
证明 连接AC,设AC、BD交点为F,连接EF,
∴EF是△SAC的中位线,
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD,
∴EF⊥平面ABCD.
又EF平面EDB,
∴平面EDB⊥平面ABCD.
变式训练1 证明 ∵AB=BC,CD=AD,G是AC的中点,∴BG⊥AC,DG⊥AC,
∴AC⊥平面BGD.
又EF∥AC,∴EF⊥平面BGD.
∵EF平面BEF,∴平面BDG⊥平面BEF.
例2
证明
(1)连接PG,由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,
∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD.
(2)由
(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD.
所以AD⊥平面PBG,所以AD⊥PB.
变式训练2 证明 设AC∩BD=O,连接EO,
则EO∥PC.
∵PC=CD=a,PD=
a,
∴PC2+CD2=PD2,
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD,
CD为交线,
∴PC⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD.
又EO平面EDB,
∴平面EDB⊥平面ABCD.
例3
证明
(1)在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,
∴DF⊥平面PAC,PA平面PAC,∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G.
同理可证DG⊥AP.
DG、DF都在平面ABC内,且DG∩DF=D,
∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线,∴PC⊥AE.
∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.
又PC∩PA=P,∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
变式训练3 解
假设能够找到符合题意的点E.如图所示,作EM⊥A1C于点M.因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C,所以EM⊥侧面AA1C1C.取AC的中点N,连接MN,BN,因为AB=BC,
所以BN⊥AC.
又因为AA1⊥BN,
所以BN⊥侧面AA1C1C,所以BN∥EM.
因为平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,
BE∥平面AA1C1C,所以BE∥MN∥A1A.
因为AN=NC,所以A1M=MC.
因为四边形BEMN为矩形,所以BE=MN=
A1A.
所以当E为BB1的中点时,平面A1EC⊥侧面AA1C1C.
课时作业
1.D
2.A [若存在1条,则α⊥β,与已知矛盾.]
3.C
4.C [面PAB⊥面AC,面PAB⊥面PBC,
面PAD⊥面AC,面PAD⊥面PCD,面PAB⊥面PAD.]
5.C [∵AB=CB,且E是AC的中点,
∴BE⊥AC.同理有DE⊥AC.
∴AC⊥平面BDE.∵AC平面ABC,
∴平面ABC⊥平面BDE.
又AC平面ACD,∴平面ACD⊥平面BDE.]
6.①③ 7.垂直 8.3
9.
证明 在平面PAB内,
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB.
∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC,∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面PAB.
又AB平面PAB,∴BC⊥AB.
10.证明
(1)如图所示,取EC的中点F,
连接DF.
∵EC⊥BC,DF∥BC,
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,
∵EF=
EC=BD,FD=BC=AB,
∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故ED=DA.
(2)取CA的中点N,连接MN、BN,
则
EC.
∴MN∥BD,∴N点在平面BDM内.
∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.
又CA⊥BN,∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MBD内,∴平面MBD⊥平面ECA.
(3)∵BD
EC,MN
EC,
∴MNBD为平行四边形.
∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA,
∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA.
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