力学第二版课后答案高等教育出版社.docx
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力学第二版课后答案高等教育出版社
力学习题剖析
目录
第01章物理学、力学、数学01
第02章质点运动学05
第03章动量定理及其守恒定律15
第04章动能和势能28
第05章角动量及其规律38
第06章万有引力定律42
第07章刚体力学45
第08章弹性体的应力和应变56
第09章振动60
第10章波动68
第11章流体力学75
大学物理学院
1.求下列函数的导数
⑴y=3x2−4x+10
⑵y=1/
+7sinx+8cosx−100
⑴∫(x3−3x+1)dx
⑵∫(2x+x2)dx
1+x2
x
dx
xx
⑶∫(3+2ex−1)dx
⑷∫(sinx−cosx)dx
x
⑶y=(ax+b)/(a+bx)
⑷y=sin
⑸x2
∫2
1+x
⑹∫sin(ax+b)dx
⑸y=esinx
⑹y=e−x+100x
⑺∫e−2xdx
2
⑻dxax+b
∫
−x2
⑼∫sinxcosxdx
⑽∫xedx
x
解:
⑴y'=6x−4
(11)∫cos2xdx
(12)
∫lnxdx
⑵y'=−1/(2x
x)+7cosx−8sinx
解:
⑴
(x3−3x+1)dx=
x3dx−3
xdx+
dx=1x4−3x2+x+c
⑶y'=(a2−b2)/(a+bx)2
⑷y'=cos(1+x2)1/2·1(1+x2)−1/2·2x
∫∫∫
∫42
3
2
1+x2
1+x2
x
=xcos/
⑵∫(2x+x2)dx=
∫2xdx+∫
x2dx=
2xln2
+1x3+c
⑸y'=esinxcosx
⑶∫(3+2ex−
1)dx=3∫
dx+2∫
exdx−
∫x−3/2dx
x
xx
⑹y'=e−x(−1)+100=100−e−x
=3lnx+2ex+2+c
x
a∫
1+x2
1+x2
1+x2
⑷∫(sinx−cosx)dx=∫sin
xdx−∫cosxdx=−cosx−sinx+c
2.已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变,h=100-
⑸∫x2
dx=∫1+x2−1dx=∫dx−∫dx=x−arctgx+c
0.0001x2(1-0.005x2),度量x和h的单位为米。
问何处的高度将取极大值和极小值,在这些地方的高度为多少?
解:
先求出h(x)对x的一阶导数和二阶导数:
⑹∫sin(ax+b)dx=1sin(ax+b)d(ax+b)=−1cos(ax+b)+c
a
⑺∫e−2xdx=−1∫e−2xd(−2x)=−1e−2x+c
=
dxdx
22
3
2∫
dh=d(102−10−4x2+5×10−7x4)=2×10−6x3−2×10−4x
⑻
dx
=1
(ax+b)−1/2d(ax+b)=2
ax+b+c
∫ax+ba∫a
2
d2hdx2
d(2×10−6x3−2×10−4x)=6×10−6x2−2×10−4
⑼∫sin2xcosxdx=∫
sin2xd(sinx)=1sin3x+c
dx
令dh/dx=0,解得在x=0,10,-10处可能有极值。
∵d2h/dx2|
x=0
<0,∴x=0
⑽∫xe−x2dx=−1
e−x2d(−x2)=−1e−x2+c
是极大值点,h(0)=100;∵d2h/dx2|x=10>0,∴x=10是极小值点,
h(10)=99.0005米;显然,x=-10亦是极小值点,h(-10)=h(10).
(11)
∫cos2xdx=1∫(1+cos2x)dx=1x+1sin2x+c
224
∫x∫2
3.求下列不定积分
(12)
lnxdx=
lnxd(lnx)=1(lnx)2+c
x
π/2π
∫0
4.求下列定积分
21
1/2e
解:
sinxdx=−cosx|2=1
0
⑴(∫
1
2
x−1)dx
⑵∫(ex−1)4exdx
0
π/4
⑶∫
−1/2
∫+2
1
dx
1−x2
π/2
⑷∫1+lnxdx
x
1
0π/2
x
⑸∫(ex+1)dx
⑹∫cos2xdx
⑺1dx
1x
⑻∫(3x+sin2x)dx
∫sinxdx=−1
∫sinxdx=0
1π/600
2223
−π/2
−π/2
解:
⑴(∫x−1)dx=∫x1/2dx−∫dx=2x2|2−x|2=42−5
111
11
31133
6.计算由y=3x和y=x2所围成的平面图形的面积。
505
⑵∫(ex−1)4exdx=∫(ex−1)4d(ex−1)=1(ex−1)5|1=1(e−1)5
00
解:
如图所示,令3x=x2,得两y
3x
条曲线交点的x坐标:
x=0,3.面积
1/2
⑶∫dx
=arcsinx|
1/2=π=60°33
2
−1/2
1−x2
−1/23
A=∫3xdx−∫xdx
ee00
⑷∫1+lnxdx=∫(1+lnx)d(1+lnx)=1(1+lnx)2|e=1.5
=(3x2−1x3)|3=4.5
x21
11
2
230
⑸∫(ex+1)dx=(ex+lnx)|2=e2−e+ln22
x
1
π/4
1
π/4
7.求曲线y=x+2,y=2x,x=0和x=2诸线所包围的面积。
2
解:
面积A
⑹∫cos2xdx=1∫cos2xd(2x)=1sin2x|π/4=1−322
π/6
1
2
π/6
2π/624
=∫(x2
0
+2)dx−∫2xdx
0
⑺1dx=arctgx|1=π/4=45°
∫1+x20
=(1x3+2x−x2)|2
0
π/2
2
30
2
=
π/2π/28
2
⑻∫(3x+sin
0
x)dx=3∫
0
xdx+1
∫(1−cos2x)dx=3π
8
0
+1π3
4
x
π/2
5.计算∫sin
0
xdx、∫sinxdx以及
π/2
∫sinxdx,并在
8.一物体沿直线运动的速度为
v=v0+at,v0和a为常量,求物体在t1至t2时间内的
0−π/2
−π/2
位移。
v
f(x)=sinx的函数图形上用面积表示这些定积分。
t2
解:
位移S=∫(v0+at)dt
t1
t
t1t2
=(vt+1at2)|t2=v(t
−t)+1a(t
2−t2)
02t1
021221
1.2.3.4.5.6.7.略
8.二矢量如图所示A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积
������
AB
0.5×4.5=0.5。
cos(A,B)=A⋅B≈0.0308,夹角(A,B)≈88.24°
�����������
定义和正交分解法求A⋅B。
y
β
B
解:
直接用矢量标积定义:
11.已知A+B+C=0,求证A×B=B×C=C×A.
证明:
用已知等式分别叉乘
��A
���������
α
A⋅B=ABcos(90°−α+β)=−4A,B,C,有A×A+B×A+C×A=0
用正交分解法:
∵A=4cosα=3.60x
������
������
x
Ay=4sinα=1.7,Bx=5cos(90º+β)=-5sinβ=-3,By=5sin(90º+β)=5cosβ=4
A×B+B×B+C×B=0,
A×C+B×C+C×C=0.其中,
�����
���
������
∴A⋅B=AxBx+AyBy
=3.6×(−3)+1.7×4=−4
A×A,B×B,C×C均为零,∴A×B=B×C=C×A
ABAB
9.已知�=−iˆ+ˆj,�=iˆ−2ˆj+2kˆ,求�与�的夹角。
12.计算以P(3,0,8)、Q(5,10,7)、R(0,2,-1)为顶点的三角形的面积。
解:
据矢积定义,△PRQ的面积
����
����
yR(0,2,-1)
解:
由标积定义A⋅B=ABcos(A,B)∴cos(A,B)=
A⋅B
AB
A=1|PR×PQ|,PR=OR−OP=
Q(5,10,7)
,而
2
��
(−1)2+12
12+(−2)2+22
A==2,B=
��
=3,
��
A⋅B=−3
−3iˆ+2ˆj−9kˆ,
PQ=OQ−OP=ox
∴cos(A,B)=−3=−2,
两矢量夹角(A,B)=135°
322
2iˆ+10ˆj−kˆ.
zP(3,0,8)
��
10.已知+ˆ
ˆˆ��
ˆˆˆ��
iˆˆjkˆ
的夹角。
AB=3i+5j−k,A−B=4i−4j+k,求A与B
�
PR×PQ=
−32−9
210−1
=88iˆ−21ˆj−34kˆ
解:
将已知两式相加,可求得A=3.5iˆ+0.5ˆj;再将已知两式相
882+212+342
2
�
|PR×PQ|=
=96.6,∴∆PRQ面积A=96.6=48.3
3.52+0.52
减,可求得B=−0.5iˆ+4.5ˆj−kˆ.
∴A=
≈3.5,
(−0.5)2+4.52+(−1)2
B=≈4.64,
��
A⋅B=3.5×(−0.5)+
13.
化简下面诸式
����
����
����
�����
=
�����
解:
⑴(A+B−C)×C+(C+A+B)×A+(A−B+C)×B
A⋅(A×B+C×B)+B⋅(A×B+C×B)
������������
����
��������
=A⋅(A×B)+A⋅(C×B)+B⋅(A×B)+B⋅(C×B)
=A×C+B×C+C×A+B×A+A×B+C×B=0
��
=⋅(×
���
)+⋅(×
����
)+⋅(×)+
���
⋅(×)
BAA
���
ACBABB
���
CBB
⑵iˆ×(ˆj+kˆ)−ˆj×(iˆ+kˆ)+kˆ×(iˆ+ˆj+kˆ)
j
=kˆ−ˆj+kˆ−iˆ+ˆj−iˆ=2kˆ−2iˆ
=A⋅(C×B)=−A⋅(B×C)
�
A
dt
16.已知A=(1+2t2)iˆ+e−tˆj−kˆ,求d�
2�
.
dA
dt2
dA
i解:
�=d[(1+2t2)iˆ+e−tˆj−kˆ]=4tiˆ−e−tˆj
����
(2
����k
dtdt
⑶A+B)×(C−A)+(B+C)×(A+B)
2�=d(4tiˆ−e−tˆj)=4iˆ+e−tˆj
dA
������������
dt2dt
=2A×(C−A)+B×(C−A)+B×(A+B)+C×(A+B)
������������
=2A×C+B×C−B×A+B×A+C×A+C×B��
=��17.已知A=3e−tiˆ−(4t3−t)ˆj+tkˆ,B=4t2iˆ+3tˆj,
A×C
dt
��
14.计算下面诸式
求d(A⋅B)
j
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ解:
��
解:
⑴i⋅(j×k)+k⋅(i×j)+j⋅(k×i)
=iˆ⋅iˆ+kˆ⋅kˆ+ˆj⋅ˆj=3i
k
A⋅B=AxBx+AyBy+AzBz
=3e−t4t2−3t(4t3−t)
������
=12t2e−t−12t4+3t2
⑵A⋅(B×A)=B⋅(A×A)=0��
d(A⋅B)=d(12t2e−t−12t4+3t2)
�����
���
dtdt
15.求证:
(A+B)⋅[(A+C)×B)]=−A⋅(B×C)=12(2t−t2)e−t−48t3+6t
�����
证明:
(A+B)⋅[(A+C)×B)]
第二章基本知识小结
�dv
d2sv2
���
a=aτˆ+anˆ,a=a2+a2,a=τ=
a=
���dr
�dvd2r
τnτn
τdt
dt2nρ
⒈基本概念
r=r(t)v=
dt
��
a=dt=dt2
�
s(t)⇔vτ(t)⇔aτ(t)
rθ
r(t)⇔v(t)⇔a(t)
⒋极坐标系
�=rrˆ,�=vrˆ+vθˆ,v=
(向右箭头表示求导运算,向左箭头表示积分运算,积分运算需初
rvrθ
����
drdθ
始条件:
t=t0,r=r0,v=v0)
vr=dt,vθ=rdt
⒉直角坐标系
�=ˆˆˆr�
⒌相对运动对于两个相对平动的参考系
x2+y2+z2
rxi+yj+zk,r=
与x,y,z
���
0
r=r'+r,
t=t'
(时空变换)
轴夹角的余弦分别为x/r,
y/r,z/r.
���
v�=viˆ+vˆj+v
kˆ,v=v2+v2+v2,
v�与x,y,z轴夹
v=v'+v0
(速度变换)
xyz
xyz
���
角的余弦分别为vx/v,
vy/v,
vz/v.
a=a'+a0
(加速度变换)
x
a�=a
iˆ+ay
ˆj+az
kˆ,a=
a2+a
2+a2,
a�与x,y,z轴夹
若两个参考系相对做匀速直线运动,则为伽利略变换,在图示情况下,则有:
x
y
z
角的余弦分别为
ax/a,
ay/a,az/a.
yy'
V
x'=x−Vt,y'=y,z'=z,t'=t
v=dx,
v=dy,
v=dz
vx'=vx−V,vy'=vy,vz'=vz
xdt
dv
ydt
d2x
zdt
dvy
d2y
dvd2z
oxo'x'
ax'=ax,ay'=ay,az'=az
ax=x
dt
=,
dt2
ay=
=,
dtdt2
az=z
dt
=
dt2
zz'
r
τ
(x,y,z)⇔(vx,vy,vz)⇔(ax,ay,az)
⒊自然坐标系
r�=�(s);
v�=vτˆ,
v=ds,
τdt
v=|vτ|
2.1.1质点运动学方程为:
⑴
r�=(3+2t)iˆ+5ˆj
2.1.3质点运动学方程为r�=4t2iˆ+(2t+3)ˆj.⑴求质点轨迹;
⑵�ˆˆ
r=(2−3t)i+(4t−1)j,求质点轨迹并用图表示.
解:
⑴x=3+2t,y=5,轨迹方程为y=5的直线.
⑵求质点自t=0至t=1的位移.
解:
⑴x=4t2,y=2t+3,消去参数t得:
x=(y−3)2
∆���
ˆˆˆˆˆ
y
5/4
⑵x=2−3t,y=4t−1,消去参数t得轨迹方程4x+3y−5=0
5
⑵r=r
(1)−r(0)=4i+5j−3j=4i+2j
2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R1=4100m,θ1=33.7°
xx
0.75s后测得
R2=4240m,θ2=29.3°,R1,R2
2.1.2质点运动学方程为r�=e−2tiˆ+e2tˆj+2kˆ.⑴求质点轨迹;
⑵求自t=-1到t=1质点的位移。
R
θ
均在铅直面内,求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向(α角)
−2t2t
���
ΔRα
R2
θ2
解:
⑴由运动学方程可知:
x=e,y=e,z=2,xy=1,所
解:
v�≈v�=R2−R1=∆R,在图示的矢量
以,质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。
∆t∆t
���
三角形中,应用余弦定理,可求得:
12
⑵∆r=r
(1)−r(−1)=(e−2−e2)iˆ+(e2−e−2)ˆj
∆R=θ1
=−7.2537iˆ+7.2537ˆj。
所以,位移大小:
=41002+42402−2×4100×4200cos4.4°
(∆x)2+(∆y)2
r
|∆�|=
与x轴夹角
=
(−7.2537)2+7.25372
α=arccos∆x
=arccos(−
=7.25372,
2)=135°
=349.58m
v≈v=∆R/∆t=349.58/0.75≈465.8m/s
与y轴夹角
β=arccos
|∆r�|2
∆y=arccos
(2)=45°
据正弦定理:
∆R/sin(θ1−θ2)=R2/sin(180°−θ1−α)
r
|∆�|2
sin(180°−θ1−α)=R2sin(θ1−θ2)/∆R=4240sin4.4°/349.58
与z轴夹角
γ=arccos
∆z
r
|∆�|
=arccos0=90°
≈0.931,
180°−θ1−α≈111.41°,
∴α=34.89°
2.2.2一圆柱体沿抛物线轨道运动,抛物线轨道y为y=x2/200(长度:
毫米)。
第一次观察到圆柱体在x=249mm处,经过时间2ms后,圆柱体移到
t2=
2320×103
3.0×108
+2≈0.0136s340
x=234mm处。
求圆柱体瞬时速度的近似值。
x
2.2.5
火车进入弯道时减速,最初列车向正北以90km/h速率行驶,
��∆r�
解:
由于Δt很小,所以,v≈v=∆t,
0x1x2
3min后以70km/h速率向北偏西30°方向行驶,求列车的平均加速度。
v
北30°
2
其中,
�v�−v�
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