不等式知识点总结.docx
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不等式知识点总结.docx
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不等式知识点总结
一元一次不等式(组)
考点一、不等式的概念(3分)
1、不等式:
用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集:
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质(3~5分)
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
4、说明:
在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。
如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立;
考点三、一元一次不等式(6--8分)
1、一元一次不等式的概念:
一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母
(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组(8分)
1、一元一次不等式组的概念:
几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组
不等式:
①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
7、不等式的解集:
①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
8、常见题型
一、选择题
在平面直角坐标系中,若点P(m-3,m+1)在第二象限,则m的取值范围为()
A.-1<m<3B.m>3 C.m<-1D.m>-1答案:
A
已知关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根,则实数
的取值范围是()A.
B.
C.
D.
答案:
D
四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P、Q、R、S,如图3所示,则他们的体重大小关系是(D)
A、
B、
C、
D、
把不等式组
的解集表示在数轴上正确的是()
答案:
C
不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
若不等式组
有实数解,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
答案:
A
若
,则
的大小关系为()
A.
B.
C.
D.不能确定答案:
A
不等式—x—5≤0的解集在数轴上表示正确的是 ( )
答案:
B
不等式
<
的正整数解有()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个答案:
C
把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
不等式组
,的解集是()
A.
B.
C.
D.无解答案:
C
不等式组
的解集在数轴上可表示为()
ABCD
答案:
D
实数
在数轴上对应的点如图所示,则
,
,
的大小关系正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:
D
如图,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是( )
A.a>c>bB.b>a>c C.a>b>cD.c>a>b
答案:
C
不等式组
的解集在数轴上表示正确的是()
答案:
C
把不等式组
的解集表示在数轴上,正确的为图3中的()
A.B.C.D.
答案:
B
用
表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么
这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为()
答案:
A
不等式组
的解集在数轴上可表示为()
答案:
A
在数轴上表示不等式组
的解集,正确的是()
答案:
A
二、填空题
已知3x+4≤6+2(x-2),则
的最小值等于________.答案:
1
如图,已知函数
和
的图象交点为
,则不等式
的解集为.
答案:
不等式组
的解集为.答案:
不等式组
的整数解的个数为.答案:
4
6.已知关于
的不等式组
的整数解共有3个,则
的取值范围是.
答案:
9.不等式组
的解集是.答案:
10.直线
与直线
在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于
的不等式
的解集为.
答案:
<-1
13.已知不等式组
的解集为-1<x<2,则(m+n)2008=__________.答案:
1
三、简答题
解不等式组
解:
解不等式
(1),得
.解不等式
(2),得
.
原不等式组的解是
.
解不等式组
并写出该不等式组的最大整数解.
解:
解不等式x+1>0,得x>-1解不等式x≤
,得x≤2
∴不等式得解集为-1<x≤2∴该不等式组的最大整数解是2
若不等式组
的整数解是关于x的方程
的根,求a的值。
解:
解不等式得
,则整数解x=-2代入方程得a=4。
解方程
。
由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值。
在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边,若x对应点在1的右边,由图(17)可以看出x=2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3
参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程
的解为
(2)解不等式
≥9;
(3)若
≤a对任意的x都成立,求a的取值范围
解:
(1)1或
.
(2)
和
的距离为7,
因此,满足不等式的解对应的点3与
的两侧.
当
在3的右边时,如图
(2),易知
.
当
在
的左边时,如图
(2),
易知
.
原不等式的解为
或
(3)原问题转化为:
大于或等于
最大值.
当
时,
,
当
,
随
的增大而减小,
当
时,
,即
的最大值为7.
故
.
解不等式组
并把解集表示在下面的数轴上.
解:
的解集是:
的解集是:
所以原不等式的解集是:
………………………………………(3分)
解集表示如图…………………………………………………………………(5分)
解不等式组
解:
由不等式
(1)得:
<5
由不等式
(2)得:
≥3
所以:
5>x≥3
解不等式组:
并判断
是否满足该不等式组.
解:
原不等式组的解集是:
,
满足该不等式组.
解不等式组
,并把解集在数轴上表示出来.
解:
解不等式①,得x<2,…………………………………………………2分
解不等式②,得x≥-1.………………………………………………4分
所以,不等式组的解集是-1≤x<2.……………………………………5分
不等式组的解集在数轴上表示如下:
解不等式组
,并把解集在数轴上表示出来.
解:
解①得x>-2……4分
解②得x<3……5分
所以,这个不等式组的解集是-2 解集在数轴上表示正确.……7分 解不等式组: ,并将其解集在数轴上表示出来. 解: 由 得 , 不等式组的解集为-5<x≤2.解集在数轴上表示略. 解不等式 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 解: 去括号,得 .移项,得 .合并,得 . 系数化为1,得 .不等式的解集在数轴上表示: 解不等式组 ,并将解集在数轴上表示出来. [解]由①得 ,由②得 , 原不等式组的解集是 . 在数轴上表示为: 解不等式组 解: 由①,得 ; 由②,得 . 原不等式组的解集为 . 解不等式: 2(x+ )-1≤-x+9 解: 2x+1-1≤-x+9 2x+x≤9 3x≤9 x≤3 解不等式3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解. 解: 3x-2<7 3x<7+2 3x<9 x<3 解不等式组 解: 由 ,得 由 ,得 所以,不等式组的解集是 解不等式组 解: 由①式得: , 由②式得: , ∴原不等式组的解集为 . 解不等式组 ,并写出它的所有整数解. 解: 解不等式组 并求出所有整数解的和. 解: 解不等式①,得 , 解不等式②,得 . 原不等式组的解集是 . 则原不等式组的整数解是 . 所有整数解的和是: 解不等式组: 解: 由①得, 由②得, 不等式组的解集为 解不等式组 解: 解不等式 (1),得 解不等式 (2),得 ∴原不等式无解 解不等式组: ,并把它的解集在数轴上表示出来。 解: 解不等式 ,得 解不等式 ,得 所以,不等式组的解集为 在数轴上表示为:
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