勾股定理竞赛培训题含答案.docx
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勾股定理竞赛培训题含答案
勾股定理竞赛培训题
1、如图1,△ABC和ACDE都是等腰直角三角形,/C=90°,将JCDE绕点C逆时针旋转一个角度a(0°Va均0°),使点A,D,E在同一直线上,连接AD,BE.
(1[①依题意补全图2;
②求证:
AD=BE,且AD丄BE;
③作CM丄DE,垂足为M,请用等式表示岀线段CM,AE,BE之间的数量关系;
(2)如图3,正方形ABCD边长为,若点P满足PD=1,且/BPD=90°,请直接写岀
点A到BP的距离.
DCE旋转至点A,D,E在
,点A、D、E在同一直线上,
2、
(1)问题发现:
如图1,△ACB和ADCE均为等边三角形,当△
同一直线上,连接BE,易证△BCE幻△CD•则
①ZBEC=°;②线段AD、BE之间的数量关系是
(2)拓展研究:
如图2,△ACB和ADCE均为等腰三角形,且/ACB=ZDCE=90若AE=15,DE=7,求AB的长度.
(3)探究发现:
如图3,P为等边△ABC内一点,且/APC=150°,且ZAPD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,
求BD的长.
3、如图1,△ABC中,CD丄AB于D,且BD:
AD:
CD=2:
3:
4,
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)已知S/ABc=10cm2,如图2,动点M从点B岀发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运
动,同时动点N从点A岀发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运
动都停止•设点M运动的时间为t(秒),
1若△DMN的边与BC平行,求t的值;
2若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?
若能,求岀
t的值;若不能,请说明理由.
4、已知,△ABC中,AC=BC,/ACB=90°,D为AB的中点,若E在直线AC上任意一点,
DF丄DE,交直线BC于F点.G为EF的中点,延长CG交AB于点H.
(1)若E在边AC上.
1试说明DE=DF;
2试说明CG=GH;
(2)若AE=3,CH=5.求边AC的长.
20
5、如图①,在矩形
ABCD中,AB=5,AD=Z,AE丄BD,垂足是E点F是点E关于AB的
对称点,连结AF,BF.
⑴求AE和BE的长.
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)•当点F分别平移到线段AB,AD上时,直接写岀相应的m的值.
⑶如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角a(0°VaV180°,记旋转中的△ABF为M'BF',在旋转过程中,设A'F'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P,Q两点,使△DPQ为等腰三角形?
若存在,求岀此时DQ的长;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、【分析】
(1)①根据旋转的特性画岀图象;②由/ACD、ZBCE均与ZDCB互余可得岀/ACD=
/BCE,由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得岀AC=BC、DC=EC,结合全等三角形的判
定定理SAS即可得岀厶ADC幻启EC,从而得岀AD=BE,再由/BCE=ZADC=135°,/CED=45
即可得岀/AEB=90°,即证岀AD丄BE;③依照题意画岀图形,根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE,BE去表示CM;
(2)根据题意画岀图形,比照(1[③的结论,套入数据即可得岀结论.
【解答】解:
(1)①依照题意补全图2,如下图
(一)所示.
C
②证明:
J/ACD+ZDCB=ZACB=90°,zBCE+ZDCB=/DCE=90
•••ZACD=/BCE.TAXBC和ACDE都是等腰直角三角形,二AC=BC,DC=EC.
在MDC和Z\BEC中,有'■
•••△ADC幻zBEC(SAS),•••AD=BE,/BEC=/ADC.
•••点A,D,E在同一直线上,△CDE是等腰直角三角形,
•••/CDE=/CED=45°,/ADC=180°—/DE=135
•••/AEB=ZBEC—/CED=135°-45°=90°,-AD丄BE.
3依照题意画岀图形,如图
(二)所示.
..SZABC+SZEBC=S△CAE+S址AB,
国国国
即空AC?
BC+戈BE?
CM=2AE(CM+BE),二AC2—AE?
BE=CM(AE—BE).©DE为等腰直角三角形,•••DE=2CM,「.AE-BE=2CM
(2)依照题意画岀图形(三)
成^(=)C
其中AB=,DP=1,BD=AB=
结合(1[③的结论可知:
故点A到BP的距离为1.
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理,解题的关键:
(1[①结合题意画岀图形;②找岀△ADC幻ZBEC:
③利用分割法求
组合图形的面积;
(2)利用类比法借助
(1)③的算式求岀结论•本题属于中档题,(
AC
②难度不大;③难度不小,此处用到了分割组合图形求面积来找等式,该小问处切记线段
当成已知量;
(2)利用类比的方法套入
(1)③的算式即可•解决该题型题目寸,画岀图形,注意数形结合是关键.
VAACB和厶DCEiS为等隨直角三角冊,
ACA-CB^CD-CE^ZACB=ZDCE=9 ^^ACD=^BCE・ ftAACD和ZXECT中* fCA=CBwZACD~^BCEiCD-CE AAACDSiBCE ■■-ad=be=aede=sJ152,s2=iZADC=ZEEC・ -.-adce^j等般宜角三甬形・ AZCDE=ZCED=4^% V-D,E在同一盲娃上, : .ZADC-L;5S. AZBEC=135t・ ZAEB-ZBEC*ZCED-90=* ■-4鼻(屈$爲£■"1: ; (3)如下图所示 由 (2)知ABEC幻APC,.・・BE=AP=5,/BEC=ZAPC=150 •••ZAPD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,/APD=30°,左PC=60 •••ZBED=ZBEC-ZPEC=90°,zDPC=120 又t/DPE=ZDPC+/EPC=120°460°勻80°,即D、P、E在同一条直线上 •••DE=DP+PE=8+4=12,BE=5, BD=J亦+加=7122+53=13 3、【考点】三角形综合题. 【分析】 (1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,根据勾股定理求岀AC根据等腰三角形的判定定 理解答; (2)根据三角形的面积公式求岀三角形的三边长,根据等腰三角形的性质列式计算即可; (3)分DE=DM、ED=EM、MD=ME三种情况,根据等腰三角形的性质解答. 【解答】解: (1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x, •••AB=AC,a^ABC是等腰三角形; (2)Smbc=X5xX4x=10cm2,解得,x=1cm,则BD=2cm,AD=3cm,CD=4cm,AC=5cm 1当MN//BC时,AM=AN,即5—t=t,「.t=2.5,当DN//BC时,AD=AN, 则t=3,故若△DMN的边与BC平行时,t值为2.5或3. 2当点M在BD上,即卩0 当t=2时,点M运动到点D,不构成三角形, 当点M在DA上,即卩2Vt<5时,△MDE为等腰三角形,有3种可能. 如果DE=DM,贝Ut-2=2.5,「.t=4.5,如果ED=EM,则点M运动到点A, 49 •••t=5,如果MD=ME=t-2,则(t-2)2-(t-3.5)2=22,^t=, 49 综上所述,符合要求的t值为4.5或5或’ 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用,掌 握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键. 4、【考点】全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理. 【分析】 (1)①连接CD,推岀CD=AD,/CDF=ZADE,ZA=ZDCB,证Z\ADE^JCDF即可; ②连接DG,根据直角三角形斜边上中线求岀CG=EG=GF=DG,推岀/GCD=/GDC,推岀/ GDH=ZGHD,推岀DG=GH即可; (2)求岀EF=5,根据勾股定理求岀EC,即可得岀答案. 【解答】解: (1)①连接CD, ‘•CD丄AB, •••ZACB=90°,D为AB的中点,AC=BC,「.CD=AD=BD,又丁AC=BC •••ZEDA+ZEDC=90°,DCF=ZDAE=45°,-DF丄DE, •••ZEDF=ZEDC+ZCDF=90°,.MDE=/CDF,在△ADE和△CDF中 A1>CD .ZADE^ZCBF .•^ADE7DF, •••DE=DF ②连接DG,v/ACB=90°,G为EF的中点,•CG=EG=FG, vzEDF=90°,G为EF的中点,•DG=EG=FG,「.CG=DG, zHDG+ZGDC=90 •••/3CD=ZCDG又VCD丄AB,「./CDH=90°,•/HD+ZGCD=90 •••JGHD=ZHDG,.・・GH=GD,「.CG=GH (2)如图,当E在线段AC上时, ••CG=GH=EG=GF,「.CH=EF=5,v^ADE幻/CDF,「.AE=CF=3, •••在Rt△ECF中,由勾股定理得: •••AC=AE+EC=3+4=7;如图,当E在线段CA延长线时, AC=EC-AE=4-3=1,综合上述AC=7或1. 20 5、解: ⑴在Rt△KBD中,AB=5,AD=,由勾股定理,得BD=J-L'-止丄丄= 251.£AEAD25 =-.tS/abd=jBDAE==ABAD,「・AE=上―=-'=4. 在Rt△KBE中,AB=5,AE=4,由勾股定理,得BE=3. (第27题图解①) (2)设平移中的三角形为△A'B'F',如解图①所示•由对称点性质可知,/1=22. 由平移性质可知,ABIIA'B',2=25=21,B'F'=BF=3. ①当点F'落在AB上时,TABIA',.•.2=24,—Z3=21=22, ②当点F'落在AD上时,TAB//AB',.2=22. •.•2=22,25=21,./5=26.又易知A'B'JAD, ••ZB'F'D为等腰三角形,•B'D=B'F'=, 25161616 •••BB'=BD-BD=-—3=-: ,即m=-.m=3或二(对一个得2分) ⑶存在•理由如下: 在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形: ①如解图②所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,易知22=2ZQ. (第27题图解②) •.•/1=Z3+/Q,Z1=Z2,—Z3=ZQ: A'Q=A'B=5, •FQ=F'A'fVQ=4+5=9. (第27题图解③)/-DQ=BQ—BD=3 ②如解图③所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,易知/2=ZP. •.•/I=/2,.・./1=/P,.・.BA'卩D,则此时点A'落在BC边上. =/2,•/3=/1,ABQ=AQ,^F'Q=F'A'-A'Q=4—BQ. 在Rt壬QF'中,由勾股定理,得BF'2+F'Q2=BQ2, 2525125 即32+(4—BQ)2=BQ2,解得BQ=二.aDQ=BD—BQ=「—【=: 「 3如解图④所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,易知/3=/4. (第27题图解④)•••Q+/3+/4=180°,z3=Z4,二/4=90°上Z2. •••/=Z2,a/4=90°—2/1.."QB=Z4=90°—2/1, : -ZA'BQ=180°—zAQB—Z1=90°—2/1,.ZAQB=/A'BQ, 「•AQ=AQ=5,「・FQ=AQ—AQ'=5—4=1. 在Rt壬F'Q中,由勾股定理,得BQ==「亠一■', 4如解图⑤所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,易知/2=Z3. (第27题图解⑤)•••Z=Z2,Z3=Z4,Z2=Z3, 2510 •••Z1=Z4,「.BQ=BA'=5,「.DQ=BD—BQ=3-5=5 综上所述,存在4组符合条件的点P,Q,使△DPQ为等腰三角形,其中DQ的长度分别为3- 251252510 —§,玄,虫—质或E
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