高中数学新课标人教A版必修第一二册教材解读第五章三角函数 总体设计.docx
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高中数学新课标人教A版必修第一二册教材解读第五章三角函数总体设计
第五章 三角函数
总体设计
三角函数是一类最典型的周期函数.在高中数学课程中,《标准(2021年版)》把三角函数内容安排在必修课程“主题二函数”中,把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体.本章“三角函数”内容包括:
角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用.在本章,教科书遵循“注重教科书的整体结构”“体现内容之间的有机衔按”“凸显内容和数学学科核心素养的融合”等原则,帮助学生从整体上把握三角函数的概念、性质和应用,理解“三角函数”与“函数概念与性质”及“幂函数、指数函数、对数函数”等内容的联系,掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能,通过三角函数的概念、性质和应用等内容的学习,提升数学学科核心素养.
根据《标准(2021年版)》的规定,学生通过本章学习,能借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;能用几何直观和代数运算的方法得到三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值等性质,以及三角函数之间的一些恒等关系;能利用三角函数构建数学模型,解决实际问题,从而重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升.
一、本章学习目标
1.角与弧度
了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.三角函数概念和性质
(1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、奇偶性.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(π±α,
±α的正弦、余弦、正切).
(2)借助图象理解正弦函数在[0,2π]上、余弦函数在[-π,π]上、正切函数在
上的性质.
(3)结合具体实例,了解=Ain(ω+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
3.同角三角函数的基本关系式
理解同角三角函数的基本关系式:
in2+co2=1,
=tan.
4.三角恒等变换
(1)经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
(2)能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,不要求记忆这三组公式).
5.三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
二、本章知识结构框图
三、内容安排
1.现实世界中普遍存在着周而复始的现象,对这些现象中变量关系和规律的抽象,就形成本章的研究对象——三角函数,因此,本章学习可以有力地促进学生数学抽象素养的发展.
本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,以及前面建立的函数一般概念,幂函数、指数函数、对数函数的研究经验.单位圆是研究三角函数的重要工具,借助它的直观,可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质,从而发展学生的直观想象素养.三角恒等变换与学生熟悉的代数恒等变形有较大的不同,可用的公式多、变化灵活,可以有效促进学生的数学运算、逻辑推理等素养的发展.三角函数作为描述周期现象的重要数学模型,与其他学科(特别是物理、地理)有紧密联系,因此,本章的学习对发展学生的数学建模素养很有作用.
2.为了加强三角函数学习的目的性,本章采用月相变化图为章头图,在章引言中列举了一些现实世界中具有周期性变化的现象,然后明确“这些现象都可以用三角函数刻画”,这样的安排使得三角函數的作用体现得更加清楚,也能使学生更加明确学习三角函数的意义.
3.在本章开始,教科书首先从借助角的大小变化刻画圆周运动出发,结合体操中的转体、齿轮旋转等实际问题引出角的概念的推广问题:
然后借助具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出象限角概念.終边相同的角的表示(可以看成是象限角的性质).对于弧度制,教科书首先通过类比长度、质量等的不同度量制,引出弧度制,给出1弧度的定义:
然后探究得到弧度数的绝对值公式,并得出弧度与角度的换算方法.任意角和弧度制的引入,建立了角的集合与实数集的一一对应关系,为学习任意角的三角函数奠定了基础.
4.任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点,许多教师习惯于用角的终边上点的“坐标比”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有不利影响,“从角的集合到‘坐标比’的集合”的对应关系与学生熟悉的函数一般概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有所不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.第下,圆周运动是典型的周期性变化现象,而单位圆上点的圆周运动又不失一般性,这个过程可以理解为一个数学抽象过程:
第二,这个定义清楚地表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系:
第三,如果α是弧度数,即∠OP=αrad,那么正弦函数、余弦函数就是关于任意实数α的函数,这时的自变量和函数值都是实数,这就与函数的一般概念完全一致.事实上,在弧度制(这是一种用半径来度量角的方法)下,角度和长度的单位是统一的,正是这种单位的统一,使得我们可以这样来描述这两个函数的对应关系.
基于上述理由,利用单位圓定义三角函数可以更好地反映三角函数的本质,也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学(特别是应用数学)中的重要性,事实上,后续的内容,特别是在微积分中,最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数.另外,这样的定义使得三角丽数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这就为后线内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了.例如,从定义可以方便地推导同角三角函数的关系式、诱导公式、和(差)角公式,而且为公式的记忆提供了图形支持;单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载体,我们可以借助单位圆,直接从定义出发讨论三角函数的性质;等等.
当然,这个定义与人们熟悉的用角的终边上点的“坐标比”来定义是等价的,这正是教科书在52.1中安排例2的原因.
5.对称性是圆的重要性质.诱导公式与圆的对称性有密切联系.教科书借助单位圆,先引导学生讨论了π±α,-α,
±α这些角的终边与角α的终边之间的对称关系,然后根据三角函数定义导出所有诱导公式.这样,既能很好地反映诱导公式的本质(圆的对称性的代数表示),又使它们成了一个有机的整体.另外,为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯,在诱导公式中全部采用了弧度制.
6.正弦函數、余弦函数按照“从函数的定义到画函数图象,再到讨论函数性质,最后到函数模型应用”的顺序展开,这-顺序与研究其他函数的顺序一致另外,把周期性作为第一条性质,目的是体现它的重要性.对于正切函数,先利用诱导公式、单位圆讨论性质,然后再利用性质画图象,这样做的目的是使学生体会可以从不同角度讨论函数性质.
7.三角恒等变换过去是单独的一章内容,现在是整个三角函数体系中的一个重要环节,三角恒等变换中的和、差角公式体现了圆的旋转对称性.这一内容展开的顺序是,首先利用圆的旋转对称性质推导两角差的余弦公式,然后导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,进而导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
8.与以往比较,对函数=Ain(ω+φ)的研究有实质性变化,为了使学生了解参数A.ω,φ的实际意义,教科书先安排了实际问题情境,通过数学建模得到三角函数模型=Ain(ω+φ),然后再对它的图象与性质展开研究,由于涉及的参数有3个,因此本章引导学生结合参数的实际意义,先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再综合考虑三个参数的影响的方法安排内容、具体线索如下:
(1)探索φ对-in(+φ)的图象的影响:
(2)探索ω对=in(ωr+φ)的图象的影响;
(3)探索A对-Ain(ω+φ)的图象的影响:
(4)上述三个过程的合成
在对上述四个问题的具体讨论中,先引导学生对参数赋值,形成对图象变化的具体认识,然后再推广到一般情形.
这样安排既分散了难点,又使学生形成清晰的讨论线索,从中能使学生学习到如何将复杂问题分解为简单问题并“各个击破”,然后整合为解决整个问题的思想方法,这样能培养学生有条理地思考的习惯,从而提升学生的逻辑思维能力.
9.“三角函数的应用”主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法,安排本节内容的目的是要让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用,体验三角函数与日常生活和其他学科的联系,使学生体会三角函数的价值和作用,增强应用意识,同时还能使学生加深理解有关知识.
在这部分内容安排时,特别注意了数学应用过程的完整性,加强了对问题情境和解题思路的分析,以及解题后的反思这两个环节,这样做可以保持数学应用中的数学思维水平,提高学生对相应的思想方法的认知层次,培养学生良好的解题习惯.
四、课时安排
本章教学时间约需24课时,具体分配如下(仅供参考):
51 任意角和弧度制 约2课时
52 三角函数的概念 约3课时
53 诱导公式 约2课时
54 三角函数的图象与性质 约4课时
55 三角恒等变换 约6课时
56 函数=Ain(ω+φ) 约2课时
57 三角函数的应用 约2课时
小结 约3课时
五、本章编写思考
1.注重三角函数内容的整体性,体现内容之间的有机衔接
在《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准(2021年版)》)中,三角函数与函数的一般概念及其他基本初等函数被分隔开,分别安排在必修四和必修一中,而且三角函数内容也被分成了两部分:
三角函数,三角恒等变换.《标准(2021年版)》加强了函数内容和三角函数内容的整体性:
在“内容要求”中把“三角函数”纳入“主题二函数”中,把“三角恒等变换”纳入“三角函数”中;在“主题二函数”的“教学提示”中明确提出“教师应把本主题的内容视为一个整体”;在“教材编写建议”中明确提出“教材编写必须遵从课程标准设定的课程结构”.
为了体现整体性思想,教科书按照《标准(2021年版)》的上述要求安排内容,并注重体现内容之间的有机衔接、教科书按照“事实(周期性现象)—角与弧度—数学对象(三角函数的定义)—图象与性质(周期性、单调性、奇偶性、最大值与最小值等)—三角恒等变换—联系—应用”的结构来展开.其中,“角与弧度”是刻画圆周运动的预备知识,而“三角恒等变换”是三角函数的特殊研究内容,与原教科书相比,这样的设计使三角函数内容的整体性更强.
《标准(2021年版)》对教科书的章节设计提出了“三个关注”的要求,即关注同一主线内容的逻辑关系,关注不同主线内容之间的逻辑关系,关注不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想.本章在修订过程中特别注意改进原教科书在内容衔接上的缺陷,努力落实“三个关注”例如,注意以函数的一般概念为指导,借鉴指数函数、对数函数的研究经验,设计三角函数的研究路径,引导学生自主构建三角函数的研究内容、过程和方法;注意引导学生关注三角函数的特殊性,充分利用周期性简化研究过程,并在正切函数中有意设计“先研究性质,再画图象”的过程,使学生体验研究函数图象与性质的方法的多样性;特别是强调单位圆的作用,引导学生利用圆的几何性质(特别是对称性)发现和研究三角函数的性质;等等.
2.充分体现三角函数作为刻画一类现实世界周期变化现象的数学模型的思想,提升学生的数学建模素养
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养,本章是培养学生数学建模素养的很好的载体,在教科书编写时我们充分注意到了这一点.
教科书在章引言中列举了大量现实世界中的周期变化现象,这些周期现象有着不同的变化规律,需要用不同的函数来刻画,而三角函数是刻画其中一类具有周期变化规律的重要数学模型.这样可以使学生在三角函数的学习之初就明确三角函数的地位和作用.
在研究三角函数的图象、性质时,尽量结合物理中的简谐运动等典型实例,为了加强数学模型思想,教科书专门设置了“三角函数的应用”一节,通过典型实例,引导学生经历分析实际问题、建立三角函数模型、用三角函数模型解决问题的基本过程,以使学生更好地体会三角函数在解决周期变化现象时的作用,例如57节的例2,由给出的潮起潮落的变化数据画散点图、选择函数模型、建立函数模型并用得到的函数模型解决有关问题,这是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的过程.通过这样的例子,可以使学生经历用三角函数刻画一些典型的周期现象的过程.
3.注重发挥单位圆的作用,提升学生的直观想象素养
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的素养,建立形与数的联系是其包括的主要方面.在本章,从三角函数的定义方法可以看出,三角函数与圆有着直接的联系.事实上,任意角、任意角的三角函数、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象、三角函数的性质(周期性,单调性、最大值、最小值等)等,都可以借助单位圆得到认识,这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因.因此,在三角函数的研究中,借助单位圆的几何直观是非常重要的手段.而且这也是使学生领会数形结合思想,学会数形结合地思考和解决问题的好机会.
为了发挥单位圆的作用,教科书在引进弧度制时就渗透了单位圆的概念,并在讲三角函数概念之前给出单位圆的概念,然后直接由单位圆引出三角函数定义.在后续内容的处理中,始终以单位圆作为一个载体.
例如三角函数诱导公式的推导,教科书引导学生利用单位圆的对称性,通过讨论单位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式,使得诱导公式二~公式六都与单位圆上的对称图形(即角的终边的对称性)联系在一起,从而使这五组公式形成一个有机整体.
又如两角差的余弦公式的推导,教科书利用单位圈的旋转对称性(任意一个圆绕着圆心旋转任意角后都与原来的圆重合的性质)进行推导.首先,以单位圆的圆心为顶点、轴的非负半轴为始边画出角α,β,α-β;然后根据三角函数的定义写出角α,β,α-β的始边和终边与单位圆的交点A,P1,A1,P的坐标;接下来,利用圆的旋转对称性,得到等量关系AP=A1P1;最后,根据两点间的距离公式得到两角差的余弦公式.这样,以单位圆的几何直观为纽带,将三角恒等变換与整个三角函数内容融为一体.
4.突出数学思想方法,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导
类比、联系、特殊化、推广、化归等是数学研究中的常用方法,本章努力引导学生学习这些方法.例如,通过类比长度、质量的不同度量单位引入弧度制;联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路:
在两角差的余弦公式这一.关键性问题的解决中体现了数形结合思想的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中,始終引导学生体会化归思想:
在应用公式进行恒等变换的过程中,浚透观察、类比、推广、特殊化、化归等思考方法:
研究丽數-Ain(ω+φ)的图象,按照=in→=in(+φ)→=in(ω+φ)→=Ain(ω+φ)的线索展开,体现了从简单到复杂、由特殊到一般的思考方法.
5.通过问题引导学生主动思维,使学生得到思维训练
为了使学生得到思维方法上的训练,教科书根据知识的发生发展过程,利用“观察”“思考”“探究”等栏目自然地提出问题,引导学生层层深入地进行思考.
例如,在众多三角公式的学习中,教科书紧紧围绕三角函数的定义,借助单位圆,以栏目为载体,构建了这样一条问题链:
(1)根据定义,直接得出“公式一”.
(2)以“探究公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等,那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢”引导学生探究同角三角函数的基本关系.
(3)以“利用圈的几何性质,得到了同角三角函数之间的基本关系我们知道,圆的最重要的性质是对称性,而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质,由此想到,可以利用圆的对称性,研究三角函数的对称性”为引导,设置连续的探究栏目,让学生探究角的终边与单位圆的交点关于原点对称、关于工轴(或轴)对称、关于直线=对称等条件下,相应的三角函数值之间的关系.
(4)以“观察诱导公式,可以发现它们都是特殊角与任意角α的和(或差)的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系,如果把特殊角换为任意角β,那么任意角α与β的和(或差)的三角函数与α,β的三角函数会有什么关系见”为引导,并具体化为“探究如果已知任意角α,β的正弦、余弦,能由此推出α+β,α-β的正弦、余弦吗”,让学生自主探索两角和与差的三角函数.
整体上看,上述栏目设计体现了“问题引导学习”的理念,从诱导公式的来龙去脉中,通过推广、特殊化等方式环环相扣地给出了一条观察事物(情境)、提出问题、分析问题、解决问题的线索,把学生的思维活动逐步引向深入,帮助学生在获得“四基”的过程中,逐步提高“四能”,发展数学实践能力及创新意识,培育科学精神,促进学生学会学习.我们认为,这样的设计是落实发展学生数学学科核心素养这一理念的有力举措.
六、本章教学建议
1.把握本章内容的主要变化
与按照《标准(2021年版)》編写的教科书相比,本章内容主要有如下一些变化:
(1)弧度制:
强调引入弧度制的必要性,加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性.
(2)三角函数的定义:
直接从建立周期现象的数学模型出发,利用单位圆上点的坐标定义三角函数,然后再建立与锐角三角函数的联系.
(3)正弦线、余弦线和正切线:
根据《标准(2021年版)》的要求,删除正弦线、余弦线和正切线.
(4)诱导公式:
从单位圆关于原点、坐标轴、直线=等的对称性出发探究诱导公式,即通过把圆的对称性“代数化”,获得诱导公式.
(5)正弦函数的图象:
体现函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系——图象是函数的一种表示法,先根据定义西出任意一点.掌握了任意一点的作法原理后,通过选择具体的、足够多的点进行描点,最后借助信息技术描任意多的点,连续成线面三角函数的图象,这里加强了信息技术的应用.
(6)三角恒等变换:
一以贯之地强调单位國的作用,两角羞的余弦公式利用圆的旋转对称性导出.(7)函数=Ain(w+):
为体现数学建模的过程,在本节的开始先借助简车运动的实际背景探究匀速圆周运动的函数模型,体现函数=Ain(w+)的现实背景;然后借助信息技术研究参数A,w,φ对函数=Ain(w+φ)图象的影响;最后以摩天轮为实际背景,应用这个模型解决典型的周期性变化的实际问题.(8)三角函数的应用:
体现三角函数应用的层次性,有关三角函数应用的问题大致分成三类:
第一类是匀速圆周运动的问题,如简车匀速圆周运动的问题;第二类是弹簧振子、交变电流等物理学中的周期性现象的刻画;第三类是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的问题,如温度随时间呈周期性变化的问题、港口海水深度随时间呈周期性变化的问题.
与原教科书一样,本章仍然强调三角函数作为刻画现实世界中一类周期变化现象的数学模型,借助单位圆理解三角函数的概念、性质,以及通过建立三角函数模型解决实际问题等,强调“削枝强干”.因此,教学中应把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题的作用上.
2.加强单元教学设计,注重局部范围内知识的系统化
单元教学设计是以教科书为基础,用系统论的方法对教科书中“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元,在教学整体观的指导下将教学诸要素有序规划,以优化教学效果的教学设计.单元教学设计具有使局部范围内的知识系统化的优点,因此有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构.本章共24个课时,包含任意角、弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换、三角函数应用等诸多内容,是一个“大章”对于大章来说,如何处理好整体和局部的关系是教学中的一个难点鉴于本章内容的特点,在教学中应认真分析各个部分内容的特点,考虑单元教学设计,并通过单元教学设计促进学生形成良好的整体认知结构.
例如,“52三角函数的概念”一节,包含的内容有:
三角函数的概念,三角函数的基本性质.其中后者又包括三角函数值的符号、公式一、同角三角函数的基本关系.这些内容在教科书中的呈现顺序是:
三角函数的概念—例1、例2和练习—三角函数值的符号、例3、公式一、例4、例5和练习—同角三角函数的基本关系、例6、例7和练习(三角函数的基本性质分散呈现).把这些内容作为一个单元,可以得到如下框图.
根据上面的框图,可以对单元内容进行划分,同时给出课时:
第一部分,三角函数的概念(1课时);
第二部分,三角函数的基本性质(1课时);
第三部分,概念和性质的简单应用(1课时).
接下来,可以进行单元教学设计的细化工作,完成单元分析工作(“内容和内容解析”“目标和目标解析”“教学问题诊断分析”“教学支持条件分析”)和单元重组、整合工作(“教学过程设计”),最终形成完整的教学设计.
又如,“541正弦函数、余弦函数的图象”“5.42正弦函数、余弦函数的性质”两小节包含的内容有:
正弦函数、余弦函数图象的画法,正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值.这些内容在教科书中的呈现顺序是:
正弦函数的图象-余弦函数的图象、例1和练习一周期性、例2、奇偶性和练习(周期性、奇偶性与其他性质分散呈现)一单调性、最大值与最小值、例3、例4和练习.把这两小节内容作为一个单元,可以得到如下框图.
同样地,根据框图可以对单元内容进行划分,同时给出课时:
第1课时,形成研究思路,并画出正弦函数、余弦函数的图象(1课时);
第2课时,研究正弦函数、余弦函数的性质(1课时);
第3课时,正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用(1课时).
与前面的案例类似,在此基础上可以形成完整的单元教学设计.
3.加强与其他学科的联系,借助信息技术形象化地说明周期变化
由于周期现象在现实中广泛存在,例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等,因此它是物理、地理、生物、天文等其他学科研究的对象,这样,本章内容与其他学科有紧密联系.因此教学中应充分利用学生的生活经验和其他学科的知识,使三角函数的学习建立在丰富的背景上,从学生的实际来看,由于缺乏某些学科知识,因此在教学中要注意借助信息技术形象化地说明周期变化.例如,在“三角函数的应用”问题1的教学中,弹簀振子的变化规律可以利用信息技术制成动画进行如下描述:
如图5-1,把一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑的水平杆上,能够自由滑动,两者之间的摩擦可以忽略,弹簧的质量与小球相比也可以忽略.把小球拉离平衡位置(小球静止时的位置),然后放开,它就会在平衡位置附近振动.这样的系统称为弹簧振子(简称振子).
如图5-2所示的是弹簧振子的频闪照片.频闪仪每隔005闪光一次,底片从右向左匀速运动,因此在底片上留下了小球一系列的像.建立坐标系并把这些像用一条光滑的曲线连接起来,可以得到小球的位移随时间变化的函数图象,这个图象可以用=Ain(ω+φ)(其中A>0,ω>0)表示.
这样,根据教科书中的表和散点图得到的函数解析式建立在形象化背景的基础上,有助于提升学生的数学建模素养.
4.强调数学思想方法,提升学生的数学核心素养
《标准(2021年版)》指出:
数学学科核心素养是“四基”的继承和发展,“四基”是发展学生数学学科核心素养的有效载体.数学思想方法包含“基本思想”和“基本技能”中蕴含的思想方法,因此,数学思想
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