反比例函数题型的综合提优题.docx
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反比例函数题型的综合提优题
第三讲反比例函数典型题、常考题复习2
学习目标:
能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题,能够用反比例函数来解决实际问题
重点难点:
综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题,分析此类问题的切入点,积累解题经验
合作探究:
典型例题讲解
一、反比例函数的实际应用问题
例1(2010四川达州)近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其
主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:
从零时起,井内空气中CO的浓度达到
mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如图11,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前.后.空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时,井下3km的矿工接到自动报警信号,时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井
【答案】•解:
(1)因为爆炸前浓度呈直线型增加,
所以可设y与x的函数关系式为y«xb
由图象知ykixb过点(0,4)与(7,46)
b4k,6
•••.解得,
7Kb46b4
•y6x4,此时自变量X的取值范围是0wx<7.
(不取x=0不扣分,x=7可放在第二段函数中)
因为爆炸后浓度成反比例下降,
k2
所以可设y与x的函数关系式为y2.
x
由图象知yk2过点(7,46),
x
•k246.•••k2322,
7
322
•y,此时自变量x的取值范围是x>7.
x
(2)当y=34时,由y6x4得,6X+4=34,X=5.
•撤离的最长时间为7-5=2(小时).
•撤离的最小速度为3+2=1.5(km/h).
322
(3)当y=4时,由y得,X=80.5,80.5-7=73.5(小时).
x
•••矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.
例2、(反比例函数新颖题)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机,该饮水机的
工作程序是:
放满水后,接通电源,则自动开始加热,每分钟水温上升10oC,待加热到100oC,饮水机自动停止加热,水温开始下降,水温y(0C)和通电时间x(min)成反比例关系,
直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程•设某天水温和室温为20oC,接
通电源后,水温和时间的关系如下图所示,回答下列问题:
(1)分别求出当0wxw8和8 (2)求出图中a的值; (3)下表是该小学的作息时间,若同学们希望在上午第一节下课8: 20时能喝到不超过 40oC的开水,已知第一节下课前无人接水,请直接写出生活委员应该在什么时间 或时间段接通饮水机电源.(不可以用上课时间接通饮水机电源) 、反比例函数与翻折结合问题 k 例1.如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y=-(x>0)的图象经过点B.x (1)求k的值; (2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC'、NA'BC.设线段k MC'、NA、分别与函数y=(x>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式. x OAAf A, 的制浄匕 =-11/Ij■ (1)求证: △AOE与ABOF的面积相等 EF对折后,C点恰好落在OB上 点M、N的坐标;若不存在,请说明理由 (2)求反比例函数的解析式; 在N的左侧),使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求出 例2•如图1,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点C的坐标为(4,3),反比 k (3)如图2,P点坐标为(2,-3),在反比例函数y=—的图象上是否存在点M、N(Mx k 例函数y=k(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,将△CEF沿 x *it力雕g尿7・N^BC曲疋方陋酣拆所符 Mi(1>足血栈耳4妁if办辩 HOC・2・ 点h坐标- 肖尸=3时.x=1,剋F(L4j. b A V ~■■ L F X *p ■ 1 團】 團2 三、反比例函数中的探究性问题 (2010 山东省德州)•探究 (1)在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E, F. ①若 A(-1, 0),B(3,0),贝UE点坐标为 ②若 C(-2, 2),D(-2,-1),则F点坐标为 ⑵在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a, x C J b),B(c,dD 第1题图 1 求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的 代数式表示),并给出求解过程. •归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置, 当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x, y) 时, x= .(不必证明) O 第1题图2 •运用在图2中,一次函数yx2与反比例函数y3的图象交点为A,B. x 1求出交点A,B的坐标; 2若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形, 请利用上面的结论求出顶点P的坐标. 1 【答案】解: 探究⑴①(1,0): ②(-2,); 2 (2)过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为 A,D,B,则AA//BB//CC *y •••D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得 O 即D点的横坐标是同理可得D点的纵坐标是 •••AB中点D的坐标为(? C)• 22 归纳: yx2 运用①由题意得3 y- x x3,x1, 解得或 y1.y3. •••即交点的坐标为A(-1,-3),B(3,1) ②以AB为对角线时,由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1). •••平行四边形对角线互相平分, •••OM=0P,即卩M为0P的中点. •••P点坐标为(2,-2). 同理可得分别以0A,0B为对角线时, 点P坐标分别为(4,4),(-4,-4). •满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2),(4,4),(-4,-4). 例2 (1)探究新知: 如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关 系,并说明理由. (2)结论应用: k 1如图2,点M,N在反比例函数y=k(k>0)的图象上,过点M作ME丄y轴,过点N x 作NF丄x轴,垂足分别为E,F,试证明: MN//EF; 2若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如图3所示,请判断MN与EF是否平 【答案】 (1)证明: 分别过点C,D,作CG丄AB,DH丄AB,垂足为G,H,则/CGA=ZDHB=90°. •••CG//DH. •/△KBC与AABD的面积相等,•CG=DH. •四边形CGHD为平行四边形. •AB//CD. (2)①证明: 连结MF,NE. 设点M的坐标为(xi,yi),点N的坐标为(X2,y2). k •••点M,N在反比例函数y(k>0)的图象上, x •为%k,X2『2k. •/ME丄y轴,NF丄x轴, •OE=yi,OF=X2. .11 --S^efm=Xiyik, 22 S/EFN= 1i. x2y2k. 22 /.S^efm =S^efn. 由(i) 中的结论可知: MN//EF. ②MN//EF. 课堂练习 达标训练 k I、若一次函数y=2x—i和反比例函数y=的图象都经过点(i,i). 2x (1)求反比例函数的解析式; (2)已知点A在第三象限,且同时在两个函数的图象上,求点A的坐标; (3)利用 (2)的结果,若点B的坐标为(2,0),且以点A、0、B、P为顶点的四边形 是平行四边形,请你直接写出点P的坐标. 2、已知: 如图,正比例函数 k y=ax的图象与反比例函数y=—的图象交于点A(3,2) x (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式; (2)根据图象信息回答问题: 在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于该正比 例函数的值? 3过点M作直线MN//x轴,交y轴于点B;过点A作直线AC//y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时,求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长. 能力提升 1、(育才二模)⑴“三等分角”是数学史上一个著名问题,但数学家已经证明,仅用尺规 不可能“三等分任意角”•但对于特定度数的已知角,如90。 角、45°角等,是可以用尺规 进行三等分的•如图a,ZAOB=90。 ,我们在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向/ AOB内部作等边△OCD,作射线OD,再用尺规作出/DOB的角平分线OE,则射线OD、 OE将ZAOB三等分•仔细体会一下其中的道理,然后用尺规把图b中的ZMON三等分(已 知/MON=45°).(不需写作法,但需保留作图痕迹,允许适当添加文字的说明) 图a c): 将给定的锐角 ⑵数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法(如图 1 ZAOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数y—的图象交于点P,以Px 为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直 1 线相交于点M,连接OM得到/MOB,则/MOB=-ZAOB.要明白帕普斯的方法,请研 3 究以下问题: ①设P(a,丄)、R(b,-),求直线OM对应的函数关系式(用含a、b的代数式表示)ab ②分别过点P和 OM上,并据此证明/ 图c 2.(2011江苏镇江常州)在平面直角坐标系XOY中,直线li过点A(1,0)且与y轴平 行,直线12过点B(0,2)且与x轴平行,直线11与直线12相交于点P.点E为直线12上k 一点,反比例函数错误! 未找到引用源。 y=(k>0)的图象过点E与直线11相交于点F. x (1)若点E与点P重合,求k的值; (2)连接OE.OF.EF.若k>2,且△OEF的面积PEF的面积的2倍,求E点的坐标; (3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M.E.F为顶点的三角形与△PEF全等? 若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由. 反比例函数综合题;全等三角形的判定与性质;勾股定 理. 专题: 分类讨论. 分析: (1)根据反比例函数中k=xy进行解答即可; (2)当k>2时,点E.F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,再求出S/FPE=错误! 未找到引用源。 k2-k+1,根据S/OEF=S矩形OCGD-S^DOF-S牟GD-S^OCE即可求出k的值,进而求出E点坐标; (3)①当kv2时,只可能是△MEF也/PEF,作FH丄y轴于H,由△FHM^ZMBE可求出 BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E 点坐标; ②当k>2时,只可能是厶MFE也zPEF,作FQ丄y轴于Q,△^QM^ZMBE得, BM FQ EM FM 可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而 可得出E点坐标. 课外练习 1、如图,矩形OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿BC折叠,使点A落在点A'处, A'B与y轴交于点F。 已知OA=1,AB=2。 ⑴设CF=X,贝UOF= ⑵求BF的长; k ⑶设过点B的双曲线为y—(k工0),试问双曲线I上是否存在一点M,使得以 x OB为一边的厶OBM的面积等于1? 若存在,试求出点M的横坐标;若不存在,试说明理 由。 已知取曲线\=-与直线丫=丄工相交于儿R两点.第一象限上的点K在且点左恻) x4 是双曲线丫=£上的动点-过点月作BDlly轴交文轴于点D-过AT(0,-«)作NC"工轴交 X 択曲线)-=£于点E,交強D于点匚. X (2)SB是cd的中点,四边形OFCE的面积対4,求直线C订的解析式. <3)设直线AM、弁别与〉耙相文于F*Q两点,且M4二刃fCf求p~q的値.
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- 反比例 函数 题型 综合 提优题
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