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电磁感应讲解及习题
【本讲教育信息】
一.教学内容:
电磁感应规律的综合应用
与本章知识有关的综合题主要表现在以下几方面:
1.电磁感应问题与电路问题的综合。
电磁感应提供电路中的电源,解决这类电磁感应中的电路问题,一方面要考虑电磁学中的有关规律如右手定则、法拉第电磁感应定律等;另一方面还要考虑电路中的有关规律,如欧姆定律、串并联电路的性质等,有时可能还会用到力学的知识。
2.电磁感应中切割磁感线的导体要运动,感应电流又要受到安培力的作用,因此,电磁感应问题又往往和力学问题联系在一起,解决电磁感应中的力学问题,一方面要考虑电磁学中的有关规律;另一方面还要考虑力学中的有关规律,要将电磁学和力学的知识综合起来应用。
二.热点透析
1.关于电磁感应的判断
(发电机——电动机模型、涡流的影响,磁悬浮列车,磁单极,超导体等)
4.变压器和电能输送问题
三.方法解析
1.电磁感应中的电路分析。
在电磁感应中,切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势,则该导体或回路就相当于电源。
将它们接上电容器可以使电容器充电;将它们接上电阻或用电器可以对用电器供电。
2.电磁感应中的动力学分析和能量分析
切割磁感线的导体作为一个电磁学研究对象有感应电动势、感应电流、两端电压、电流做功、电阻发热等问题;作为一个力学对象有受力、加速度、动能、能量及其变化等问题;所以电磁感应和力学知识发生联系是必然的。
由于这类问题中物理过程比较复杂,状态变化过程中变量比较多,关键是能抓住状态变化过程中变量“变”的特点和规律,从而确定状态变化过程中的临界点,求解时注意从动量、能量的观点出发,运用相应的规律进行分析和解答。
【典型例题】
1、电磁感应中的电路问题
例1.如图所示,光滑导轨倾斜放置,其下端连接一个灯泡,匀强磁场垂直于导轨所在平面,当ab棒下滑到稳定状态时,小灯泡获得的功率为P0,除灯泡外,其他电阻不计,要使稳定状态灯泡的功率变为2P0,下列措施正确的是
A.换一个电阻为原来一半的灯泡
B.把磁感应强度B增为原来的2倍
C.换一根质量为原来的2倍的金属棒
D.把导轨间的距离增大为原来的2倍
解析:
解答这类问题的基本思路是:
先求出灯泡功率P与其他量的关系式,然后再讨论各选项是否正确。
金属棒在导轨上下滑的过程中,受重力mg、支持力FN和安培力F=IlB三个力的作用。
其中安培力F是磁场对棒ab切割磁感线所产生的感应电流的作用力,它的大小与棒的速度有关。
当导体棒下滑到稳定状态时(匀速运动)所受合外力为零,则有mgsinθ=IlB。
此过程小灯泡获得稳定的功率P=I2R。
由上两式可得P=m2g2Rsin2θ/B2l2。
要使灯泡的功率由P0变为2P0,根据上式讨论可得,题目所给的四个选项只有C是正确的。
2、电磁感应和电路结合的能量问题
例2.如图所示,两根相距d=0.20m的平行金属长导轨,固定在同一水平面内,并处于竖直方向的匀强磁场中,磁场的磁感应强度B=0.20T。
导轨上面横放着两根金属细杆,构成矩形回路,每根金属细杆的电阻r=0.25Ω,回路中其余部分的电阻可不计。
已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下,沿导轨朝相反方向匀速平移,速度大小都是v=5.0m/s。
不计导轨上的摩擦。
(1)求作用于每根金属细杆的拉力的大小;
(2)求两金属杆在间距增加ΔL=0.40m的滑动过程中共产生的热量。
解析:
(1)设匀强磁场方向竖直向上。
在两金属杆匀速平移的过程中,等效电路如图所示,即两杆可以等效为两个串联的同样的电源(E0)。
根据能量转化和守恒定律,当杆匀速运动时,两拉力(F)的机械总功率等于闭合电路的热功率,即
所以,每根金属杆受到的拉力大小为
(2)在两金属杆增加距离ΔL的过程中,产生的热量就等于两拉力所做的功,即
-Q=2FΔL/2=FΔL=1.28×102J
3、电磁感应中的多过程问题
例3.一个质量m=0.1kg的正方形金属框总电阻R=0.5Ω,金属框放在表面是绝缘且光滑的斜面顶端,自静止开始沿斜面下滑,下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB′平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端BB′,设金属框在下滑时即时速度为v,与此对应的位移为S,那么v2-s图象如图乙所示,已知匀强磁场方向垂直斜面向上。
试问:
甲乙
(1)分析v2-s图象所提供的信息,计算出斜面倾角θ和匀强磁场宽度d。
(2)匀强磁场的磁感强度多大?
金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为多少?
(3)现用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金属框上,使金属框从斜面底端BB’静止开始沿斜面向上运动,匀速通过磁场区域后到达斜面顶端。
试计算恒力F做功的最小值。
解析:
⑪本题的关键信息隐含在图像中,只有读懂两幅图,才能够掌握运动过程。
从s=0到s=1.6米的过程中,由公式v2=2as,得
该段图线斜率a=5m/s2,
根据牛顿第二定律mgsinθ=ma
从线框下边进磁场到上边出磁场,均做匀速运动(看图得出)∴
⑫线框通过磁场时,
12s3=3.4-2.6=0.8米,s3=v1t3+at3,t3=0.2s2
∴t=t1+t2+t3=0.8+0.25+0.2=1.25秒
⑬在未进入磁场时F-mgsinθ=ma2
进入磁场F=mgsinθ+F安,∴F安=ma2
2B2L2s1BLvv2
BL=m,v==2.25m/sR2s1mR
∴最小值WF=F安⋅2d+mg(s1+s2+s3)sinθ
B2L2v2d=+mg(s1+s2+s3)sinθ=1.98R焦
4、电磁感应中的双电源问题
例4.如图所示,两根完全相同的“V”字形导轨OPQ与KMN倒放在绝缘水平面上,两导轨都在竖直平面内且正对、平行放置,其间距为L,电阻不计。
两条导轨足够长,所形成的两个斜面与水平面的夹角都是α.两个金属棒ab和a'b'的质量都是m,电阻都是R,与导轨垂直放置且接触良好.空间有竖直向下的匀强磁场,磁感应强度为B.
(1)如果两条导轨皆光滑,让a'b'固定不动,将ab释放,则ab达到的最大速度是多少?
(2)如果将ab与a'b'同时释放,它们所能达到的最大速度分别是多少?
解析:
(1)ab运动后切割磁感线,产生感应电流,而后受到安培力,当受力平衡时,加速度为0,速度达到最大,受力情况如图所示.则:
mgsinα=F安cosα
又F安=BIL
I=E感/2R
E感=BLvmcosα
联立上式解得vm=2mgRsinα
B2L2cos2α
(2)若将ab、a'b'同时释放,因两边情况相同,所以达到的最大速度大小相等,这时ab、a'b'都产生感应电动势而且是串联.
∴mgsinα=F安′cosα
F安′=BI′L
2BLvm'cosα
2RmgRsinα'vm=22BLcos2α∴I'=
5、电磁感应和实际生活的结合问题
例5.磁悬浮列车的原理如图所示,在水平面上,两根平行直导轨间有竖直方向且等间距的匀强磁场B1,B2,导轨上有金属框abcd,金属框的面积与每个独立磁场的面积相等,当匀强磁场B1,B2同时以v沿直线导轨向右运动时,金属框也会沿直线导轨运动,设直导轨间距为L=0.4m,B1=B2=1T,磁场运动速度为v=5m/s,金属框的电阻为R=2欧姆。
试求:
(1)若金属框不受阻力时,金属框如何运动?
(2)当金属框始终受到f=1N的阻力时,金属框最大速度是多少?
(3)当金属框始终受到1N的阻力时,要使金属框维持最大速度,每秒钟需要消耗多少能量?
这些能量是提供的?
解:
(1)此题的难点在于存在交变磁场。
首先分析ac和bd边产生的感应电动势,由于磁场方向相反,且线圈相对于磁场向左运动,因此,在如图位置的电动势方向相同(逆时针),根据左手定则,ac和bd边受到的安培力都向右。
所以金属框做变加速运动,最终做匀速直线运动。
(2)当金属框受到阻力,最终做匀速直线运动时,阻力与线框受到的安培力平衡。
设此时金属框相对于磁场的速度为v相
所以金属框相对于地面的速度为
(3)要使金属框维持最大速度,必须给系统补充能量:
一方面,线框内部要产生焦耳热;另一方面,由于受到阻力,摩擦生热。
设每秒钟消耗的能量为E,这些能量都是由磁场提供。
由于摩擦每秒钟产生的热量为Q1:
Q1=fs=fv地t=1⨯1.875⨯1=1.875J
每秒钟内产生的焦耳热为Q2:
所以
这些能量都是由磁场提供。
【模拟试题】
1.如图所示,一根长导线弯曲成“п”,通以直流电I,正中间用绝缘线悬挂一金属环C,环与导线处于同一竖直平面内。
在电流I增大的过程中,下列叙述正确的是()
A.金属环中无感应电流产生
B.金属环中有逆时针方向的感应电流
C.悬挂金属环C的竖直线中拉力变大
D.金属环C仍能保持静止状态
2.如图所示,ab、cd为两根水平放置且相互平行的金属轨道,相距L,左右两端各连接一个阻值均为R的定值电阻,轨道中央有一根质量为m的导体棒MN垂直放在两轨道上,与两轨道接触良好,棒及轨道的电阻不计。
整个装置处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B.棒MN在外驱动力作用下做简谐运动,其振动周期为T,振幅为A,通过中心位置时的速度为v0.则驱动力对棒做功的平均功率为()
2222mv0222B2L2v0B2L2v02RA.TB.C.8TRD.
3.如图所示,在方向竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中,有两条足够长的平行金属导轨,其电阻不计,间距为L,导轨平面与磁场方向垂直。
ab、cd为两根垂直导轨放置的、电阻都为R、质量都为m的金属棒。
棒cd用能承受最大拉力为T0的水平细线拉住,棒cd与导轨间的最大静摩擦力为f。
棒ab与导轨间的摩擦不计,在水平拉力F的作用下以加速度a由静止开始向右做匀加速直线运动,求:
(1)线断以前水平拉力F随时间t的变化规律;
(2)经多长时间细线将被拉断。
4.如图甲所示,光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上,两导轨间距L=0.2m,电阻R=0.4Ω,导轨上停放一质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的金属杆,导轨电阻可忽略不计,整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中,磁场方向竖直向下。
现用一外力F沿水平方向拉杆,使之由静止开始运动,若理想电压表的示数U随时间t变化的关系如图乙所示。
求:
⑪金属杆在5s末时的运动速度.⑫第4s末时外力F的瞬时功率。
0t/s
甲乙
5.如图,光滑平行的水平金属导轨MN、
PQ相距l,在M点和P点间接一个阻值为R的电阻,在两导轨间OO1O1′O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场,磁感强度为B。
一质量为m,电阻为r的导体棒ab,垂直搁在导轨上,与磁场左边界相距d0。
现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒,使它由静止开始运动,棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好的接触,导轨电阻不计)。
求:
(1)棒ab在离开磁场右边界时的速度;
(2)棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能;
(3)试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。
6.一电阻为R的金属圆环,放在匀强磁场中,磁场与圆环所在平面垂直,如图(a)所示.已知通过圆环的磁通量随时间t的变化关系如图(b)所示,图中的最大磁通量φ0和变化周期T都是已知量,求
(1)在t=0到
(2)在t=0到t=2T的时间内,金属环所产生的电热Q.
7.如图(甲)所示,一正方形金属线框放置在绝缘的光滑水平面上,并位于一竖直向下的有界匀强磁场区域内,线框的右边紧贴着磁场的边界,从t=0时开始,对线框施加一水平向右的外力F,使线框从静止开始做匀加速直线运动,在t1时刻穿出磁场.已知外力F随时间变化的图像如图(乙)所示,且线框的质量m、电阻R、图(乙)中的F0、t1均为已知量.试求出两个与上述过程有关的电磁学物理量(即由上述已知量表达的关系式).tT4的时间内,通过金属圆环某横截面的电荷量q.
8.如图
(1)所示,一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ固定在水平面内,MN、PQ两
导轨间的宽为L=0.50m.一根质量为m=0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好,abMP恰好围成一个正方形.该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中.ab棒的电阻为R=0.10Ω,其他各部分电阻均不计.开始时,磁感应强度B0
=0.50T
(1)若保持磁感应强度B0的大小不变,从t=0时刻开始,给ab棒施加一个水平向右的拉力,使它做匀加速直线运动.此拉力T的大小随时间t变化关系如图
(2)所示.求匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间的滑动摩擦力.
(2)若从某时刻t=0开始,调动磁感应强度的大小使其以t=0.20T/s的变化率均匀增加.求经过多长时间ab棒开始滑动?
此时通过ab棒的电流大小和方向如何?
(ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)。
9.如图所示,一半径为r的圆形导线框内有一匀强磁场,磁场方向垂直于导线框所在平面,导线框的左端通过导线接一对水平放置的平行金属板,两板间的距离为d,板长为l,t=0时,磁场的磁感应强度B从B0开始均匀增大,同时,在板2的左端且非常靠近板2的位置有一质量为m、带电量为-q的液滴以初速度v0水平向右射入两板间,该液滴可视为质点。
∆
⑪要使该液滴能从两板间射出,磁感应强度随时间的变化率K应满足什么条件?
⑫要使该液滴能从两板间右端的中点射出,磁感应强度B与时间t应满足什么关系?
【试题答案】
1、BCD2、B
3、
(1)在时刻t,棒的速度v=at
棒中感应电动势为E=BLv=BLat
BLat
棒中的感应电流为I=2R
由牛顿第二定律F-BIL=ma
B2L2at+ma2R得F=
(2)细线拉断时满足
BIL=f+T0
B2L2at=f2R+T0
2R(f+T0)
22t=BLa
4、电压表的示数为U5=0.2V„„„„„„„①
由闭合电路欧姆定律得
E5=U5(R+r)R„„„„„„„„„„„②
E5=BLv5„„„„„„„„„„③
联立以上三式得:
v5=2.5m/s„„„„„„„④
⑫由乙图可知,R两端电压随时间均匀变化,所以电路中的电流也随时间均匀变化,由闭合电路欧姆定律知,棒上产生的电动势也是随时间均匀变化的。
因此由E=BLv可知,金属杆所做的运动为匀变速直线运动„„„„„„„„„„„⑤
由⑪问中的④式有v5=at5
a=
所以v5=0.5m/s2t5„„„„„„„„„„„⑥
BL4v=0.4AR+r„„„„„„„„⑧所以4s末时的速度v4=at4=2m/s„„„„„„„„„„„⑦所以4s末时电路中的电流为I=
因F-BIL=ma
F=BIL+ma=0.09N„„„„„„„„⑨
5、
(1)ab棒离开磁场右边界前做匀速运动,速度为vm,则有:
E=Blvm①
I=E
R+r②
F(R+r)
B2l2④对ab棒F-BIl=0③解得vm=
12F(d0+d)=W电+mvm2
(2)由能量守恒可得:
⑤
解得:
WF(dmF2(R+r)2
电=0+d)-
2B4l4⑥
(3)设棒刚进入磁场时速度为v由:
F⋅d1
0=mv2
2⑦
可得:
v=
⑧
棒在进入磁场前做匀加速直线运动,在磁场中运动可分三种情况讨论:
R+r)2d4F(0B4lB2l2F=(或m(R+r)2),则棒做匀速直线运动;
2d4F(R+r)
0B4lB2l2(或F>m(R+r)2
),则棒先加速后匀速;
2d4F(0B4lR+r)
B2l2(或F<m(R+r)2
),则棒先减速后匀速。
6、
(1)由磁通量随时间变化的图线可知在t=0到
t=
T
4时间内,环中的感应电动势∆Φ
E1=∆t①
E1
在以上时段内,环中的电流为I1=R②
则在这段时间内通过金属环某横截面的电量q=I1t③联立求解得q=
Φ0
R④
(2)在
t=
T4到t=T2和在t=3T
4到t=T时间内,环中的感应电动势
E1=0⑤
t=
T在2和在t=3T4Φ04时间内,环中的感应电动势E3=T4Φ0
由欧姆定律可知在以上时段内,环中的电流为I3=TR在t=0到t=2T时间内金属环所产生的电热
Q=2(I12Rt3+I32Rt3)⑧
Φ20联立求解得Q=16
RT7、据题意知,线框运动的加速度
a=F0
m①线框离开磁场时的速度v=at1②线框的边长
l=
12at2
1③
线框离开磁场时所受到的磁场力FB=BIl④
⑥⑦
⑨
离开磁场时线框中的感应电动势E=Blv⑤
E
R⑥离开磁场时线框中的感应电流
由牛顿定律知3F0-FB=ma⑦I=
B=⑧联立求解可得
E=⑨离开磁场时线框中的感应电动势
I=⑩离开磁场时线框中的感应电流
Bl2
Q==R⑾在拉出过程中通过线框某截面的电量
∆TT=T0+=3+2.5t∆t8、
(1)由图像可得到拉力t的大小随时间变化的函数表达式为
当ab棒匀加速运动时,根据牛顿第二定律有:
T-f-B0Il=ma
B02l2aT=f+ma+tR因为I=B0lv/Rv=at联立可解得
将数据代入,可解得a=4m/s2f=1N
(2)以ab棒为研究对象,当磁感应强度均匀增大时,闭合电路中有恒定的感应电流I,以ab
棒为研究对象,它受到的安培力逐渐增大,静摩擦力也随之增大,当磁感应强度增大到ab所受安培力F与最大静摩擦力fm相等时开始滑动.
F=BIl=fm
B=B0+
I=∆Bt=(0.5+0.2t)T∆t
由以上各式求出,经时间t=17.5s后ab棒开始滑动,此时通过ab棒的电流大小为I=0.5A根据楞次定律可判断出,电流的方向为从b到a.
9、参考答案:
(1)由题意可知:
板1为正极,板2为负极①ER∆ϕ∆Bl2E==∆t∆t
∆Φ∆B=S=SK∆t两板间的电压U=∆t②
而:
S=πr2③
qU
带电液滴受的电场力:
F=qE=d④
qU
故:
F-mg=d-mg=ma
qU
a=dm-g⑤讨论:
一.若a>0
液滴向上偏转,做类似平抛运动
121qUat=(-g)t2
2dmy=2⑥
当液滴刚好能射出时:
l
有l=v0tt=v0y=d
qU⎫⎛l121⋅⎛-g⎪⋅at2⎝dm⎭⎝v0故d=2=⎫⎪⎪⎭⑦2
22v0dmd(g+)22l由②③⑦得K1=πrq⑧
要使液滴能射出,必须满足y 二.若a=0 qU 液滴不发生偏转,做匀速直线运动,此时a=md-g=0⑨ mgd 2πrq⑩由②③⑨得K2= 液滴能射出,必须满足K=K2 三.若a<0,液滴将被吸附在板2上。 综上所述: 液滴能射出, 222v0dmgdmd≤K≤(g+)222πrqlK应满足πrq(11) (2)B=B0+Kt 当液滴从两板中点射出时,满足条件一的情况,则d 用2替代⑧式中的d 2v0dmdK=2(g+2)πrql(12)2v0d⎫md⎛⎪⋅tB=B0+2g+2⎪πrq⎝l⎭(13)即
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