届上海市金山区高三上学期期末考试一模数学试题.docx
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届上海市金山区高三上学期期末考试一模数学试题
上海市金山区2017学年第一学期期末考试
高三数学试卷
(满分:
150分,完卷时间:
120分钟)
(答题请写在答题纸上)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.若集合M={
,xR},N={
,x≥–2},则M∩N=▲.
2.计算:
=▲.
3.不等式:
的解是▲.
4.如果复数z=
(bR)的实部与虚部相等,则z的共轭复数
=▲.
5.方程:
sinx+cosx=1在[0,π]上的解是▲.
6.等差数列{an}中,a2=8,S10=185,则数列{an}的通项公式an=▲(nN*).
7.当a>0,b>0且a+b=2时,行列式
的值的最大值是▲.
8.若
的二项展开式中的常数项为m,则m=▲.
9.从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量分别是:
(单位:
克)125,124,121,123,127,则该样本的标准差是▲克.
10.三棱锥O–ABC中,OA=OB=OC=2,且∠BOC=45,则三棱锥O–ABC体积的最大值是▲.
11.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数,欲使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k{5,6,7,8,9})的概率是
,则k=▲.
12.已知点A(–3,–2)和圆C:
(x–4)2+(y–8)2=9,一束光线从点A发出,射到直线l:
y=x–1后反射(入射点为B),反射光线经过圆周C上一点P,则折线ABP的最短长度是▲.
13.如图所示,在长方体ABCD–EFGH中,AD=2,AB=AE=1,M为矩形AEHD内的一点,如果∠MGF=∠MGH,MG和平面EFG所成角的正切值为
,那么点M到平面EFGH的距离是▲.
14.已知点P(x0,y0)在椭圆C:
(a>b>0)上,如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时,称直线为椭圆的切线,此时点P称为切点,这条切线方程可以表示为:
.
根据以上性质,解决以下问题:
已知椭圆L:
,若Q(u,v)是椭圆L外一点(其中u,v为定值),经过Q点作椭圆L的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程是▲.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.复数z1=a+bi(a、bR,i为虚数单位),z2=–b+i,且|z1|<|z2|,则a的取值范围是(▲).
(A)a>1(B)a>0(C)–l<a<1(D)a<–1或a>1
16.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中偶数有(▲).
(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个
17.设k>1,f(x)=k(x–1)(xR),在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图像与x轴交于A点,它的反函数y=f–1(x)的图像与y轴交于B点,并且这两个函数的图像相交于P点.已知四边形OAPB的面积是3,则实数k等于(▲).
(A)3(B)
(C)
(D)
18.若集合A1、A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一个分拆,并规定:
当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是(▲).
(A)8(B)9(C)26(D)27
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边,向量
=(2–2sinA,cosA+sinA),
=(sinA–cosA,1+sinA),且
∥
.已知a=
,△ABC面积为
,求b、c的大小.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,在四棱锥P–ABCD的底面梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=2,AD=3,∠ADC=45.已知PA⊥平面ABCD,PA=1.
求:
(1)异面直线PD与AC所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)三棱锥C–APD的体积.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知a>0且a1,数列{an}是首项与公比均为a的等比数列,数列{bn}满足bn=anlgan(nN*).
(1)若a=3,求数列{bn}的前n项和Sn;
(2)若对于nN*,总有bn 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 动点 与点 的距离和它到直线 的距离相等,记点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程; (2)设点 2 动点 在曲线 上运动时, 的最短距离为 ,求 的值以及取到最小值时点 的坐标; (3)设 为曲线 的任意两点,满足 ( 为原点),试问直线 是否恒过一个定点? 如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由. 23.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 设函数f(x)=2kax+(k–3)a–x(a>0且a1)是定义域为R的奇函数. (1)求k值; (2)若f (2)<0,试判断函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2–x)+f(tx+4)<0恒成立的t的取值范围; (3)若f (2)=3,且g(x)=2x+2–x–2mf(x)在 2,+∞ 上的最小值为–2,求m的值. 上海市金山区2017—2017学年第一学期期末考试 评分标准 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.[0,5];2. ;3.0 或0;6.3n+2;7.0 8.7920;9.2;10. ;11.7;12.10;13. ;14. 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.C;16.B;17.B;18.D 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分) 解: , ,又 ‖ (2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA–cosA)=0,即: 又 为锐角,则 ,所以∠A=60…………………………………………6分 因为△ABC面积为 ,所以 bcsinA= ,即bc=6, 又a= ,所以7=b2+c2–2bccosA,b2+c2=13, 解之得: 或 ………………………………………………………………12分 20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分. 解: (1)过点C作CF∥AB交AD于点F,延长BC至E,使得CE=AD,连接DE,则AC∥DE,所以∠PDE就是异面直线PD与AC所成的角或其补角,………………2分 因为∠ADC=45,所以FD=2,从而BC=AF=1,且DE=AC= ,AE= ,PE= ,PD= ,在△ 中, ,所以,异面直线 与 所成角的大小为 ………………………………………………………………8分 (2)因为VC–APD=VP–ACD, S△ACD= CFAD=3 PA⊥底面ABCD,三棱锥P–ACD的高为PA=1, VP–ACD= S△ACDPA=1, 所以,三棱锥C–APD的体积为1.………………………………………………………14分 21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. (1)由已知有 , , , 所以 , .………………………………………………………7分 (2) 即 .由 且 ,得 , 所以 或 即 或 对任意nN*成立, 且 ,所以 或 ……………………………………………14分 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. (1)根据抛物线的定义可知,动点 的轨迹是抛物线 所以曲线C的方程为x2=4y;……………………………………………………………4分 (2)设点T(x0,y0),x02=4y0(y0≥0), |AT|= = , a–2>0,则当y0=a–2时,|AT|取得最小值为2 , 2 =a–1,a2–6a+5=0,a=5或a=1(舍去), 所以y0=a–2=3,x0=2 ,所以T坐标为(2 3);……………………………10分 (3)显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在,记为k, , ,解之得P1( ),同理P2(–4k,4k2), 直线P1P2的斜率为 ,直线P1P2方程为: 整理得: k(y–4)+(k2–1)x=0,所以直线P1P2恒过点(0,4)………………………………16分 23.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 解 (1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0, 所以2k+(k–3)=0,即k=1,检验知,符合条件………………………………………4分 (2)f(x)=2(ax–a–x)(a>0且a1) 因为f (2)<0,
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