中考数学 三角形全等手拉手模型 解析.docx
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中考数学三角形全等手拉手模型解析
手拉手模型
模型手拉手
如图,△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,
∠BAC=∠DAE=
。
结论:
△BAD≌△CAE。
等腰三角形分为:
等边三角形、等腰直角、任意等腰三角形,几种特殊情况分别讨论如下:
1、等边三角形
条件:
△OAB,△OCD均为等边三角形
结论:
;
;
导角核心:
2、等腰直角三角形
条件:
△OAB,△OCD均为等腰直角三角形
结论:
;
;
导角核心:
3、任意等腰三角形
条件:
△OAB,△OCD均为等腰三角形,且∠AOB=∠COD
结论:
;
;
核心图形:
核心条件:
;
;
接下来,将针对以“两个等边三角形”为载体的模型与方法进行分析和讲解。
两个等边三角形放在一起,最常见的就是“手拉手模型”,这个模型包含了许多非常重要的结论和方法!
重点给大家分享一下两个等边三角形放在一起的模型,其中最最重要的就是两个等边三角形共顶点的模型,俗称“手拉手模型”。
针对这个模型的研究,一般分为三个方向:
一、不变性
二、特殊位置出现的特殊结论(临界点)
三、增加部分条件得出的新结论
首先,我们来研究一下这个模型中都包含哪些“不变性质”。
第一个不变性质就是全等,如下图:
无论两个等边三角形的相对位置如何△ACD≌△BCE(SAS)始终成立。
第二个不变性质是角度问题,如下图:
根据第一条性质的全等,得出∠1=∠2,再依据“蝴蝶模型”或者“8”字模型倒角或者“四点共圆”都可以得出AD和BE的夹角∠APB=60°,这个结论不随等边三角形的相对位置变化而变化,也具有不变性。
第三个不变性质是角平分线,如下图:
CP始终平分∠BPD,也就是说∠BPC=∠DPC=60°始终成立。
证法1:
如下图,分别作BE和AD的垂线段CH和CK,由△ACD≌△BCE(SAS),可以知道△ACD和△BCE的面积相等,底也相等,全等三角形对应高也相等,所以高CH=CK.根据角平分线的性质,可以知道CP平分∠BPD.
证法2:
如下图,根据∠1=∠2,AC=BC,在BP上截取BF=AP,则△ACP≌△BCF(SAS),
于是,CF=CP,∠FCP=∠BCA=60°,所以△FPC是等边三角形。
这样,也就得出∠FPC=∠DPC=60°,CP平分∠BPD.
第四个不变性质就是“等边+120°模型”(这里中考不做要求)
这个模型在这里始终会出现。
对角互补旋转
也就是说在这个模型中,BP=CP+AP,PE=CP+PD始终成立。
最后,以上这些结论看似简单,但是要想让学生彻底掌握,需要进行巩固和强化训练,训练的方式最好就变换不同的角度和相对位置,让自己再去证明一次,找到所有的全等、不变角、角平分线、线段和差模型、等性质。
比如,进行以下四个图形位置的训练:
二、特殊位置出现的特殊结论
手拉手模型共线
下面我先给大家继续介绍经典几何模型---手拉手模型,特殊位置下的特殊结论,这也是历年数学中考常考的几何压轴题型之一。
例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60
(4)△AGB≌△DFB
(5)△EGB≌△CFB
(6)BH平分∠AHC
(7)GF∥AC
解析:
(1)∵△ABD和△BCE是等边三角形,
∴AB=DB,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE,
即∠DBC=∠ABE,
在△ABE和△DBC中,
易证明△ABE≌△DBC(SAS)
(2)∵△ABE≌△DBC(SAS)
∴AE=CD;
(3)∵△ABE≌△DBC,
∴∠AEB=∠DCB.
又∵∠HFE=∠BFC(对顶角相等)
△HFE和△BFC中,
∠EHF=180-∠AEB-∠HFE;
∠CBF=180-∠DCB-∠BFC,
∴∠EHF=∠CBF=60
∴AE与DC的夹角为60。
(4)AB=BD,BG=BF,
∠ABG=∠DBF=60
∴△AGB≌△DFB
(5)EB=EC,BG=BF,∠EBG=∠CBF=60
∴△EGB≌△CFB
(6)过B作BM垂直AE于M,BN垂直CD于N。
证明△ABM≌△DBM,则BM=BN
∴BH平分∠AHC
(7)∵△AGB≌△DFB
∴BG=BF
又∠GBF=60,
∴GBF为等边三角形
∴∠GFB=EBC=60,
∴GF∥AC
三、增加部分条件得出的新结论
(8)线段和差关系
AH=DH+BH或CH=BH+HE
(提示:
在AH取I,HI=BHCH取P,HP=BH)
(9)△BGF等边三角形
(10)四点共圆:
ABHD四点共圆,
BFHG四点共圆,
CBHE四点共圆
总结:
“两个共顶点的等边三角形的手拉手模型”,对于这个模型的研究,给出了三个方向:
一、不变性(三个)
二、特殊位置出现的特殊结论
三、增加部分条件得出的新结论
我们本次内容仅仅涉及了到对于基本模型的不变性质的研究。
这些不变性质涉及到了全等、角度、角平分线以及等边+120度线段和差模型等。
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