数列综合测试题及参考答案.docx
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数列综合测试题及参考答案
精心整理
高一数学数列综合测试题
1.{an}是首项ai=1,公差为d=3的等差数列,如果an=2005,则序号n等于().
A.667B.668C.669D.670
2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项ai=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=().
A.33B.72C.84D.189
3.如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d^0则().
A.a1a8>a4a5B.a1a8va4a5C.a1+a8 4.已知方程(x—2x+m)(x2—2x+n)=0的四个根组成一个首项为丄的等差数列,贝U|m—n| 4等于(). A.1B.C.-D.- 42 5.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为(). A.81B.120C.168D.192 6.若数列{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,&003a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大 自然数n是(). A.4005B.4006C.4007D.4008 7.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=(). A.—4B.—6C.—8D.—10 8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若—=—,则-S=(). a39S5 精心整理 11.设f(x)=x1,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(—5)+f(—4) +…+f(0)+…+ f(5)+f(6)的值为. 12.已知等比数列{an}中, (1)若a3a4a5=8,贝Ua2a3a4a5a6=. (2)若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=. (3)若®=2,S8=6,贝Ua17+a18+a19+a20=. 13.在8和27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为. 32 14.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a〔o+自3)=24,则此数列前13项之和为. 15.在等差数列{an}中,a5=3,a6=—2,贝Ua4+a5+^+ae=. .: ■■■■]/.f\/X 16.设平面内有n条直线(n》3,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=. 三、解答题 17. (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2—2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知1,1,1成等差数列,求证bc,ca,ab也成等差数列. abcabc 18.设{an}是公比为q? 的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列. (1)求q的值; ⑵设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n》2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由. 19.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n2Sn(n=1,2,3…). n 求证: 数列{包}是等比数列. n 20.已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列,Sn为其前n项和,a1,2a7,3a4成 等差数列,求证: 12S3, Ss,S12—S6成等比数列. 高一数学数列综合测试题参考答案 一、选择题 1.C 解析: 由题设,代入通项公式an=a1+(n—1)d,即2005=1+3(n—1),二n=699. 精心整理 2.C 解析: 本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力. 设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得◎+a? +a3=21, 即ai(1+q+q)=21,又ai=3,—1+q+q=7. 解得q=2或q=—3(不合题意,舍去), 222 •••a3+a4+a5=aiq(1+q+q)=3X2x7=84. 3.B. 解析: 由a1+as=a4+a5,「.排除C. 又a1•as=a1(a1+7d)=a1+7aM, •a4•a5=(a1+3d)(at+4d)=a/+7a8+12d2>a1•as. 4.C 解析: 解法1: 设a1=—,a2=—+d,a3=丄+2d,a4=丄+3d,而方程X—2x+0中两根之和为 4444 2,x2—2x+n=0中两根之和也为2, •°•a1+a2+a3+a4=1+6d=4, •d=1,a1=—,a4=7是一个方程的两个根,a1=—,a3=—是另一个方程的两个根. 24444 •—,15分别为m或n, 1616 1 •.|m—n|=—,故选C. 2 解法2: 设方程的四个根为X1,X2,X3,X4,且X1+X2=X3+X4=2,X1•X2=m,X3•X4=n. 由等差数列的性质: 若? +s=p+q,则a? +as=ap+aq,若设X1为第一项,X2必为第四项,则 X2=—,于是可得等差数列为—,—,■—,—, 44444 715 --ir=—,n= 1616 1 •Im—n|=_. 2 5.B 解析: Ta2=9,a5=243,01=q=空3=27, a29 •q=3,ae=9,a1=3, 5 •S==空0=120. 1—32 6.B 精心整理 解析: 解法1: 由a2003+a2004>0,a2003•a2oo4<0,知a2o°3和a2004两项中有一正数一负数,又ai>0,则 公差为负数,否则各项总为正数,故a2003>a2004,即卩a2003>0,a2004<0. ...S4006—40心+a4。 06)—4006(a2003+a2。 04)>0, 22 ••Soo7—4。 。 了•(a1+a4007)—4。 。 了•2a2oo4<0, 22 故4006为Sn>0的最大自然数.选B. 解法2: 由ai>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0, 同解法1的分析 得a2003>0,a2004v0, S2003为S中的最大值. •••S是关于n的二次函数,如草图所示, •2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离 2003: 2004 (第6题) 小, •4007在对称轴的右侧. 2 根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象 中右侧零点B的 左侧,4007,4008都在其右侧,S>0的最大自然数是4006. 7.B 解析: •••{an}是等差数列,•a3—ai+4,a4—ai+6, 又由a1,a3,a4成等比数列,•-(a1+4)—a«a1+6),解得 3i——8, --a2——8+2——6. 8.A 9(a1ag) —2—9a5— 5(a1a5)5a3 2 9.A 解析: 设d和q分别为公差和公比,则一 4—-1+3d且—4—(—1)q4, 2, 1 2 精心整理 又anM0,二an=2,{an}为常数数列, 而an=,即2n—1=38=19, 2n—12 二n=10. 二、填空题 11.32. 解析: •••f(x) 1 2X= 、2 2i22X 1X 1X .22 12=<2 .22X 逅+2X + 広 •••f(x)+f(1-x)=212X -2X 2X, .22 1十(22)「2 £+2X2 设S=f(—5)+f(—4)+•••+f(0)+•••+f(5)+f(6), l 则S=f(6)+f(5)+•••+f(0)+•••+f(—4)+f(—5), 「厂]厂 •••2S=[f(6)+f(—5)]+[f(5)+f(—4)]+…+[f(—5)+f(6)]=62, •••S=f(—5)+f(—4)+•••+f(0)+•••+f(5)+f(6)=32. 12. (1)32; (2)4;(3)32. 解析: (1)由as•a5=a: 得a4=2, 5 /.a2•as•a4•a5•ae=a4=32. (2)丿 q+a? =32421 2nq=_,佝+a2)q2=369 4 /•a5+a6=(a1+a2)q=4. (3)丿 S4=a〔+32+83+34=2 4o4=q=2, S8=a1+a2++a8=S4+Stq a17+a18+a19+a2o=Sq=32. 13.216. 解析: 本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与8, 3 27 2 同号,由等比中项的中间数为餐号=6J插入的三个数之积为鲁x%x6=216 14.26. 解析: ta3+a5=2a4,a7+a13=2a1o, 精心整理 6(a4+aio)=24,a4+aio=4, -s13(a汁a<)3)13[a4+aio)13汉426 --Si3====26. 222 15.—49. 解析: d=a6—a5=—5, a4+a5+…+aio =7(a4+aio) 2 ~7*5—d+a§+5d) =2 =7(a5+2d) =—49. 1 16.5,1(n+1)(n—2). 2 解析: 同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直 i 线都相交,「•f(k)=f(k—1)+(k—1). 由f(3)=2, f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(5)=f(4)+4=2+3+4=9, f(n)=f(n—1)+(n—1), 相加得f(n)=2+3+4+-+(n—1)=丄(n+1)(n—2). 2 三、解答题 17.分析: 判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常 数. 证明: (1)n=1时,a1=S=3—2=1, 当nA2时,an=Si—S—1=3n—2n—[3(n—1)—2(n—1)]=6n—5, n=1时,亦满足,二an=6n—5(n€N*). 首项a=1,an—an—1=6n—5—[6(n—1)—5]=6(常数)(n€N*), •••数列{an}成等差数列且a1=1,公差为6. (2)v1,1,丄成等差数列, abc •••-=-+1化简得2ac=b(a+c). bac 精心整理 a c ac •b+c c+a a b, 22 b+c.a+bbe+c+a+abb(a+十==一 士也成等差数列. c 18.解: ac ac b(a+c) b 2 c)+a2+eC_(a十e)2_(a+e)2_? .a+e (1)由题设2a3=ai+a2,即卩2aiq12=ai+aiq, 2 -ai工0,••2q—q—1—0, •••q-1或-舟. (2)若q—1,则S—2n+ 2 n(n—1)_n+3n__22 当n》2时,S—bn—S—1—(n—1)(n+2)>0,故S>bn. 2 jf-X-"/-i 2若q——丄,则S—2n+空二12(—丄)——n+9n. 2224 当n>2时,s—bn—S—1—(n—1)(10—n), 4 故对于n€N+,当2wnW9时,Sn>bn;当n—10时,S—bn;当n》11时,Svbn. 19.证明: T3n+1—Si+1—Sn,3n+1—"+十Si, n •°.(n+2)Sn—n(Sn+1—Sn),整理得nS+1—2(n+1)Sn, 所以S: 1 2Sn n 故{S1}是以2为公比的等比数列. n 20.证明: 由a1,2a7,3色成等差数列,得4a? —a1+3a4,即卩4ag6—+3aq3, 变形得(4q3+1)(q3—1)—0, S2-S6_S2—1 S6S6 •••q3——丄或q3—1(舍). 4 d(1-q6) 1-q 12^(1—q3)12 1-q 12 &(1-q) =1—q 4(1-『) —1q3 1 —16; 1—1+q6—1—11;得庭—音 •d—-1,q .a2-qd ・—2 b2-q 10.C 解析: T{an}为等差数列,•a2—an-1+an+1,•aj—2an,
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