DSP第二章243精.docx
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、z变换的基本性质和定理、变换的基本性质和定理
1、线性性质、若
ZT[x(n)]=X(z)Rx?
则 a,b为任意常数ZT[m(n)]=M(z)=aX(z)+bY(z) m(n)=ax(n)+by(n) 若X(Z)和Y(Z)无公共收敛域,则M(Z)不存在;若有公共收敛域,则M(Z)的收敛域至少为: max(Rx? Ry? )=R? 若线性组合中某些零点和极点相互抵消,若线性组合中某些零点和极点相互抵消,收敛域可能扩大。 1 例x(n)=u(n)? u(n? 3,X(z): )求 解: X(z)=ZT[u(n)? u(n? 3)] =ZT[u(n)]? ZT[u(n? 3)] zz? 3=? z,z? 1z? 1 z3? 1=2z(z? 1)z2+z+1=,2zz>0 2 z>1 2、时移性质、 ZT[x(n)]=X(z),Rx? 则 ZT[x(n? m)]=z? mX(z), Rx? m为任意整数 注意: 收敛域在0或∞处可能有变化。 注意: 收敛域在或处可能有变化。 例如,例如,ZT[δ(n)]=1,ZT[δ(n-1)]=z-1,ZT[δ(n+1)]=z 变换,注: 对于单边z变换,序列的时移特性需要涉及初始条件左移特性ZT[x(n+n0)]=zn0[X(z)? ∑x(m)z? m] m=0 ? 1 n0? 1 n0>0n0>0 右移特性ZT[x(n? n0)]=z[X(z)+ ? n0 m=? n0 ∑ x(m)z? m] 3 3、与指数序列相乘(Z域尺度变换)、与指数序列相乘(域尺度变换) 若则 ZT[x(n)]=X(z)Rx? ? z? ZT[ax(n)]=X? ? ? a? n a为任意常数 aRx? 证: ZT[anx(n)]= ∞n=? ∞ ∞ az=z1,z=az1 ? n ? 1 anx(n)z? n∑ ? z? =X? ? ? a? ? z? =∑x(n)? ? ? a? n=? ∞ zRx? < aRx? 4 例 1Z[u(n)]=? 11? z n 1<|z|≤∞ 11|a|<|z|≤∞Z[au(n)]==? 1? 1? 11? (az)1? az 5 4、X(z)的微商、的微商 若ZT[x(n)]=X(z)Rx? d则ZT[nx(n)]=? z? X(z)dz 同理: 同理: Rx? ZT[n2x(n)]=ZT[n? nx(n)]d=? z{ZT[nx(n)]}dzd? dX(z)? =? z? ? zdz? dz? ? 注: 收敛域在∞可能有变化收敛域在∞ 6 证: X(z)= n=? ∞∞dX(z)d∞d? n? n=∑x(n)z=n∑x(n)dz(z)dzdzn=? ∞=? ∞ ∑ ∞ x(n)z? n = n=? ∞ ∑ ∞ x(n)(? n)z? n? 1=? z? 1∑nx(n)z? n n=? ∞ ∞ =? zZT[nx(n)]dX(z)∴ZT[nx(n)]=? zdzRx? ? 1 X(z)=ln(1+az? 1)利用Z变换的性质求变换的性质求逆变换例利用变换的性质求逆Z变换 z>a 7 另解: 利用lg(1+x),且|x|<1的幂级数展开式,可得的幂级数展开式,另解: 利用,的幂级数展开式 (? 1)1213lg1+x)=x? x+x? L(23n(? 1n+1n)=∑xnn=1 ∞ n+1 xnL (? 1 (? )n+1n? n∞1? 1X(z)=lg1+az)=∑(az=∑(n)z? nxnn=1n=1 ∞ ? ann+1)? (? 1x(n)=? n? 0? n≥1n≤0 8 例 利用X(z)的微分特性求下面序列的变换。 的微分特性求下面序列的Z变换利用的微分特性求下面序列的变换。 x(n)=nanu(n)=nx1(n) 解 1X1(z)=Z[x(n)]=Z[au(n)]=11? az? 1 n |z|>|a| 利用微分特性有 d? 1? az? 1X(z)=? z? =? ? 1dz? 1? az? (? az? 1)21 |z|>|a| 9 5、复数序列的共轭、 若则 ZT[x(n)]=X(z) Rx? * ZT[x(n)]=X(z) ** Rx? n]*∑ ∞ 证: ZT[x*(n)]= n=? ∞ ∑ ∞ x*(n)z? n= * n=? ∞ =X(z) * Rx? 10 6、翻转序列、 若ZT[x(n)]=X(z) Rx? ? 1? 则ZT[x(? n)]=X? ? ? z? 证: ZT[x(? n)]= n=? ∞∞ ∑ ∞ 11 n=? ∞ x(? n)z? n= ? 1? n ∑ ∞ x(n)zn ? 1? =∑x(n)(z)=X? ? ? z? n=? ∞111Rx? < x? (? n)的z变换推导翻转共轭序列变换 11 7、初值定理、 对于因果序列x(n),有 limX(z)=x(0) z→∞ 证: 因为x(n)为因果序列因果序列 ∴X(z)= n=? ∞ ∑ ∞ x(n)z? n=∑x(n)z? n n=0 ∞ =x(0)+x (1)z? 1+x (2)z? 2+K ∴limX(z)=x(0) z→∞ 对于因果翻转序列limX(z)=x(0) z→0 12 8、终值定理、 设x(n)为因果序列因果序列,且X(z)=ZT[x(n)]的极点处于单位圆因果序列极点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1处可有一阶极点),则: 以内 limx(n)=lim[(z? 1)X(z)] n→∞z→1 x(∞)=limx(n)=lim[(z? 1)X(z)]=Res[X(z)]z=1 n→∞z→1 13 证: 利用序列的移位,得ZT[x(n+1)? x(n)]=(z? 1)X(z) = n=? ∞ [x(n+1)? x(n)]z? n=∑ ∞ n=? 1? m [x(n+1)? x(n)]z? n∑ 因果序列由于(z-1)X(z)在单位圆无极点在单位圆无极点由于 ∞ =lim n→∞ m=? 1 ∑[x(m+1)? x(m)]z nn→∞m=? 1 n lim[(z? 1)X(z)]=lim z→1 [x(m+1)? x(m)]? 1? m∑ =lim{[x(0)? 0]+[x (1)? x(0)]+[x (2)? x (1)]+L n→∞ +[x(n+1)? x(n)]}=lim[x(n+1)]=limx(n) n→∞n→∞ ∴x(∞)=lim[(z? 1)X(z)]=Res[X(z)]z=1 z→1 14 9、序列卷积(时域卷积定理)、序列卷积(时域卷积定理) 设y(n)为x(n)与h(n)的卷积: y(n)=x(n)*h(n)= m=? ∞ ∑x(m)h(n? m) ∞ 且则 X(z)=ZT[x(n)]Rx? Y(z)=ZT[y(n)]=X(z)? H(z) 收敛域至少为: 出现抵消收敛域可能扩大)出现抵消,收敛域至少为: (出现抵消,收敛域可能扩大 max(Rx? Rh? ) 15 证: ZT[x(n)*h(n)]==== n=? ∞m=? ∞∞m=? ∞∞ ∑∑∑ ∞ ∞ n=? ∞ [x(n)*h(n)]z? n∑ ∞ x(m)h(n? m)z? n ∞ x(m)[∑h(n? m)z? n] n=? ∞? m m=? ∞ ∑x(m)z H(z) =H(z)X(z) 时域卷积定理提供了求解系统的另一种方法。 时域卷积定理提供了求解系统的另一种方法。 16 例已LI系的位冲应: 知T统单脉响: h(n)=bnu(n)? abn? 1u(n? 1,)求统入(n)=anu(n)响。 系输x的应 z解: X(z)=ZT[x(n)]=ZT[au(n)]=z? a n z>a H(z)=ZT[h(n)]=ZT[bu(n)? abu(n? 1)] n n? =ZT[bnu(n)]? aZT[bn? 1u(n? 1)]zzz? a? 1=? az=z>bz? bz? bz? bzY(z)=X(z)H(z)=z>bz? by(n)=x(n)*h(n)=IZT[Y(z)]=bnu(n) n? 1 Im[z] b 0 Re[z] a 17 10、序列相乘(z域复卷积定理)、序列相乘(域复卷积定理域复卷积定理) 若且 y(n)=x(n)? h(n) X(z)=ZT[x(n)]Rx? 则Y(z)=ZT[y(n)]=ZT[x(n)h(n)] 1? z? ? 1=? ∫cH(v)X? v? vdv2jπ? Rx? Rh? ? zmax? Rh? ? Rx+? ? ? z? Rh+,? ? Rx? ? ? ? ? ? ? 18 式中,是平面上平面上H(v)与X(z/v)的公共收敛域内环绕原式中,c是V平面上与的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线,满足: 点的一条反时针旋转的单封闭围线,满足: R? z,R? < 将两个不等式相乘即得Z平面的收敛域为将两个不等式相乘即得平面的收敛域为 Rx-Rh-<|z| V平面收敛域为平面收敛域为 ? zmax? Rh? ? Rx+? ? ? z? Rh+,? ? Rx? ? ? ? ? ? ? 19 证: ZT[x(n)h(n)]= n=? ∞ ∑ ∞ ∞ x(n)h(n)z? n? ? n∫cH(v)vdv? z? n? 1 ? 1=∑x(n)? n=? ∞? 2πj ? ndv? ? n=∑x(n)? ∫cH(v)vv? z2πjn=? ∞? ? 1 ? n∞? 1? z? ? dv=? ∫c? H(v)n∑x(n)? v? ? v2πj? ? =? ∞? 1? z? ? 1=? ∫cH(v)X? v? vdv2πj? ∞ X,H位置可交换,位置可交换 20 例已x(n)=u(n),y(n)=a,a<1求(n)=x(n)y(n): 知w1解: X(z)=1 11? z1? a2Y(z)=a 1(1? az? 1)(1? az)1? z? ? 1W(z)=? ∫cY(v)X? v? vdvF(v)2πj? 11? a211=∫c(1? av? 1)(1? av)? v? vdv2πj1? za=1? a a? 1=∞ n ? z? ? ? 1z? max? a,? a,? 1? ? ∞? ? 21 v平面极点: v=a,a,z 易知,围线所在的收敛域为易知,围线c所在的收敛域为 ? 1 a c内极点v=a,单阶极点 ∴W(z)=Res[F(v)]v=a1=1? az? 1 n a ∴w(n)=IZT[W(z)]=au(n) 22 11、Parseval定理、定理 X(z)=ZT[x(n)]Rx? 且则 Rx? Rh? <1 1*? 1? ? x(n)h(n)=X(v)H? *? v1dv∑2j∫cπ? v? n=? ∞ * ∞ ? 1max? Rx? ? Rh+? ? ? 1? Rx+,? ? Rh? ? ? ? ? ? ? 23 证: 令y(n)=x(n)h*(n) 由于ZT? h*(n)? =H*(z*)? ? 利用复卷积公式可得Y(z)=ZT? y(n)? =? ? 1 n=? ∞ ∑ ∞ x(n)h*(n)z? n ? z*? ? 1=X(v)H*? *? vdv,Rx? Rh? v? 又Rx? Rh? <1 收敛域包含单位圆 24 则Y(z)z=1=∑x(n)h*(n) n=? ∞ ∞ 1*? 1? ? 1=? ∫cX(v)H? v*? vdvπ2j? 如果h(n)是实序列,则上式两边共轭(*)号可取消。 是实序列,则上式两边共轭()号可取消。 如果是实序列如果h(n),x(n)绝对可和,可取v=ejω绝对可和,如果绝对可和 25 则∑x(n)h(n)= *n=? ∞ ∞ 12πj 1 ∫ π ? 1? ? 1cX(v)H? *? vdv? v? * jω* ? 1=∫? πX(e)H? e? jω2πj? ? 1=∫? πX(e)H? e? jω2πj? 1 π jω* ? ? jωjω? ede? ? ? jωjω? ejedω? 当(n)=h(n)x则∑x(n) n=? ∞∞2 1=2π ∫π ? π X(ejω)H*(ejω)dω 21πjω=∫X(e)dω2? ππ 26 尊重他人劳动,转载请注明来自[PDF转换成WROD_PDF阅读器下载: 本文【DSP第二章2.4.3】网址:
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