专题23 函数的奇偶性与周期性 高考数学一轮复习对点提分文理科通用原卷版.docx
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专题23函数的奇偶性与周期性高考数学一轮复习对点提分文理科通用原卷版
第二篇函数及其性质
专题2.03 函数的奇偶性与周期性
【考试要求】
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义;
2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.
【知识梳理】
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【微点提醒】
1.
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
,则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-
,则T=2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
【教材衍化】
2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinxB.y=x2cosx
C.y=|lnx|D.y=2-x
3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=
则f
=________.
【真题体验】
4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x3B.y=x
C.y=|x|D.y=|tanx|
5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
6.(2019·上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则当x∈[1,2]时,f(x)=________.
【考点聚焦】
考点一 判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=
【规律方法】 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
【训练1】
(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+
D.y=x2+sinx
(2)已知f(x)=
,g(x)=
,则下列结论正确的是( )
A.f(x)+g(x)是偶函数B.f(x)+g(x)是奇函数
C.f(x)g(x)是奇函数D.f(x)g(x)是偶函数
考点二 函数的周期性及其应用
【例2】
(1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50B.0C.2D.50
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.
【规律方法】
1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x+a)=-f(x)(a是常数,且a≠0),则2a为函数f(x)的一个周期.第
(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数,优化了解题过程.
【训练2】
(1)(2019·南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1+x),则f
=( )
A.-
B.-
C.
D.
(2)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
考点三 函数性质的综合运用
角度1 函数单调性与奇偶性
【例3-1】(2019·石家庄模拟)设f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≥f(3)的解集为( )
A.[-3,3]B.[-2,4]C.[-1,5]D.[0,6]
【规律方法】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f(x)=f(|x|),避免了不必要的讨论,简化了解题过程.
角度2 函数的奇偶性与周期性
【例3-2】
(1)(2019·山东省实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈
时,f(x)=x3-3x,则f(2018)=( )
A.2B.-18C.18D.-2
(2)(2019·洛阳模拟)已知函数y=f(x)满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f
(1)=
,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=( )
A.
B.
C.πD.
【规律方法】 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
【训练3】
(1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.
(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)+f
≤2f
(1),那么t的取值范围是________.
【反思与感悟】
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值;
(2)求解析式;(3)求函数解析式中参数的值;(4)画函数图象,确定函数单调性.
3.在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
【易错防范】
1.f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件.
2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.
【核心素养提升】
【数学运算】——活用函数性质中“三个二级”结论
类型1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.
【例1】设函数f(x)=
的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
类型2 抽象函数的周期性
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=
(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
【例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2017)+f(2018)=( )
A.3B.2C.1D.0
类型3 抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=
对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
【例3】(2019·日照调研)函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f
(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为________.
【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(2019·玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( )
A.y=|log3x|B.y=x3
C.y=e|x|D.y=cos|x|
2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=
则g(-8)=( )
A.-2B.-3C.2D.3
3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2019)等于( )
A.-2B.2C.-98D.98
4.(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
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