二次项定理10大典型例题.docx
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二次项定理10大典型例题
(1)知识点的梳理
1.二项式定理:
(ab)nCn0anCn1an1bLCnranrbrLCnnbn(nN),
2.基本概念:
1二项式展开式:
右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。
2二项式系数:
展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).
3项数:
共(r1)项,是关于a与b的齐次多项式
4通项:
展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。
用Tr1Cnab表示。
3.注意关键点:
1项数:
展开式中总共有(n1)项。
2顺序:
注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(ab)n与(ba)n是不同的。
3指数:
a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n,是
升幂排列。
各项的次数和等于n.
4系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
时时金,,C:
,C:
.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4•常用的结论:
令a1,bx,(1x)nC0C:
xC;x2LC;x「LC;xn(nN)
令a1,bx,(1x)nC0C:
xC:
x2LC;xrL
(1)nC:
xn(nN)
3奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令a1,b1,则C0C:
C:
C;L
(1)nCn(11)n0,
从而得到:
CnCnc;c2rC1Cn3LC;'1-2“2厂
2
4奇数项的系数和与偶数项的系数和:
(a
n0n
x)Cna
0x
C^an
1
x
C;an2
x2
L
CnCn
0n
axa°
12[n
a〔xa?
xLanX
(x
a)nC0a0
n
x
C:
ax
n1
C:
a2x
n2
L
CnCn
n0n
axanx
21
La?
xa〔xa°
令x
1,则ao
a1
a2
a;L
an
(a
1)n
①
令x
1,则ao
a1
a2
a;
Lan
(a1)
n
②
①
②得,ao
a2
a4L
an
(a
1)n
(a
2
1)r
1
-(奇数项的系数和)
①②得,a1a3a5Lan■^卫旦工(偶数项的系数和)
2
5二项式系数的最大项:
如果二项式的幕指数n是偶数时,则中间一项的二项式
n系数Cn2取得最大值。
如果二项式的幕指数n是奇数时,则中间两项的二项式系数
n1n1
cn^,cF同时取得最大值。
6系数的最大项:
求(abx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开
式中各项系数分别
一一一Ar1Ar一
为Ai,A2,,An1,设第r1项系数最大,应有,从而解出r来。
Ar1Ar2
(2)专题总结
专题一
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
cnc26cn362LCnn6n1.
解:
(16)nC:
cn6c262c363LC:
6n与已知的有一些差距,
6C;
62L
Cncn
6n1
1(cn
6
6C;
62L
C;6n)
6
C6
Cn62
L
Cnn6n
1)
取1
6)n1]
-1(7n1)
6
练:
cn3Cn
9C3L
3n
1n
cn.
解:
设Sncn
3cn
9C:
L3n
1cn
Cn,
则
3Sn
12
Cn3Cn
32Cn3
3L
C;3n
c0
cn
C:
3
22
Cn3
C^33
LCn3n1(13)n1
(13)n14n1
题型二:
利用通项公式求xn的系数;
例:
在二项式(413x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X3的项的
系数?
解:
由条件知C;;245,即Cn45,n2n900,解得n9(舍去)或n10,
由
1210r2
Tr1C;c(x4)10r(x3)rC;oX,由题意-r3,解得r6,
43
则含有x3的项是第7项T61C;°x3210x3,系数为210
练:
求(x2—)9展开式中x9的系数?
2x
解:
Tr1C9(x2)9r(丄)rC9x182r
(1)rxrc9
(1)rx183r,令183r9,则2x22
r3
故x9的系数为C;
(1)3却o
22
题型三:
利用通项公式求常数项;
1
例:
求二项式(X2_)10的展开式中的常数项?
2\/x
练:
求二项式(2x刊的展开式中的常数项?
解:
Tr1c;(2x)6r
(1)r(丄)r
(1)rC;26rQ)rx62r,令62r0,得r3,所2x2
以T4
(1)3C320
练:
若(x21)n的二项展开式中第5项为常数项,则n.
x
解:
T5Cn4(x2)n4
(1)4c:
x2n12,令2n120,得n6.
x
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
例:
求二项式(,.x3X)9展开式中的有理项?
1127r
解:
「1C;(x2)9r(x3)r
(1)rC;x^,令Z,(0r9)得r3或r9,
6
所以当r3时,27-4,T4
(1)3C;x484x4,
6
当r9时,辽丄3,Tw
(1)3C;x3x3。
6
题型五:
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;
解:
设
1
)n展开式中各项系数依次设为
a。
,a1
令x1,则有aoa1an0,①,令x1,则有
a°a1a2
a3
(1)nan2n,②
将①-②得:
2(a1
n
8385)2,a1a3a5
2*1
有题意得,
2n1
8
2562,n9。
练:
若(#1牡)n的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。
解得n11
所以中间两个项分别为n6,n7,T51
题型六:
最大系数,最大项;
1
例:
已知(才2x)n,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
解:
QC:
C;2C;,n221n980,解出n7或n14,当n7时,展开式
中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数c3(-)42335,,
22
1
T5的系数C;(3)32470,当n14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,
1
T8的系数C;4(—)7273432。
2
练:
在(ab)2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
解:
二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即T2nTm,
-21
也就是第n1项。
的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项
是多少?
解:
只有第5项的二项式最大,则-15,即n8,所以展开式中常数项为第七
2
项等于Cs
(1)27
练:
写出在(ab)7的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
解:
因为二项式的幕指数7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,
且同时取得最大值,从而有T4C;a4b3的系数最小,T5C;a3b4系数最大。
练:
若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(丄2x)n的展开式中系数最大2
的项?
11
解:
由C:
cnC:
79,解出n12,假设Tr1项最大,Q2x)12(?
)12(14x)12
Ar1Arc124c12141,化简得到9.4r10.4,又Q0r12,
Ar1Ar2C;24rC1^14r1
1
r10,展开式中系数最大的项为口,有Tn
(1)12C1?
410x1016896x10
练:
在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少?
例:
求当(x23x2)5的展开式中x的一次项的系数?
解法①:
(x23x2)5[(x22)3x]5,「1Cf(x22)5r(3x)r,当且仅当r1
时,Tr1的展开式中才有x的一次项,此时Tr1T2C5(x22)43x,
所以x得一次项为c5c4243x
它的系数为C5C:
243240。
解法②:
(x23x2)5(x1)5(x2)5(C;x5C;x4C^Cfx5C;x42C;25)
故展开式中含x的项为C;xC;25C5x24240x,故展开式中x的系数为
240.
练:
求式子(x-2)3的常数项?
x
rr6r1r6r62r
Tr1C6
(1)|x(口)
(1)C6x,得62r0,r3,
lxl
T31
(1)3C;20.
题型八:
两个二项式相乘;
练:
求(13^)6(141)10展开式中的常数项•
Vx
练:
已知(1
解:
1*
xx)(x3)的展开式中没有常数项,nN且2n8,则n.
X
时得展开式中的常数项为C60C10C;C1:
C;C;04246.
(XA)n展开式的通项为cnxnrx3rcnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得
X
cnXn4r,cnXn4r1,cnXn4r2,Q展开式中不含常数项,2n8
n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.
题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和;
例:
在(xJ2)2006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S,当xJ2时,S
解:
设(x、、2)2006=a0a1x1a2x2a3x3La2006x2006①
2006123.2006
(x2)=a°a2Xa3XLa2006X②
①②得2(aixa3x3a5X5La2o°5x2005)(x、一2严(x、.,2严
(xx2)2006展开式的奇次幕项之和为S(x)1[(x-,2)2006(xx2)2006]
32006
题型十:
赋值法;
例:
设二项式(33x-)n的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为
x
s,若
ps272,则n等于多少?
解:
若(33x-)na。
a-xa?
x2anXn,有Pa。
a-a.,
x
SC0C:
2n,
令x1得P4n,又ps272,即4n2n272(2n17)(2:
16)0解得
2n16或2n17(舍去),n4.
n
练:
若3、.x1的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少?
则展开式的常数项为C;(3d)3( 540. 0, 解: 令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51, 题型十一: 整除性; N)能被64整除 例: 证明: 32n28n9(n 1、(x-1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f (1)f(° (2)521024 2 2、C3C;32C23nCn2、 2、4n 3、(351)20的展开式中的有理项是展开式的第项一 V5 3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为3 5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数+ 5、(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要得到含x4的项,必须第一个因式中的1 与(1-x)9展开式中的项C4(x)4作积,第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项 C;(x)作积,故x4的系数是C;C9135+ &求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数+ 1011 6、(1x)(1x)2(1x)10(1x)[1(1x)]=(x1)(x1),原式中 1(1x)x x3实为这分子中的x4,则所求系数为C: 7、若f(x)(1x)m(1x)n(mnN)展开式中,x的系数为 值时,x2的系数最小? 7、由条件得m+n=21,x2的项为cix2 21,问m、n为何 n€N,故当n=10或11时上式有最小值,时,x2的系数最小, 自然数n为偶数时, 12C;cn2c3 8、 求证: C: 2cn 8、 原式=(cnc;c2 n1n、 CnCn丿 9、 求8011被9除的余数+ 9、 1111011110 80(811)C1181C1181 /212399帀 (n).因 24 m=11和n=10,或m=10和n=11 c: x2,则cmc 也就是 cn3 2n1 cn1)2n2n13.2n1 10 C1181 81k1(kZ), •••k€乙•••9k-1€Z,A8111被9除余8- 10、在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数一 2555 10、(x3x2)(x1)(x2) 在(x+1)5展开式中,常数项为1, 含x的项为c5 5x ,在(2+x)5展开式中,常数 项为25=32,含x的项为C524x 80x •••展开式中含x的项为1(80x) 11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项■ 11、设Tr+1的系数最大,则 5x(32)240x, 此展开式中x的系数为240 C2212r C;212r C;21213r C;211211r Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数,即有 2C12 2C;1 C121 4i,r4 •••展开式中系数最大项为第5项,T5=16C42X47920x4
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