北师版文数高考一轮复习 第6章 第3节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题.docx

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北师版文数高考一轮复习第6章第3节二元一次不等式组与简单的线性规划问题

第三节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

[考纲传真]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

（对应学生用书第83页）

[基础知识填充]

1．二元一次不等式（组）表示的平面区域

不等式

表示区域

Ax＋By＋C>0

直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域

不包括边界直线

Ax＋By＋C≥0

包括边界直线

不等式组

各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.线性规划中的相关概念

名称

意义

线性约束条件

由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组

目标函数

关于x，y的解析式

线性目标函数

关于x，y的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解（x，y）

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题

[知识拓展]

确定二元一次不等式表示的平面区域的位置

把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0（＜0）表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（　　）

（2）线性目标函数的最优解可能不唯一．（　　）

（3）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（　　）

（4）不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

2．（教材改编）不等式组

表示的平面区域是（　　）

C　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C．]

3．（2017·全国卷Ⅰ）设x，y满足约束条件

则z＝x＋y的最大值为

（　　）

A．0　　　　B．1　　　　

C．2　　　　D．3

D　[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y

得y＝－x＋z.

作出直线y＝－x，并平移该直线，

当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．

由图知A（3,0），

故zmax＝3＋0＝3.

故选D．]

4．（2016·保定调研）在平面直角坐标系xOy中，若点P（m,1）到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P（m,1）在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________.【导学号：

00090190】

6　[由题意得

＝4及2m＋1≥3，

解得m＝6.]

5．在平面直角坐标系中，不等式组

表示的平面区域的面积是__________．

1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，

由x＝1，x＋y＝0得A（1，－1），

由x＝1，x－y－4＝0得B（1，－3），

由x＋y＝0，x－y－4＝0得C（2，－2），

∴|AB|＝2，∴S△ABC＝

×2×1＝1.]

（对应学生用书第84页）

二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）（2016·浙江高考）若平面区域

夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

A．

　　　　B．

C．

　　　　D．

（2）（2016·衡水中学调研）若不等式组

表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

A．a<5B．a≥7

C．5≤a<7D．a<5或a≥7

（1）B　

（2）C　[

（1）根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组

求得A（1,2），联立方程组

求得B（2,1），可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为

＝

，故选B．

（2）如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间（不含y＝7）时满足条件，故选C．]

[规律方法]　1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．

2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．

[变式训练1]　

（1）不等式组

表示的平面区域的面积为__________.【导学号：

00090191】

（2）（2018·潍坊模拟）已知关于x，y的不等式组

所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为________．

（1）4　

（2）

　[

（1）不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．

由

得

∴A（0,2），B（2,0），C（8，－2）．

直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为（4,0）．

因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝

×2×2＋

×2×2＝4.

（2）直线kx－y＋2＝0恒过点（0,2），不等式组表示的平面区域如图所示，

则A（2,2k＋2），B（2,0），C（0,2），由题意知

×2×（2k＋2）＝3，解得k＝

.]

简单的线性规划问题

角度1　求线性目标函数的最值

（1）（2017·全国卷Ⅱ）设x，y满足约束条件

则z＝2x＋y的最小值是（　　）

A．－15B．－9

C．1D．9

（2）（2017·福州质检）已知实数x，y满足

且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________.【导学号：

00090192】

（1）A　

（2）3　[

（1）不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x并平移，当直线y＝－2x＋z经过点A（－6，－3）时，z取最小值，且zmin＝2×（－6）－3＝－15.

故选A．

（2）在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以

，

，（1,1）为顶点的三角形区域（包含边界），又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点（1,1）时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]

角度2　求非线性目标函数的最值

（1）（2016·山东高考）若变量x，y满足

则x2＋y2的最大值是（　　）【导学号：

00090193】

A．4B．9

C．10D．12

（2）（2017·湖北七市4月联考）若变量x，y满足约束条件

则z＝

的取值范围是__________．

（1）C　

（2）

　[

（1）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由

得A（3，－1），由图易得（x2＋y2）max＝|OA|2＝32＋（－1）2＝10.故选C．

（2）作出不等式组

所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域（含边界），其中点A（1,1），B（－1，－1），C

.z＝

表示△ABC区域内的点与点M（2,0）的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即

≤z≤

，化简得－1≤z≤

.]

角度3　线性规划中的参数问题

　（2016·河北石家庄质检）已知x，y满足约束条件

若目标函数z＝y－mx（m>0）的最大值为1，则m的值是（　　）

A．－

B．1

C．2D．5

B　[作出可行域，如图所示的阴影部分．

∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由

解得

即A（1,2），∴2－m＝1，解得m＝1.故选B．]

[规律方法]　1.求目标函数的最值的一般步骤为：

一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

2．常见的目标函数有：

（1）截距型：

形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：

y＝－

x＋

，通过求直线的截距

的最值间接求出z的最值．

（2）距离型：

形如z＝（x－a）2＋（y－b）2.

（3）斜率型：

形如z＝

.

易错警示：

注意转化的等价性及几何意义．

线性规划的实际应用

　（2016·天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

　　原料

肥料　　

A

B

C

甲

4

8

3

乙

5

5

10

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

并求出此最大利润．

[解]　

（1）由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．5分

（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－

x＋

，它的图像是斜率为－

，随z变化的一族平行直线，

为直线在y轴上的截距，当

取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距

最大，即z最大．7分

解方程组

得点M的坐标为（20,24），

所以zmax＝2×20＋3×24＝112.

答：

生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分

[规律方法]　1.解线性规划应用题的步骤

（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；

（2）求解——解这个纯数学的线性规划问题；

（3）作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．

2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．

[变式训练2]　（2016·全国卷Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216000　[设生产产品A为x件，产品B为y件，则

目标函数z＝2100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分（包括边界）内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60,100），（0,200），（0,0），（90,0）．

当直线z＝2100x＋900y经过点（60,100）时，z取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）．]