新大学生建模报告汇总阶梯教室座位问题.docx
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新大学生建模报告汇总阶梯教室座位问题
建模论文
——最优教室坐位选择问题
梁婷20031090001
吕荣20031090003
史蓉20031090005
2006年5月12日
摘要:
为了求出一个教室中的最佳上课位置,我们根据有效视角的相关资料,通过实地测量,得到一些主要数据,例如屏幕上边缘到地面的高度,屏幕的高度等等,然后运用几何方法构造出一个目标函数,使之成为一个多目标规划问题,最终将其转化为一个非线性规划问题,通过数学软件计算出一系列可行解,即一个教室中的最佳上课位置.
关键词:
有效视角仰角多目标规划
最优教室坐位选择问题
一问题的背景
在每一栋教学楼中都会有一些普通的大教室和阶梯教室,它们都备有多媒体设备,我想每个同学应该都曾在这两种教室中上过课。
随着科学技术水平的发展,许多课程都开始使用多媒体技术上课.然而,在这两种教室里,由于教室面积较大,而教室前方的投影较小,所以坐在边缘和后排的学生和坐在中间的学生所能获得的收获往往是不一样的。
为了提升自己的听课效果,很多同学会提前来到教室,打算在上课前就占到一个好的座位,以便更好地看到投影上的内容。
大家都想在上课时能坐在一个好的位置听课,那怎么样才算一个视角好是座位呢?
现在我们就来讨论一下在以多媒体技术上课时我们该选择一个怎样的座位,才能获得最好的视觉效果.
二相关资料
根据资料显示:
有效视角是指人的有效视觉范围,一般,双眼正常有效视角大约为水平90°,垂直70°,考虑双眼余光时的视角大约为水平180°,垂直90°。
观影时的视角是同学眼睛到黑板上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知:
10°以内是视力敏锐区,即中心视野,对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以内能正确识别图形等信息,称为有效视野。
20°~30°,虽然视力及色辨别能力开始降低,但对活动信息比较敏感,30°之外视力就下降很低了。
但是听课时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的,其中仰角指观众眼睛到黑板上边缘视线与水平线的夹角。
例如,坐在第一排听课,虽然视角很大,但是同学们必须在上课的时候一直扬着头,长时间下来会很难受,一般仰角越小,听课时越舒适。
同样,定义斜角为观众眼睛到黑板左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值,那么坐的越偏,斜角越大,座位过偏时,也会导致颈部向一侧扭曲,甚是难受,无疑坐的越靠近教室中轴线,斜角越小,越舒适。
三模型的分析与建立
(一)首先我们先以7305教室为例来讨论一下在普通大教室该如何选择一个好的位置。
以下为7305教室简图:
以面向黑板而言,7305教室共120个座位分为左侧和右侧两个部分,其中左侧部分为13排共65个座位,右侧为11排公55个座位。
由于教室是非阶梯教室,只有一个小的投影屏幕,坐的太后不大清楚,所以下面我们只讨论前11排的座位。
根据上面关于视角的分析,我们已经知道坐的越靠近教室中轴线,斜角越小,越舒适。
但这是建立在投影位于教室的正中间处这一前提下的,而现在我们发现投影屏幕并不位于教室的正中间处,而是靠近教室的右边,所以我们在寻找最优位置时就要从屏幕中线所对是那一列座位中选择,则这个模型所选择的范围就缩小了,只用考虑屏幕中线所对是那一列座位即可。
1)模型的假设
A.不考虑人们视力的影响,即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。
B.不考虑座位与旁边座位进出方便程度的影响。
C.忽略观众头顶到眼睛的距离。
D.忽略观众两眼间的距离。
E.将每个座位所在区域视为一个矩形,观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。
以下为普通大教室的侧面图:
2)参量变量
H:
屏幕上边缘到地面的高度
h:
屏幕的高度
α:
学生眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角
β:
学生眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角
d:
第一排座位与屏幕的水平距离
s1:
学生眼睛到屏幕的水平距离
a:
学生平均坐高
n:
学生所在的排数
N:
教室的总排数
λ线:
观众眼睛所在位置构成的直线
经过实地测量,教室共11排。
座位与座位左右间隔0.48米,前后间隔0.89米,并测量具体数值:
(单位:
米)
H
3.1
h
2
N(个)
11
d
3.585
a
1.25
l
0.89
3)模型的求解
由以上的模型假设可知,问题能够转化成一个平面几何问题。
如上图,为达到“视角尽可能大,仰角尽可能小”的目的,就是在λ线上选择合适的点使得角(α+β)尽量大,但角α尽量小。
由于α和β的变化范围都在-90°-90°之间,所以可以用反正切函数arctan来衡量角的大小。
如图可得:
tanα=(H-a)/s1,tanβ=(a-H+h)/sl,tan(α+β)=hsl/[sl^2-(a-H+h)(H-a)]
而又因为:
sl=d+(n-1)*l,故:
α=arctan(H-a)/s1=arctan(H-a)/d+(n-1)*lβ=arctan(a-H+h)/sl=arctan(H-a)/[d+(n-1)*l]+arctan(a-H+h)/[d+(n-1)*l]
(注意,a+h>H时为正)
用数学语言写为:
f1(n)=α=arctan(H-a)/d+(n-1)*l①
f2(n)=α+β=arctan(H-a)/[d+(n-1)*l]+arctan(a-H+h)/[d+(n-1)*l]②
那么根据“视角尽可能大,仰角尽可能小”的目的,问题进一步转化为
arctan(H-a)/[d+(n-1)*l]+arctan(a-H+h)/[d+(n-1)*l]尽量大,而arctan(H-a)/d+(n-1)*l尽量小。
即:
目标函数F(n)=[f1(n),-f2(n)]T在解的可行域R内,求多目标的极值问题可记为:
minF(n)
这是一个典型的多目标规化问题,这一问题的处理方法,其基本思想是通过加权组合形成一个新目标,从而化未单目标规划问题。
在此,我们引入权重λ1,λ2,且令λ1+λ2=1(0≤λ1,λ2≤1),则上述问题的新目标函数为:
minZ=λ1*f1(n)-λ2*f2(n)。
进一步分析,人们在听课时,视角大能达到更好的视觉效果,而通过调整颈部的扭转角度,只要角度不是很大,是不会给人的身体带来太大的不适感的,特别是当投影内容比较引人入胜时,人们更会忽略颈部的不适感,而更追求观影的视觉效果。
查资料知,当仰角不大于20°时,短时间的听课不会给人体带来太大的不适感。
也就是说,视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。
所以我们以f2(n)为主要目标,令λ1=0把f1(n)降为约束条件f1(n)≦20°。
那么问题转化为一个非线性规划:
min-f2(n)=maxf2(n)
1≤n≤N
f1(n)≦20°
利用f2’(n)=0,求f2(n)极值,即:
(arctan(H-L)/sl)’+(arctan(L+h-H)/sl)’=0
=>(a-H)l/{[d+(n-1)*l]^2+(H-a)^2)}+(H-a-h)l/{[d+(n-1)*l]^2+(a+h-H)^2)}=0
将H=3.1,h=3,l=0.89,a=1.25,d=3.585代入整理得
(1.25-3.1)*1.25/{[3.585+(n-1)*0.89]^2+(3.1-1.25)^2}+(3.1-1.25-2)*1.25/{[3.585+(n-1)*0.89]^2+(1.25+2-3.1)^2}=0
=>(-2.31)/[(0.89n+2.695)^2+3.4225]-0.1875/[(0.89n+2.695)^2+0.0225]=0
此时通过简化发现方程左式恒为负值,无法求出n的极值。
因此该函数并无最值,那么在[1,N]内利用mathmatic进一步计算出每一个f1(n),f2(n)的值.得下表:
各排的视角值为:
(度数)
排数
1
2
3
4
5
6
视角
29.70
24.38
20.63
17.75
15.72
14.04
排数
7
8
9
10
11
视角
12.67
11.50
10.60
9.81
9.12
以及各排的仰角值为(度数)
排数
1
2
3
4
5
6
仰角
27.30
22.46
19.03
16.48
14.52
12.97
排数
7
8
9
10
11
仰角
11.71
10.67
9.80
9.07
8.43
视角是依排数递减的,也就是说随着排数的增大视角是逐渐减小的。
再由约束条件f1(n)≤20°,所以应该坐在第3排中央的位子。
这是一个有效解。
四问题的推广
前面已经讨论了普通教室的情况,现在我们以7111教室为例,讨论上阶梯教室课程时的情况。
由上面的资料分析我们可以知道,在阶梯教室听课时,如果座位过偏、过前,那么整个过程要么扭颈斜视,要么“曲项向天”,着实难受,而座位太后,又离投影太远,效果不好。
怎样选择一个好座位呢,下面我们就进行建模,找出其尽量的实际的答案。
7111教室中共372个座位,分为左侧、中央和右侧三个部分,其中中央部分168个座位,两侧各52个。
由于阶梯教室只有一个小的投影屏幕,两侧的座位的听课效果在各个方面都比中央部分的座位差很多,而又考虑到中央的近200个座位可以满足占座位同学的需求,所以下面的讨论都只限于中央的座位。
而教室中央座位前四排是平行的,没有阶梯高度之分,所以我们暂时将前三排省略,只讨论第四排.
以下是阶梯教室简图.简略为三排:
首先我们来寻找最优位置。
显然,最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位,所以这个模型所选择的范围就缩小了,只用考虑一列14个座位即可。
1)模型的假设
与上面所讨论的类似:
A.不考虑人们视力的影响,即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。
B.不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。
C.只从中间部分的座位选择。
D.忽略学生头顶到眼睛的距离。
E.忽略学生两眼间的距离。
F.将每个座位所在区域视为一个矩形,学生的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。
G.将每个阶梯视为一样的高度。
2)参量变量
下图为阶梯教室7111侧面简图:
H:
屏幕上边缘到地面的高度
h:
屏幕的高度
α:
学生眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角
β:
学生眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角
θ:
近似座位面与水平面所夹的二面角
d:
第一排座位与屏幕的水平距离
s1:
学生眼睛到屏幕的水平距离
l:
座位与座位前后间隔距离
L:
学生眼睛到水平面的距离
a:
学生平均坐高
hl:
一级阶梯的高度
n:
学生所在的排数
N:
教室的总排数
λ线:
观众眼睛所在位置构成的直线
经过实地测量,教室中央部分有座位14排*12列,座位与座位左右间隔0.48米,每级阶梯高0.11米,共10级。
并测量具体数值:
(单位:
米)
H
4
h
3
L
0.89
d
6.99
a
1.25
hl
0.11
N(个)
14
3)模型的求解
与平面教室相类似,最佳的位置一定位于屏幕中线所对的即教室最中央的一列座位,则问题转化成一个平面几何问题。
为达到“视角尽可能大,仰角尽可能小”的目的,就是在λ线上选择合适的点使得角(α+β)尽量大,但角α尽量小。
由于α和β的变化范围都在-90°-90°之间利用函数arctan来衡量角的大小。
如图所示
tanα=(H-L)/s1,tanβ=(L-H+h)/sl,tan(α+β)=hsl/[sl^2-(L-H+h)(H-L)]
所以α=arctan(H-L)/s1,β=arctan(L-H+h)/sl(注意,L+h>H时为正),
那么,问题进一步转化为
arctan(H-L)/s1+arctan(L-H+h)/sl尽量大,
而arctan(H-L)/s1尽量小。
将L=(n-1)*hl+a,sl=d+(n-1)*l代入,得到两个与n有关的函数f1,f2:
用数学语言可以写为:
f1(n)=arctan[H-(n-1)*hl-a]/d+(n-1)*l
f2(n)=arctan[H-(n-1)*hl-a]/[d+(n-1)*l]+arctan[(n-1)*hl+a-H+h]/[d+(n-1)*l]
F(n)=[f1(n),f2(n)]T在解的可行域R内,求多目标的极值问题可记为:
maxF(n)
根据上面的分析f1(n)降为约束条件f1(n)≦20°,问题转化为一个非线性规划:
maxf2(n)
1≤n≤N
f1(n)≦20°
在求f2(n)极值时,利用f2’(n)=0,即:
{arctan[H-(n-1)*hl-a]/[d+(n-1)*l]}’+{arctan[(n-1)*hl+a-H+h]/[d+(n-1)*l]}’=0
=>[d+(n-1)*l]^2/{[d+(n-1)*l]^2+[H-a-(n-1)hl]^2}*{-hl[d+(n-1)*l]-l[H-(n-1)hl-a]}/[d+(n-1)*l]^2+[d+(n-1)*l]^2/{[d+(n-1)*l]^2+[hl(n-1)+a-H+h]^2}*{hl[d+(n-1)l]-l[hl(n-1)+a-H+h]}/[d+(n-1)*l]^2=0
=>(a-d*hl-H*l)/{[d+(n-1)*l]^2+[H-a-(n-1)hl]^2}+(d*hl+H*l-a*l-h*l)/{[d+(n-1)*l]^2+[hl(n-1)+a-H+h]^2}=0
将H=4,h=3,hl=0.11,l=0.89,a=1.25,d=4.32代入整理得
-3.0789/[(1.25n+5.74)^2+(2.86-0.11)^2]+0.5464/[(1.25n+5.74)^2+(0.14+0.11n)^2]=0
化简为:
0.9241n^2+12.828n+56.981=0
由于b^2-4ac<0,所以无极植解.也就是说f2(n)在实数R范围内不存在极值点。
因此进一步,利用mathmatic算出各排的视角值以及各排的仰角值(度数)
排数
4
5
6
7
视角
23.53
21.14
19.16
17.50
仰角
21.48
18.52
16.09
14.06
排数
8
9
10
视角
16.10
14.89
13.84
仰角
12.36
10.89
9.62
视角是依排数递减的,再由约束条件f1(n)≤20°,所以应该坐在第5排中央的位子。
这是一个有效解。
即在所有可行解中找不到比它更好的解。
在前面的计算中我们忽略了前三排座位,由上可知,我们计算出来的平面教室中视角是随着排数的增大而减小的。
那么,前三排的座位会不会比后边的更好呢?
我们可以检验一下,计算方法就和平面教室的一样,利用公式①,②,套入阶梯教室的实验数据,但此时d已经变了,d=6.99-0.48*3=4.32米,其他一切不变,得到结果为:
(度数)
排数
1
2
3
4
视角
35.79
30.58
26.62
24.53
仰角
32.48
27.83
24.27
21.48
显然,视角值和仰角值是随着排数的增加而减少的,前三排的视角值和仰角值比第四排小,而第四排又没有第五排好,所以可以得出结论,在阶梯教室里的最优位置就是第五排的最中间位置.
五问题的回顾
这个问题我们是从一个关于电影院的座位问题中得到灵感而转化过来的,一开始我们的计算要更为复杂,我们假设了教室的座位面为与水平面夹角为θ的倾斜面(如下图所示)
侧面简图为:
H1:
最后一排距地面的高度
D:
最后一排座位与屏幕的水平距离
同时将上面计算中的L通过θ用sl来表示即:
tanθ=Hl/(D-d),L=sl*tanθ=sl*Hl/(D-d),
则f1(sl)=α=arctan(H-L)/sl=arctan{[H(D-d)-sl*Hl/(D-d)]/sl}
f2(sl)=α+β=arctan(H-L)/s1+arctan(L-H+h)/sl=arctan{[H(D-d)-sl*Hl/(D-d)]/sl}+arctan[sl*Hl/(D-d)-H+h]/sl
然后化为一个非线性规划,求解f2(sl)的极值,算出sl的值是否符合d≤sl≤D,否则则进行再一步计算算出各排仰角和视角的值,从中选择符合条件的排数。
运用这种计算方法我们就不用要求座位的阶梯高度一致了,然而在实际的测量中,我们发现教室的阶梯高度差不多是一样的,误差不大,所以就把问题简化了,直接将其转化为求排数的函数,从而缩小了计算量,使模型求解更为简单明了。
后感
通过这一学期建模课程的学习,我们对一些建模思想以及方法有了初步的认识。
在这次建模实习中,我们选择了一道关于多目标规划的题目,主要是因为在学习数学建模课程的同时我们也在学习运筹学,于是便将两者结合起来解决问题。
在这次做题的过程中,我们深深地认识到实践的重要性,把实践和理论相结合可以使问题更为明了。
通过学习数学建模这门课程,我们才真正发现身边的许多问题都是可以用数学的方法去解决的,数学的奇妙真是无处不在啊。
程序:
#include
main()
{
intn,N,i=0,j=0;
doubleH,h,d,l,hl,a,sl,L,f1,f2;
printf("请输入总座位排数N:
%d\n");
scanf("%d\n",&N);
printf("请输入屏幕高度h:
%f\n");
scanf("%f\n",&h);
printf("请输入屏幕上边缘到地面高度H:
%f\n");
scanf("%f\n",&H);
printf("请输入第一排座位与屏幕的水平距离d:
%f\n");
scanf("%f\n",&d);
printf("请输入座位与座位的前后间隔l:
%f\n");
scanf("%f\n",&l);
printf("请输入阶梯的高度hl:
%f\n");
scanf("%f\n",&hl);
printf("请输入学生的平均坐高a:
%f\n");
scanf("%f\n",&a);
sl=d+(n-1)*l;
L=(n-1)*hl+a;
f1=arctan((H-L)/sl;
f2=f1+arctan((L+h-H)/sl);
doublea[N],aa[N],b[N],bb[N],max,min,temp;
for(n=1;n<=N;n++)
{
if(f1<20)
{a[i]=f2;aa[i]=n;i++;}
else
{b[j]=f1-20;bb[j]=n;j++;}
}
if(a[0]!
=NULL)
{
for(i=0;i { max=a[0];
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